八年级上学期数学压轴必考题型——等腰三角形的判定练习（含答案）

这是一份八年级上学期数学压轴必考题型——等腰三角形的判定练习（含答案），共37页。试卷主要包含了已知等内容，欢迎下载使用。
一．选择题
1．（2021春•建平县期末）在正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图，已知A，B是两格点，如果点C也是格点，且使得△ABC是以AB为腰的等腰三角形，那么点C的个数有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
2．（2021春•和平区期末）如图，下列4个三角形中，均有AB＝AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（ ）
A．①②④B．②③④C．①②③D．①③④
3．（2021春•硚口区月考）如图，在平面直角直角坐标系xOy中，A（4，0）、B（0，3）．点D在x轴上，若在线段AB（包括两个端点）上找点P，使得点A、D、P构成等腰三角形的点P恰好只有1个，下列选项中满足上述条件的点D的坐标不可能是（ ）
A．（﹣3，0）B．（﹣1，0）C．（5，0）D．（9，0）
4．（2021•雁塔区校级模拟）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，AC的中垂线交BC于点D，交AC于点E，连接AD，∠ADB的角平分线交AB于点F则图中等腰三角形的个数为（ ）
A．6B．5C．4D．3
5．（2020秋•船营区期末）平面直角坐标系中，已知A（1，1），B（2，0）．若在x轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
6．（2020春•松江区期末）如图，关于△ABC，给出下列四组条件：
①△ABC中，AB＝AC；
②△ABC中，∠B＝56°，∠BAC＝68°；
③△ABC中，AD⊥BC，AD平分∠BAC；
④△ABC中，AD⊥BC，AD平分边BC．
其中，能判定△ABC是等腰三角形的条件共有（ ）
A．1组B．2组C．3组D．4组
7．（2019秋•蜀山区期末）在△ABC中，与∠A相邻的外角是130°，要使△ABC为等腰三角形，则∠B的度数是（ ）
A．50°B．65°
C．50°或65°D．50°或65°或80°
8．（2020春•左权县期末）如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的顶点C有（ ）
A．8个B．7个C．6个D．5个
二．填空题
9．（2020秋•松山区期末）已知：如图△ABC中，∠B＝50°，∠C＝90°，在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ACD的度数为 ．
10．（2021春•吉安县期末）如图，已知点P是射线BM上一动点（P不与B重合），∠AOB＝30°，∠ABM＝60°，当∠OAP＝ 时，以A、O、B中的任意两点和P点为顶点的三角形是等腰三角形．
11．（2019秋•海淀区期末）如图，已知∠MON，在边ON 上顺次取点P1，P3，P5…，在边OM 上顺次取点P2，P4，P6…，使得OP1＝P1P2＝P2P3＝P3P4＝P4P5…，得到等腰△OP1P2，△P1P2P3，△P2P3P4，△P3P4P5…
（1）若∠MON＝30°，可以得到的最后一个等腰三角形是 ；
（2）若按照上述方式操作，得到的最后一个等腰三角形是△P3P4P5，则∠MON 的度数α 的取值范围是 ．
12．（2019秋•江油市期末）如图，A、B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形、点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C共有 个．
13．（2021春•鹿城区校级月考）如图，∠AOB＝45°，点M，N在边OA上，OM＝x，ON＝x+2，点P是边OB上的点．若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有两个，则x的取值范围是 ．
14．（2017秋•靖江市校级期中）平面直角坐标系中，已知A（﹣5，0），点P在第二象限，△AOP是以OA为腰的等腰三角形，且面积为10，则满足条件的P点坐标为 ．
三．解答题
15．（2019•沙坪坝区校级模拟）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点F为AB上一点，连接CF，过点B作BE⊥BC交CF的延长线于点E，交AD于点H，且∠1＝∠2
（1）求证：AB＝AC；
（2）若∠1＝22°，∠AFC＝110°，求∠BCE的度数．







