山西省长治武乡县部分学校2024-2025学年下学期期中测试八年级数学试卷（含答案解析）

这是一份山西省长治武乡县部分学校2024-2025学年下学期期中测试八年级数学试卷（含答案解析），共32页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分等内容，欢迎下载使用。
数学试卷
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共6页，满分120分，考试时间120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置．
3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑）
1. 下列式子是分式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的定义，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，据此求解即可．
【详解】解：由分式的定义可知，四个选项中，只有D选项中的式子是分式，
故选D．
2. 下列分式是最简分式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了最简分式，利用最简分式定义：分子分母没有公因式的分式，判断即可．熟练掌握最简分式的定义是解本题的关键．
【详解】解：A、，分子为1，分母为，1与任何多项式无公因式，且为一次式不可分解，故为最简分式，符合题意；
B、，分子3与分母6有公因数3，约分后为，不是最简分式，不符合题意；
C、，分母可分解为，分子与分母有公因式，约分后为，不是最简分式，不符合题意；
D、，分子可提取公因式得，与分母有公因式，约分后为，不是最简分式，不符合题意；
故选：A．
3. 若点在第四象限，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了求不等式的解集，平面直角坐标系各象限内点的坐标的符号特征，
根据第四象限内点的坐标特征，横坐标为正，纵坐标为负，建立不等式求解．
【详解】∵点在第四象限
∴
∴
故选：B．
4. 如图是植物细胞的结构图，其中细胞核是细胞的控制中心．若某植物细胞中细胞核的直径约为，将数据“”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于 10 时，是正数，当原数绝对值小于 1 时是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：，
故选：D．
5. 如图，一次函数与的图象相交于点，则关于，的二元一次方程组的解是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了利用函数图像求二元一次方程组的解，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的解与一次函数交点的关系．先利用确定点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断．
【详解】解：把代入得：，
解得，
所以点坐标为，
所以关于的二元一次方程组即的解是：，
故选：C．
6. 骑自行车是一种健康自然的运动旅游方式，长期坚持骑自行车可增强心血管功能，提高人体新陈代谢和免疫力．如图是骑行爱好者老刘某天骑自行车行驶的路程（）与时间（）的函数关系图象，观察图象得到下列信息，其中正确的是（ ）
A. 点表示老刘出发，他一共骑行
B. 老刘实际骑行时间为
C. 老刘的骑行速度为
D. 老刘的骑行在的速度和的速度相等
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了用图象表示变量之间的关系，读懂题意，从所给的图象中获取解题所需要的信息是解题的关键．
仔细观察图象，结合路程、速度、时间的关系逐项判断即可．
【详解】解：由图可知，点所对应的路程为 ，时间为，即表示出发，老刘共骑行，故A正确，符合题意；
∵内的路程没有变化，
∴老刘实际骑行时间为，故B错误，不符合题意；
∵老刘骑行的路程为，
∴的速度为，故C错误，不符合题意；
∵骑行的路程为，
∴的速度为，
∵，
∴老刘的骑行在的速度比的速度慢，故D错误，不符合题意；
故选：A．
7. 若，，是反比例函数图象上的点，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查比较反比例函数的函数值，将A，B，C的横坐标代入解析式，求出的值，即可比较大小．
【详解】解：由题意知，，，，
，
故选：D．
