2025-2026学年陕西省榆林市榆阳区九年级上学期期末数学试卷（学生版）

这是一份2025-2026学年陕西省榆林市榆阳区九年级上学期期末数学试卷（学生版），共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的）
1.抛物线的顶点坐标是（ ）
A.B.
C.D.
2.如图是物理中经常使用的型磁铁示意图，其左视图是（ ）
A.B.
C.D.
3.在中，，则（ ）
A.B.C.D.
4.利用配方法解方程，经过配方，得到（ ）
A.B.
C.D.
5.如图，在和中，，若添加一个条件，仍不能使得和相似的是（ ）
A B.
C.D.
6.一次函数的图象经过第一、二、四象限，则反比例函数和二次函数的图象可能是（ ）
A.B.
C.D.
7.如图，已知是的弦，且，若，则的度数是（ ）
A.B.C.D.
8.已知一个二次函数的自变量与函数值的几组对应值如下表：则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ）
A.图象的开口向下B.函数的最小值是
C.当时，的值随值的增大而增大D.图象经过第一、二、四象限
二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分）
9.关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围为_____．
10.菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点的坐标是，则点的坐标是_____．
11.在中，，则的长为_____．
12.某人工智能大模型10月份用户数量为亿，12月份用户数量增长至亿，已知该智能模型的用户数量在逐月增加，则11月、12月份用户数量的月均增长率为_____．
13.已知点与点均在反比例函数的图象上，则的大小关系是_____．（填“”“ ”或“”）
14.如图，四边形内接于是的直径，，分别延长，交点为．作，并与的延长线交于点．若，则的长为_____．
三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程）
15.解方程：．
16 计算：．
17.在二次函数中，若它的图象与轴只有一个交点，求的值．
18.如图，是的直径，是的弦，，垂足为E．若，，求的长．
19.如图，在中，，为锐角，，垂足为，若，．求的度数及的长．
20.国粹，是指一个国家固有文化中的精华，中国的国粹有很多，其中誉满中外的有A．中国京剧，B．中国武术，C．中国书画，D．中国医学，被世人称为中国的“四大国粹”．小明对我国的国粹非常感兴趣，准备从这“四大国粹”中随机选择一个进行深入了解，然后小明的同学小亮从剩下的三个国粹中随机选择一个进行深入了解．
（1）小明选择的是“中国书画”的概率为 ；
（2）请用列表或画树状图的方法求两人中恰好有一人选择“中国武术”的概率．
21.敦煌首航100兆瓦熔盐塔式光热电站（如图①）是“中国智慧”和“中国建设”的体现．它的原理是利用镜面反射太阳光线，通过一个特殊的装置将太阳光转化成电能．随着太阳角度的变化、每个定日镜都会不停地自动调整角度，保持最佳的反射角度．图②是其反射示意图，根据反射原理、入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角．已知定日镜绕点旋转，当入射光线与镜面的夹角为时，反射光线恰好照在吸热塔顶端处．此时镜面与支撑柱的夹角．已知的高度是8米，支撑柱与吸热塔的水平距离是500米、求吸热塔的高度．（参考数据：）
22.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点．与反比例函数的图象交于点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）过点作轴的平行线，交反比例函数的图象于点，连接，求的面积．
23.剪纸作为一种传统民间艺术，常被用来表达祝福和吉祥的心愿．已知某商店一种剪纸的成本价为每幅8元，市场调查发现，当销售单价为10元时，一天能卖30幅，若每涨价1元、一天少卖1幅．设这种剪纸每天的销售利润为元，剪纸的销售单价上涨元．规定该剪纸的销售单价不高于20元．
（1）每天这种剪纸的销售量为_____幅；（用含的代数式表示）
（2）①求销售利润与之间的函数表达式；
②当该种剪纸的销售单价上涨多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
24.如图，是直径，是上一点，的平分线交于点，过点作的切线交的延长线于点．

（1）求证：；
（2）若，，求线段的长．
25.如图为某住宅小区新修建一个横断面为抛物线的拱形大门，已知该拱门接触地面的跨度为，拱门顶端最高处的高度为，小青以拱门的左边缘为原点，地面所在直线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）求拱门所在抛物线的函数表达式；
（2）为了使拱门更加牢固，要在拱门内左右两边各垂直于地面竖立一根高为的支柱，支柱的顶端恰好在抛物线上，求这两根支柱之间的距离．
26.【问题提出】
（1）如图①，点是外一点，点是上一动点，若的半径为3，的长为5，根据，得到点到点的最短距离为_____．
（2）如图②，已知正方形的边长为4，点，分别从点，同时出发，以相同的速度沿边、方向向终点和运动，连接和交于点，求点到点的最短距离；
【问题解决】
（3）如图③，某老小区有一个矩形活动广场，由于广场年久失修，居民使用率很低，物业为改善居民生活品质，计划将这个广场进行更新改造．按照改造设计要求，在上取一点、在上留一条小路与小路交于点，并将绕点逆时针旋转得到线段，与交于点，连接与交于点，在处建一个人工湖，已知，，．为满足活动广场各功能场所的需要，想让人工湖面积尽可能小．请问，是否存在符合设计要求的面积最小的？若存在，求面积的最小值；若不存在、请说明理由．
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