16．（2019春•蜀山区期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8厘米，BC＝6厘米，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动速度为1厘米/秒，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动速度为2厘米/秒，若它们同时出发，设出发的时间为t秒．
（1）求出发2秒后，PQ的长；
（2）点Q在CA边上运动时，当△BCQ成为等腰三角形时，求点Q的运动时间．



17．（2020秋•五常市期末）如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD＝AE，BD＝CE．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若∠BAC＝108°，∠DAE＝36°，直接写出图中除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形．

18．（2020春•陈仓区期末）已知：如图，AB＝AC，D是AB上一点，DE⊥BC于点E，ED的延长线交CA的延长线于点F．求证：△ADF是等腰三角形．
19．（2019秋•巩义市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝12cm，若点P从点B出发以2cm/s的速度向点A运动，点Q从点A出发以1cm/s的速度向点C运动，设P、Q分别从点B、A同时出发，运动的时间为ts．
（1）用含t的式子表示线段AP、AQ的长；
（2）当t为何值时，△APQ是以PQ为底边的等腰三角形？
（3）当t为何值时，PQ∥BC？



20．（2019秋•镇赉县期末）在△ABC中，AD平分∠BAC，E是BC上一点，BE＝CD，EF∥AD交AB于F点，交CA的延长线于P，CH∥AB交AD的延长线于点H，
①求证：△APF是等腰三角形；
②猜想AB与PC的大小有什么关系？证明你的猜想．






21．（2019•葫芦岛模拟）将一副直角三角板如图摆放，等腰直角板ABC的斜边BC与含30°角的直角三角板DBE的直角边BD长度相同，且斜边BC与BE在同一直线上，AC与BD交于点O，连接CD．求证：△CDO是等腰三角形．





22．（2021春•高碑店市期末）如图，已知：AD平分∠CAE，AD∥BC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形．
（2）当∠CAE等于多少度时，△ABC是等边三角形？证明你的结论．


23．（2018•鼓楼区一模）如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D．小莉说：当AB+BD＝AC+CD时，△ABC是等腰三角形，她的说法正确吗？如正确，请证明；如不正确，请举反例说明．
24．（2018秋•盂县期末）将一副直角三角板如图摆放，等腰直角板ABC的斜边BC与含30°角的直角三角板DBE的直角边BD长度相同，且斜边BC与BE在同一直线上，AC与BD交于点O，连接CD．
求证：△CDO是等腰三角形．