8. 试卷上一个正确的式子被小明同学不小心滴上墨汁．被墨汁遮住部分⋆处的代数式为（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
先根据分式的加减法计算括号内的，再根据分式的除法计算可得答案．
【详解】解：由，
得，
即，
∴，
故选：B．
9. 在同一平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的图象，解题时注意：系数k的符号决定直线的方向以及双曲线的位置．由图象结合性质判断反比例函数中的k和一次函数中的k的值是否一致即可判断．
【详解】解：A、反比例函数图象在第二、四象限，则，一次函数图象经过一、三、四象限，则， k取值不同，故此选项错误；
B、反比例函数图象在第一、三象限，则，一次函数图象与y轴交于正半轴，则，即，k的取值不同，故此选项错误；
C、反比例函数图象在第二、四象限，则，一次函数图象经过一、二、四象限，则，与y轴交于正半轴，则，即，k的取值相同，故此选项正确；
D、反比例函数图象在第一、三象限，则，一次函数图象经过二、三、四象限，则，k的取值不同，故此选项错误；
故选：C．
10. 如图，是反比例函数图象上的一点，是轴上一点，，过点作轴的垂线，交的延长线于点．若，则的面积为（ ）
A. 48B. 24C. 12D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是关键．
作轴，垂足为点，利用，得到，继而求出即可．
【详解】解：如图，作轴，垂足为点，
，
，
，
，
，
∵点在反比例函数图象上，
，
，
故选：B．
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将答案直接写在答题卡相应的位置）
11. 计算：_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的加减运算，解题的关键是熟练掌握分式的通分与约分，把两个分式通分，再按照同分母分式相减法则进行计算，最后再约分即可．
【详解】
，
故答案为：．
12. 若分式有意义，则的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．分式有意义即分母不为0，由此计算即可．
【详解】解：若分式有意义，则，
解得，
故答案为：．
13. 《哪吒之魔童闹海》作为“唯一非好莱坞制作电影”荣登全球动画电影票房榜冠军，“魔童”哪吒正以惊艳之姿进入全球视野．如图是“魔童”哪吒的概念手稿图，将其放在适当的平面直角坐标系中，若哪吒的右手指尖点的坐标为，衣角点的坐标为，则他右眼角点的坐标为_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查坐标确定位置，解答本题的关键是明确题意，画出相应的平面直角坐标系．根据题意画出相应的平面直角坐标系，然后即可写出点的坐标．
【详解】解：坐标系如下所示，
点的坐标为，
故答案为：．
14. 某汽车的功率一定时，其行驶时的速度与它所受的牵引力之间的函数关系如图所示，当牵引力为时，汽车的速度为________．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，解题关键是求出函数表达式．
先利用待定系数法求出反比例函数表达式，再将代入求出速度．
【详解】解：根据函数图象，可设行驶时的速度与它所受的牵引力之间的函数关系为，
∵点在函数的图象上，
∴，
∴，
当牵引力为时，，
故答案为：．
15. 如图，过原点线段的两端点和分别在反比例函数和的图象上，过点作轴的垂线，垂足为．若点的横坐标为，的面积为，则的值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，一次函数等知识，先根据反比例函数的求出点B的坐标，再根据的面积求出点C的坐标，即可求出点A的横坐标，再求出直线的解析式，根据一次函数的解析式即可求出点A的坐标，再根据点A在反比例函数的图像上即可求出k的值．
【详解】解：把点的横坐标为代入中，
则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点C在x轴的正半轴，
∴，
∵轴，
∴点A的横坐标为，
设直线的解析式为：，
把代入，
∴，
则，
∴直线的解析式为：，
把点A的横坐标为代入，
则，
∴，
∵点A在反比例函数的图像上，
∴，
故答案为：
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. （1）计算：；
（2）解方程：．
【答案】（1）12；（2）
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算，解分式方程等知识，解题的关键是：
（1）根据立方根的定义，零指数幂的意义，负整数指数幂的意义等计算即可；
（2）先把分式方程转化为整式方程，然后解整式方程，最后检验即可．
【详解】解：（1）原式；
（2）原式去分母，得，
则，
则，
解这个整式方程，得，
检验：把代入，得．
是原方程的解．
17. 先化简，再从，0，2中选取一个适当的数作为的值代入求值．
【答案】；
【解析】
【分析】本题考查分式的化简求值，先根据分式的运算法则进行化简，然后根据分式有意义的条件找出符合题意的x的值，最后代入化简后的式子即可求出答案．
【详解】解：原式
．
，，
，．
．
当时，原式．
18. 随着2025年“体重管理年”的正式启动，中国各地掀起减肥热潮，线下健身房、瑜伽馆、游泳馆等场所也迎来了客流高峰．某健身工作室第一次用12000元购进一款跑步机（如图），由于生意火爆，改进装修后，又用25000元第二次购进同款跑步机，所购数量是第一次购进数量的2倍，但单价贵了100元．求该健身工作室第一次购进跑步机多少台．
【答案】5台
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设该健身工作室第一次购进跑步机台，则第二次购进同款跑步机台，利用单价总价数量，结合第二次购进跑步机的单价比第一次贵了100元，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
【详解】解：设该健身工作室第一次购进跑步机台，则第二次购进同款跑步机台．
根据题意，得．解得．
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：该健身工作室第一次购进跑步机5台．
19. 如图，直线分别交轴、轴于点，．
（1）求点，的坐标．
（2）过点作于点，求的长．
（3）过的任意一个顶点总能画出一条直线，把分成面积相等的两部分，请你直接写出这样的直线对应的函数表达式．
【答案】（1），
（2）
（3），，
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握以上知识点是关键．
（1）分别令，求出对应的、值即可得到点、的坐标；
（2）利用代入数据求出值即可；
（3）根据三角形中线均分面积求出三条中线所在直线的解析式即可．
【小问1详解】
解：在直线中，当时，；当时，，
，；
【小问2详解】
解：由（1）可知，，
，
，
，
；
【小问3详解】
解：，；
线段的中点坐标，
设过点的三角形中线解析式为，代入坐标得：，
解得：，
过点的中线解析式为；
由条件可知线段的中点坐标为，设过点的中线所在直线的解析式为，
代入坐标和得：，
解得，
过点的中线所在直线的解析式为；
由条件可知线段的中点坐标为，设过点的中线所在直线的解析式为，
代入坐标和得：，
解得，
过点的中线所在直线的解析式为．
综上分析可知三条均分三角形面积的直线解析式为：，；．
20. 如图，学校课外生物小组的同学准备自己动手，用旧围栏建一个面积为的长方形种植园，其中边靠墙，墙长为．设的长为，的长为．
（1）求与之间的函数关系式．
（2）若围栏总长不超过，和长都是整数，求满足条件的所有围建方案．
【答案】（1）
（2）①，．②，
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据各数量之间的关系，找出与之间的函数关系式是解题的关键；
（1）根据长方形种植园的面积为，可得出，即，结合墙长为且值非负，可确定的取值范围；
（2）根据围栏总长不超过，可得出，结合，均正整数且，即可找出各围建方案．
【小问1详解】
解：根据题意得：，
，
墙长为，且值非负，
，
与之间的函数关系式为；
【小问2详解】
解：根据题意得：，
即，
又，均为正整数，且，
当时，与的对应值如下表：
符合题目要求的对应值如下表：
满足条件的所有围建方案为①，．
②，．
21. 阅读与思考
请你仔细阅读上述材料内容，完成下列问题：
（1）求的“倾斜系数”．
（2）若的“倾斜系数”，请写出和的数量关系，并说明理由．
（3）如图，是正比例函数在第一象限的图象上的一点，将点向右平移2个单位到点，是线段上一点．若点的横坐标为，点的“倾斜系数”为，点的“倾斜系数”．请填写下表，并直接写出的取值范围．
【答案】（1）
（2）或
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查一次函数的图象和性质，点的坐标的特征，本题是新定义型题目，正确理解“倾斜系数”的定义是解题的关键．
（1）根据“倾斜系数”k的定义直接计算即可；
（2）根据“倾斜系数”k的定义分情况得出结论即可；
（3）表示出，代入相应的值可求出，根据表格可确定的取值．
【小问1详解】
解：由材料可知，，．
，
的“倾斜系数”．
【小问2详解】
解：或．
理由：当时，，即．
当时，，即．
【小问3详解】
解：∵是正比例函数在第一象限的图象上的一点，点的横坐标为，