25．（2017•长安区校级模拟）如图，△ABC中BD、CD平分∠ABC、∠ACB，过D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F，求证：EF＝BE+CF．
人教版数学八年级上册压轴题专题精选汇编
专题 等腰三角形的判定
一．选择题
1．（2021春•建平县期末）在正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图，已知A，B是两格点，如果点C也是格点，且使得△ABC是以AB为腰的等腰三角形，那么点C的个数有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【思路引导】根据网格结构，分别以A、B为圆心，AB为半径作圆与网格线的交点即为点C，即可得到点C的个数．
【完整解答】解：如图，以AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故选：B．
2．（2021春•和平区期末）如图，下列4个三角形中，均有AB＝AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（ ）
A．①②④B．②③④C．①②③D．①③④
【思路引导】逐个画出图形，即可得到答案．
【完整解答】解：图①中，∠A＝36°，AB＝AC，则∠ABC＝∠ACB＝72°，
以B为顶点，在△ABC内作∠ABD＝36°，则∠A＝∠ABD＝36°，
∴△ABD是等腰三角形，
而∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝36°，∠ACB＝72°，
∴∠ACB＝∠BDC＝72°，
∴△BDC是等腰三角形，
故直线BD将△ABC分成了两个小等腰三角形，①符合题意，如图：
图③中，∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，∠B＝∠C＝45°，
过A作作AE⊥BC于E，如图：
则△ABE和△ACE是等腰直角三角形，
故直线AE将△ABC分成了两个小等腰三角形，③符合题意；
图④中，∠BAC＝108°，AB＝AC，则∠B＝∠C＝36°，
以A为顶点，在△ABC内作∠BAF＝72°，如图：
则△ABF和△ACF都是等腰三角形，
故④符合题意；
图②是等边三角形，没有直线能将它分成两个小的等腰三角形，
故②不符合题意；
故选：D．
3．（2021春•硚口区月考）如图，在平面直角直角坐标系xOy中，A（4，0）、B（0，3）．点D在x轴上，若在线段AB（包括两个端点）上找点P，使得点A、D、P构成等腰三角形的点P恰好只有1个，下列选项中满足上述条件的点D的坐标不可能是（ ）
A．（﹣3，0）B．（﹣1，0）C．（5，0）D．（9，0）
【思路引导】先利用勾股定理计算出AB＝5，然后利用等腰三角形的判定对各选项进行判断．
【完整解答】解：∵A（4，0）、B（0，3），
∴AB＝5，
当点D坐标为（﹣3，0）时，只能作以PD、PA为腰的等腰三角形，
当点D坐标为（﹣1，0）时，可以作以PD、PA为腰的等腰三角形也可以作AP、AD为腰的等腰三角形，
当点D坐标为（5，0）时，只能作以AD、PA为腰的等腰三角形，
当点D坐标为（9，0）时，只能作以AD、PA为腰的等腰三角形，
故选：B．
4．（2021•雁塔区校级模拟）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，AC的中垂线交BC于点D，交AC于点E，连接AD，∠ADB的角平分线交AB于点F则图中等腰三角形的个数为（ ）
A．6B．5C．4D．3
【思路引导】由等腰三角形的判定可得答案．
【完整解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝108°，
∴∠B＝∠C＝36°，△ABC是等腰三角形，
∵DE是AC的中垂线，
∴AD＝CD，△ADC是等腰三角形，
∴∠DAC＝∠C＝36°，∠BAD＝108°﹣36°＝72°，
∵∠B＝36°，
∴∠BDA＝180°﹣36°﹣72°＝72°，
∴∠BAD＝∠BDA，△ABD是等腰三角形，
∵DF平分∠ADB，∠ADB＝72°，
∴∠BDF＝∠ADF＝36°，
∴△ADF和△BDF是等腰三角形．
故选：B．
5．（2020秋•船营区期末）平面直角坐标系中，已知A（1，1），B（2，0）．若在x轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【思路引导】由点A、B的坐标可得到AB＝，然后分类讨论：若AC＝AB；若BC＝AB；若CA＝CB，确定C点的个数．
【完整解答】解：∵点A、B的坐标分别为A（1，1），B（2，0）．
∴AB＝，
①若AC＝AB，以A为圆心，AB为半径画弧与x轴有2个交点（含B点），即（0，0）、（2，0），
∴满足△ABC是等腰三角形的C点有1个；
②若BC＝AB，以B为圆心，BA为半径画弧与x轴有2个交点（A点除外），即满足△ABC是等腰三角形的C点有2个；
③若CA＝CB，作AB的垂直平分线与x轴有1个交点，即满足△ABC是等腰三角形的C点有1个；
综上所述：点C在x轴上，△ABC是等腰三角形，符合条件的点C共有4个．
故选：C．
6．（2020春•松江区期末）如图，关于△ABC，给出下列四组条件：
①△ABC中，AB＝AC；
②△ABC中，∠B＝56°，∠BAC＝68°；
③△ABC中，AD⊥BC，AD平分∠BAC；
④△ABC中，AD⊥BC，AD平分边BC．
其中，能判定△ABC是等腰三角形的条件共有（ ）
A．1组B．2组C．3组D．4组
【思路引导】根据等腰三角形的判定定理逐个判断即可．
【完整解答】解：①、∵△ABC中，AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，故①正确；
②、∵△ABC中，∠B＝56°，∠BAC＝68°，
∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣68°﹣56°＝56°，
∴∠B＝∠C，
∴△ABC是等腰三角形，故②正确；
③∵△ABC中，AD⊥BC，AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝∠ADC，
∵∠B+∠BAD+∠ADB＝180°，∠C+∠CAD+∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠C，
∴△ABC是等腰三角形，故③正确；
④、∵△ABC中，AD⊥BC，AD平分边BC，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，故④正确；
即正确的个数是4，
故选：D．
7．（2019秋•蜀山区期末）在△ABC中，与∠A相邻的外角是130°，要使△ABC为等腰三角形，则∠B的度数是（ ）
A．50°B．65°
C．50°或65°D．50°或65°或80°
【思路引导】依据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质进行判断即可．
【完整解答】解：∠A＝180°﹣130°＝50°．
当AB＝AC时，∠B＝∠C＝（180°﹣50°）＝65°；
当BC＝BA时，∠A＝∠C＝50°，则∠B＝180°﹣50°﹣50°＝80°；
当CA＝CB时，∠A＝∠B＝50°．
∠B的度数为50°或65°或80°，
故选：D．
8．（2020春•左权县期末）如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的顶点C有（ ）
A．8个B．7个C．6个D．5个
【思路引导】分AB为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点C的个数．
【完整解答】解：当AB为底时，作AB的垂直平分线，可找出格点C的个数有5个，
当AB为腰时，分别以A、B点为顶点，以AB为半径作弧，可找出格点C的个数有3个；
∴这样的顶点C有8个．
故选：A．
二．填空题（共6小题）
9．（2020秋•松山区期末）已知：如图△ABC中，∠B＝50°，∠C＝90°，在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ACD的度数为 70°或40°或20° ．
【思路引导】分三种情形分别求解即可；
【完整解答】解：如图，有三种情形：
①当AC＝AD时，∠ACD＝70°．
②当CD′＝AD′时，∠ACD′＝40°．
③当AC＝AD″时，∠ACD″＝20°，
故答案为70°或40°或20°
10．（2021春•吉安县期末）如图，已知点P是射线BM上一动点（P不与B重合），∠AOB＝30°，∠ABM＝60°，当∠OAP＝ 75°或120°或90° 时，以A、O、B中的任意两点和P点为顶点的三角形是等腰三角形．
【思路引导】先根据题意画出符合的情况，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出即可．
【完整解答】解：分为以下5种情况：
①OA＝OP，
∵∠AOB＝30°，OA＝OP，
∴∠OAP＝∠OPA＝（180°﹣30°）＝75°；
②OA＝AP，
∵∠AOB＝30°，OA＝AP，
∴∠APO＝∠AOB＝30°，
∴∠OAP＝180°﹣∠AOB﹣∠APO＝180°﹣30°﹣30°＝120°；