∴，
又将点向右平移2个单位到点，
∴，
又，
∴点的“倾斜系数”，
当时，；
当时，；
当时，；
故可填表如下：
由表格可得：当时．
22. 2025平遥古城半程马拉松赛将于5月11日（周日）激情开跑．某超市准备购进甲、乙两种品牌的平遥牛肉售卖给前来观赛的游客，进货时发现，甲品牌平遥牛肉每袋的进价比乙品牌平遥牛肉每袋的进价少9元，用5400元购进甲品牌平遥牛肉的数量是用5400元购进乙品牌平遥牛肉数量的．甲品牌平遥牛肉的售价为42元/袋，乙品牌平遥牛肉的售价为53元/袋．
（1）求甲、乙两种品牌平遥牛肉每袋的进价．
（2）若该超市需要购进甲、乙两种品牌的平遥牛肉共180袋，且购进两种平遥牛肉的总成本不超过7740元．该超市应购进甲、乙两种品牌的平遥牛肉各多少袋，才能使这两种平遥牛肉完全售出后所获利润最大？最大利润为多少元？
【答案】（1）甲品牌平遥牛肉每袋的进价为36元，乙品牌平遥牛肉每袋的进价为45元
（2）该超市应购进甲品牌平遥牛肉40袋，乙品牌平遥牛肉140袋，才能使这两种平遥牛肉完全售出后所获利润最大，最大利润为1360元
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用；
（1）设甲品牌平遥牛肉每袋的进价是元，则乙品牌平遥牛肉每袋的进价是元，利用数量总价单价，结合用5400元购进甲品牌平遥牛肉的数量是用5400元购进乙品牌平遥牛肉数量的，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出的值（即甲品牌平遥牛肉每袋的进价），再将其代入中，即可求出乙品牌平遥牛肉每袋的进价；
（2）设购进袋甲品牌平遥牛肉，则购进袋乙品牌平遥牛肉，利用进货总价进货单价购进数量，结合进货总价不超过7740元，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，设这两种平遥牛肉完全售出后所获总利润为元，利用总利润每袋的销售利润销售数量（购进数量），可找出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【小问1详解】
解：设甲品牌平遥牛肉每袋的进价为元，则乙品牌平遥牛肉每袋的进价为元．
根据题意，得．
解得．
经检验，是原方程的解，且符合题意．．
答：甲品牌平遥牛肉每袋的进价为36元，乙品牌平遥牛肉每袋的进价为45元．
【小问2详解】
解：设超市购进甲品牌平遥牛肉袋，则购进乙品牌平遥牛肉袋．
根据题意，得．解得．
设这两种平遥牛肉完全售出后所获利润为元．
根据题意，得．
，随的增大而减小．
当时，取最大值，最大值为，此时，．
答：该超市应购进甲品牌平遥牛肉40袋，乙品牌平遥牛肉140袋，才能使这两种平遥牛肉完全售出后所获利润最大，最大利润为1360元．
23. 如图是某种商品日销售量（万件）与上市的天数（天）之间的函数关系图象．前20天其日销售量与上市的天数之间成正比（段）；销售20天后进行了大量的广告宣传，日销售量直线上升（段）；当广告停止后，日销售量与上市的天数之间成反比．已知上市第20天的日销售量为2万件，第40天的日销售量为10万件．

（1）求与之间的函数表达式．
（2）广告合同约定，当日销售量不低于8万件，并且持续天数不少于15天时，广告设计师就可以拿到“特殊贡献奖”，请通过计算说明本次广告策划，设计师能否拿到“特殊贡献奖”．
【答案】（1）
（2）本次广告策划，设计师能拿到“特殊贡献奖”，见解析
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的应用、一次函数的应用，写出函数关系式是解题的关键．
（1）按照的取值范围，分别求出对应函数关系式，最终写成分段函数的形式即可；
（2）分别求出时对应的值，求出两个的值取正整数的个数并与15比较大小即可得出结论．
【小问1详解】
解：设段的函数表达式为．
把代入，得，解得．
段的函数表达式为．
设段的函数表达式为．
把，分别代入，得
解得
段的函数表达式为．
设段的函数表达式为．
把代入，得，解得．
段的函数表达式为．
与之间的函数表达式为
【小问2详解】
解：由图，可知日销售量不低于8万件在20天以后．
当时，，解得．
在段上从第35天开始日销售量不低于8万件．
当时，，解得．
在段上从第51天开始日销售量低于8万件．
日销售量不低于8万件的天数为（天）．
，
本次广告策划，设计师能拿到“特殊贡献奖”．
1
2
5
10
50
25
10
5
5
10
10
5
倾斜系数
在平面直角坐标系中，是第一象限内一点，给出如下定义：，，，中的较大值叫做点的“倾斜系数”．例如：，，．因为，所以的“倾斜系数”．
．．．
1
2
．．．
．．．
7
_____
_____
3
_____
2
．．．
．．．
1
2
．．．
．．．
7
5
3
2
．．．