③AB＝AP，
∵∠AOM＝60°，AB＝AP，
∴∠APO＝∠ABM＝60°，
∴∠OAP＝180°﹣∠AOB﹣∠APO＝180°﹣30°﹣60°＝90°；

④AB＝BP，
∵∠ABM＝60°，AB＝BP，
∴∠BAP＝∠APO＝（180°﹣60°）＝60°，
∴∠OAP＝180°﹣∠AOB﹣∠APO＝180°﹣30°﹣60°＝90°；

⑤AP＝BP，
∵∠ABM＝60°，AP＝BP，
∴∠ABO＝∠PAB＝60°，
∴∠APO＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠OAP＝180°﹣∠AOB﹣∠APO＝180°﹣30°﹣60°＝90°；
所以当∠OAP＝75°或120°或90°时，以A、O、B中的任意两点和P点为顶点的三角形是等腰三角形，
故答案为：75°或120°或90°．
11．（2019秋•海淀区期末）如图，已知∠MON，在边ON 上顺次取点P1，P3，P5…，在边OM 上顺次取点P2，P4，P6…，使得OP1＝P1P2＝P2P3＝P3P4＝P4P5…，得到等腰△OP1P2，△P1P2P3，△P2P3P4，△P3P4P5…
（1）若∠MON＝30°，可以得到的最后一个等腰三角形是 △P1P2P3 ；
（2）若按照上述方式操作，得到的最后一个等腰三角形是△P3P4P5，则∠MON 的度数α 的取值范围是 18°≤α＜22.5° ．
【思路引导】（1）利用等腰三角形的性质求出∠OP2P3即可判断．
（2）由题意要使得得到的最后一个等腰三角形是△P3P4P5，需要满足：∠P4P3P5＝4α＜90°且∠MP4P5＝5α≥90°，解不等式即可解决问题．
【完整解答】解：（1）∵OP1＝P1P2＝P2P3，
∴∠OP2P1＝∠O＝30°，
∠P2P1P3＝∠P2P3P1＝60°，
∴∠OP2P3＝90°，
∴△P2P3P4不存在，
∴得到的最后一个等腰三角形是△P1P2P3．
故答案为△P1P2P3．

（2）由题意要使得到的最后一个等腰三角形是△P3P4P5，
需要满足：∠P4P3P5＝4α＜90°且∠MP4P5＝5α≥90°，
∴18°≤α＜22.5°，
故答案为18°≤α＜22.5°．
12．（2019秋•江油市期末）如图，A、B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形、点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C共有 9 个．
【思路引导】根据已知条件，可知按照点C所在的直线分两种情况：①点C以点A为标准，AB为底边；②点C以点B为标准，AB为等腰三角形的一条边．
【完整解答】解：①点C以点A为标准，AB为底边，符合点C的有5个；
②点C以点B为标准，AB为等腰三角形的一条边，符合点C的有4个．
所以符合条件的点C共有9个．
13．（2021春•鹿城区校级月考）如图，∠AOB＝45°，点M，N在边OA上，OM＝x，ON＝x+2，点P是边OB上的点．若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有两个，则x的取值范围是 2﹣2≤x≤2或x＝2或x＝﹣1 ．
【思路引导】考虑四种特殊位置，求出x的值即可解决问题；
【完整解答】解：如图1中，当△P2MN是等边三角形时满足条件，作P2H⊥OA于H．
在Rt△P2HN中，P2H＝NH＝，
∵∠O＝∠HP2O＝45°，
∴OH＝HP2＝，
∴x＝OM＝OH﹣MH＝﹣1．
如图2中，当⊙M与OB相切于P1，MP1＝MN＝2时，x＝OM＝2，此时满足条件；
如图3中，如图当⊙M经过点O时，x＝OM＝2，此时满足条件的点P有2个．
如图4中，当⊙N与OB相切于P1时，x＝OM＝2﹣2，
观察图3和图4可知：当2﹣2＜x≤2时，满足条件，
综上所述，满足条件的x的值为：2﹣2＜x≤2或x＝2或x＝﹣1，
故答案为2﹣2＜x≤2或x＝2或x＝﹣1．
14．（2017秋•靖江市校级期中）平面直角坐标系中，已知A（﹣5，0），点P在第二象限，△AOP是以OA为腰的等腰三角形，且面积为10，则满足条件的P点坐标为 （﹣3.4）或（﹣8，4）或（﹣2，4） ．
【思路引导】设P（m，n）．利用三角形的面积公式求出n的值，再分两种情形构建方程即可解决问题；
【完整解答】解：设P（m，n）．
∵A（﹣5，0），
∴OA＝5，
∵S△POA＝10，
∴×5×n＝10，
∴n＝4，
当OP＝OA＝5时，m2+42＝52，
∴m＝±3，
∵m＜0，
∴m＝﹣3，
∴P（﹣3，4），
当AP′＝5时，（m+5）2+42＝52，
∴m＝﹣2或﹣8，
∴P′（﹣8，4）或（﹣2，4）．
故答案为（﹣3.4）或（﹣8，4）或（﹣2，4）．
三．解答题
15．（2019•沙坪坝区校级模拟）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点F为AB上一点，连接CF，过点B作BE⊥BC交CF的延长线于点E，交AD于点H，且∠1＝∠2
（1）求证：AB＝AC；
（2）若∠1＝22°，∠AFC＝110°，求∠BCE的度数．
【思路引导】（1）想办法证明∠ABC＝∠ACB即可．
（2）根据∠AFC＝∠FBC+∠ECB，想办法求出∠FBC即可．
【完整解答】（1）证明：∵EB⊥BC，AD⊥BC，
∴EB∥AD，
∴∠2＝∠BAD，
∵∠1＝∠2，
∴∠BAD＝∠1，
∵∠1+∠ACD＝90°，∠BAD+∠ABC＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC．

（2）解：∵∠2＝∠1＝22°，∠EBC＝90°，
∴∠FBC＝68°，
∵∠AFC＝∠FBC+∠ECB，
∴∠ECB＝110°﹣68°＝42°．
16．（2019春•蜀山区期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8厘米，BC＝6厘米，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动速度为1厘米/秒，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动速度为2厘米/秒，若它们同时出发，设出发的时间为t秒．
（1）求出发2秒后，PQ的长；
（2）点Q在CA边上运动时，当△BCQ成为等腰三角形时，求点Q的运动时间．
【思路引导】（1）根据点P、Q的运动速度求出AP，再求出BP和BQ，用勾股定理求得PQ即可；
（2）当点Q在边CA上运动时，能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间有三种情况：
①当CQ＝BQ时（图1），则∠C＝∠CBQ，可证明∠A＝∠ABQ，则BQ＝AQ，则CQ＝AQ，从而求得t；
②当CQ＝BC时（图2），则BC+CQ＝12，易求得t；
③当BC＝BQ时（图3），过B点作BE⊥AC于点E，则求出BE，CE，即可得出t．
【完整解答】（1）解：（1）BQ＝2×2＝4cm，
BP＝AB﹣AP＝8﹣2×1＝6cm，
∵∠B＝90°，
PQ＝＝2（cm）；
（2）解：分三种情况：
①当CQ＝BQ时，如图1所示：
则∠C＝∠CBQ，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBQ+∠ABQ＝90°，
∠A+∠C＝90°，
∴∠A＝∠ABQ
∴BQ＝AQ，
∴CQ＝AQ＝5，
∴BC+CQ＝11，
∴t＝11÷2＝5.5秒．
②当CQ＝BC时，如图2所示：
则BC+CQ＝12
∴t＝12÷2＝6秒．
③当BC＝BQ时，如图3所示：
过B点作BE⊥AC于点E，
则BE＝＝＝4.8（cm）
∴CE＝＝3.6cm，
∴CQ＝2CE＝7.2cm，
∴BC+CQ＝13.2cm，
∴t＝13.2÷2＝6.6秒．
由上可知，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，
△BCQ为等腰三角形．

17．（2020秋•五常市期末）如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD＝AE，BD＝CE．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若∠BAC＝108°，∠DAE＝36°，直接写出图中除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形．
【思路引导】（1）首先过点A作AF⊥BC于点F，由AD＝AE，根据三线合一的性质，可得DF＝EF，又由BD＝CE，可得BF＝CF，然后由线段垂直平分线的性质，可证得AB＝AC．
（2）根据等腰三角形的判定解答即可．
【完整解答】证明：（1）过点A作AF⊥BC于点F，
∵AD＝AE，
∴DF＝EF，
∵BD＝CE，
∴BF＝CF，
∴AB＝AC．
（2）∵∠B＝∠BAD，∠C＝∠EAC，∠BAE＝∠BEA，∠ADC＝∠DAC，
∴除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形为：△ABD、△AEC、△ABE、△ADC，
18．（2020春•陈仓区期末）已知：如图，AB＝AC，D是AB上一点，DE⊥BC于点E，ED的延长线交CA的延长线于点F．求证：△ADF是等腰三角形．
【思路引导】根据等边对等角得出∠B＝∠C，再利用等角的余角相等和对顶角相等得出∠EFC＝∠ADF，进而证明即可．
【完整解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C（等边对等角），
∵DE⊥BC于E，
∴∠FEB＝∠FEC＝90°，
∴∠B+∠EDB＝∠C+∠EFC＝90°，
∴∠EFC＝∠EDB（等角的余角相等），
∵∠EDB＝∠ADF（对顶角相等），
∴∠EFC＝∠ADF，
∴AD＝AF，
∴△ADF是等腰三角形．
19．（2019秋•巩义市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝12cm，若点P从点B出发以2cm/s的速度向点A运动，点Q从点A出发以1cm/s的速度向点C运动，设P、Q分别从点B、A同时出发，运动的时间为ts．
（1）用含t的式子表示线段AP、AQ的长；
（2）当t为何值时，△APQ是以PQ为底边的等腰三角形？
（3）当t为何值时，PQ∥BC？
【思路引导】（1）由题意，可知∠B＝30°，AC＝6cm．BP＝2t，AP＝AB﹣BP，AQ＝t．
（2）若△APQ是以PQ为底的等腰三角形，则有AP＝AQ，即12﹣2t＝t，求出t即可．
（3）先根据直角三角形的性质求出∠B的度数，再由平行线的性质得出∠QPA的度数，根据直角三角形的性质即可得出结论．
【完整解答】解：（1）∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝30°．
又∵AB＝12cm，
∴AC＝6cm，BP＝2t，AP＝AB﹣BP＝12﹣2t，AQ＝t；
（2）∵△APQ是以PQ为底的等腰三角形，
∴AP＝AQ，即12﹣2t＝t，
∴当t＝4时，△APQ是以PQ为底边的等腰三角形；
（3）当PQ⊥AC时，PQ∥BC．
∵∠C＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝30°
∵PQ∥BC，
∴∠QPA＝30°
∴AQ＝AP，
∴t＝（12﹣2t），解得t＝3，
∴当t＝3时，PQ∥BC．
20．（2019秋•镇赉县期末）在△ABC中，AD平分∠BAC，E是BC上一点，BE＝CD，EF∥AD交AB于F点，交CA的延长线于P，CH∥AB交AD的延长线于点H，
①求证：△APF是等腰三角形；
②猜想AB与PC的大小有什么关系？证明你的猜想．
【思路引导】①根据题意作出图形，根据两直线平行，内错角相等可得∠1＝∠4，同位角相等可得∠2＝∠P，再根据角平分线的定义可得∠1＝∠2，然后求出∠4＝∠P，根据等角对等边的性质即可得证；
②根据两直线平行，内错角相等可得∠5＝∠B，再求出∠H＝∠1＝∠3，然后利用“AAS”证明△BEF和△CDH全等，根据全等三角形对应边相等可得BF＝CH，再求出AC＝CH，再根据AB＝AF+BF，PC＝AP+AC，整理即可得解．
【完整解答】①证明：∵EF∥AD，
∴∠1＝∠4，∠2＝∠P，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1＝∠2，
∴∠4＝∠P，
∴AF＝AP，
即△APF是等腰三角形；

②AB＝PC．理由如下：
证明：∵CH∥AB，
∴∠5＝∠B，∠H＝∠1，
∵EF∥AD，
∴∠1＝∠3，
∴∠H＝∠3，
在△BEF和△CDH中，
∵，
∴△BEF≌△CDH（AAS），
∴BF＝CH，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1＝∠2，
∴∠2＝∠H，
∴AC＝CH，
∴AC＝BF，
∵AB＝AF+BF，PC＝AP+AC，
∴AB＝PC．
21．（2019•葫芦岛模拟）将一副直角三角板如图摆放，等腰直角板ABC的斜边BC与含30°角的直角三角板DBE的直角边BD长度相同，且斜边BC与BE在同一直线上，AC与BD交于点O，连接CD．求证：△CDO是等腰三角形．
【思路引导】根据BC＝DE和∠DEF＝30°可求得∠BDC和∠BCD的值，根据∠ACB＝45°即可求得∠DOC的值，即可解题．
【完整解答】证明：∵在△BDC 中，BC＝DB，
∴∠BDC＝∠BCD．
∵∠DBE＝30°，
∴∠BDC＝∠BCD＝75°，
∵∠ACB＝45°，
∴∠DOC＝30°+45°＝75°．
∴∠DOC＝∠BDC，
∴△CDO是等腰三角形．
22．（2021春•高碑店市期末）如图，已知：AD平分∠CAE，AD∥BC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形．
（2）当∠CAE等于多少度时，△ABC是等边三角形？证明你的结论．
【思路引导】（1）根据角平分线的定义可得∠EAD＝∠CAD，再根据平行线的性质可得∠EAD＝∠B，∠CAD＝∠C，然后求出∠B＝∠C，再根据等角对等边即可得证．
（2）根据角平分线的定义可得∠EAD＝∠CAD＝60°，再根据平行线的性质可得∠EAD＝∠B＝60°，∠CAD＝∠C＝60°，然后求出∠B＝∠C＝60°，即可证得△ABC是等边三角形．
【完整解答】（1）证明：∵AD平分∠CAE，
∴∠EAD＝∠CAD，
∵AD∥BC，
∴∠EAD＝∠B，∠CAD＝∠C，
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC．
故△ABC是等腰三角形．
（2）解：当∠CAE＝120°时△ABC是等边三角形．
∵∠CAE＝120°，AD平分∠CAE，
∴∠EAD＝∠CAD＝60°，
∵AD∥BC，
∴∠EAD＝∠B＝60°，∠CAD＝∠C＝60°，
∴∠B＝∠C＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
23．（2018•鼓楼区一模）如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D．小莉说：当AB+BD＝AC+CD时，△ABC是等腰三角形，她的说法正确吗？如正确，请证明；如不正确，请举反例说明．
【思路引导】根据等腰三角形的判定解答即可．
【完整解答】解：正确，理由如下：
在Rt△ADB与Rt△ADC中，由勾股定理可得：AB2﹣BD2＝AD2，AC2﹣CD2＝AD2，
∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，即（AB+BD）（AB﹣BD）＝（AC+CD）（AC﹣CD
∵AB+BD＝AC+CD，
∴AB﹣BD＝AC﹣CD，
两式相加，AB＝AC，则△ABC为等腰三角形．
25．（2018秋•盂县期末）将一副直角三角板如图摆放，等腰直角板ABC的斜边BC与含30°角的直角三角板DBE的直角边BD长度相同，且斜边BC与BE在同一直线上，AC与BD交于点O，连接CD．
求证：△CDO是等腰三角形．
【思路引导】根据BC＝DB和∠DEF＝30°可求得∠BDC和∠BCD的值，根据∠ACB＝45°即可求得∠DOC的值，即可解题．
【完整解答】证明：∵在△BDC 中，BC＝DB，
∴∠BDC＝∠BCD．
∵∠DBE＝30°，
∴∠BDC＝∠BCD＝75°，
∵∠ACB＝45°，
∴∠DOC＝30°+45°＝75°．
∴∠DOC＝∠BDC，
∴△CDO是等腰三角形．
24．（2017•长安区校级模拟）如图，△ABC中BD、CD平分∠ABC、∠ACB，过D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F，求证：EF＝BE+CF．
【思路引导】根据平行线的性质和角平分线的性质，解出△BED和△CFD是等腰三角形，通过等量代换即可得出结论．
【完整解答】解：∵△ABC中BD、CD平分∠ABC、∠ACB，
∴∠1＝∠2，∠5＝∠6，
∵EF∥BC，∴∠2＝∠3，∠4＝∠6，
∴∠1＝∠3，∠4＝∠5，
根据在同一三角形中等角对等边的原则可知，BE＝ED，DF＝FC，故EF＝ED+DF＝BE+CF．