贵州省县中联盟2025-2026学年高二上学期12月自主命题考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份贵州省县中联盟2025-2026学年高二上学期12月自主命题考试数学试卷（Word版附解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．已知圆，圆，则圆与圆的位置关系为（ ）
A．外离B．相交C．外切D．内含
4．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
5．将一个半径为3的铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的铁锭，若这个铁锭的上､下底面边长分别为2和4，则它的高为（ ）
A．B．C．D．
6．已知直线的倾斜角为，点，圆，若圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
7．近年来，虽然电动汽车已经进入了千家万户，但是燃油车还是牢牢占有一席之地.燃油车的启动主要靠本身的蓄电池供电.已知某品牌汽车蓄电池的与电池相关的常数与放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间的经验公式为，其中.在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数的定义域为为奇函数，且函数的图象关于直线对称，则下列结论一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知复数满足，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．复数的虚部为
C．在复平面内对应的点在第二象限
D．
10．已知直线，则下列选项正确的是（ ）
A．过点且垂直于直线的直线方程为
B．直线过定点
C．当时，
D．当时，两直线之间的距离为
11．如图，在棱长为4的正方体中，是棱上的动点，且，为的中点，则下列选项正确的是（ ）

A．三棱锥的体积为定值
B．当时，点到平面的距离为
C．以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为
D．若过点的平面截正方体所得的截面为平行四边形，则的取值范围为
三、填空题
12．已知直线经过点，则直线的一般式方程为 .
13．在空间直角坐标系中，向量在平面上的投影向量为，在向量上的投影向量为，则与的夹角为 .
14．已知函数，则的最大值为 .
四、解答题
15．甲､乙两位同学参加数学竞赛培训.现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，茎叶图记录如下：
已知这两组数据的中位数相等，且平均值也相等.
(1)求茎叶图中的和的值；
(2)分别计算甲､乙两位同学成绩的平均数和方差，并根据计算结果判断选派谁参加数学竞赛更合适，请说明理由.
16．在中，内角的对边分别为，已知为锐角，为边的中点，且.
(1)求；
(2)若，求的面积.
17．已知直线过点，圆.
(1)若直线与圆相切，求的方程；
(2)若直线的斜率为3，设与圆的交点为，，求以线段为直径的圆的标准方程.
18．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，平面底面，且为等边三角形.
(1)证明：.
(2)求平面与平面所成角的余弦值.
19．已知函数是定义在上的奇函数，且指数函数的图像过点.
(1)求的解析式；
(2)若函数在内有2个不同的零点，求实数的取值范围；
(3)若对任意，不等式恒成立，求实数的最小值.
1．D
先求出集合,再根据交集的定义求解即可.
【详解】因，，
故.
故选：D.
2．D
根据给定条件，利用正切函数的定义及二倍角的正切公式计算得解.
【详解】由角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，得，
所以.
故选：D
3．B
分别求出两个圆的圆心和半径，再判断两个圆的位置关系.
【详解】圆的圆心为半径为 ，圆的圆心为半径为 ，
则 ，，
因为 ，所以圆与圆相交.
故选：B.
4．C
根据线面平行与垂直的判定定理和性质定理，逐项分析判断，即可求解.
【详解】对于A，若，可得或与相交，所以A不正确；
对于B，由，可得或，所以B不正确；
对于C，由，可得，因为，所以，所以C正确；
对于D，在如图所示的正方体中，设平面为平面，平面为平面，
则，再设为直线，为直线，则平面，此时，所以D不正确.
故选：C
5．B
利用球和正四棱台的体积相等直接计算即可．
【详解】球的体积为，设铁锭的高为，
则正四棱台的体积为，
由，可得，解得．
故选：B
6．C
先求出直线的方程，并将圆化为标准方程，求出点关于直线对称的点，即可根据圆心和半径写出方程.
【详解】由题意知，直线的方程为，即，
圆可化为，
故圆心，半径为，
设点关于直线对称的点为，
则，，解得，
因为圆与圆关于直线对称，所以，
又圆的半径为，故圆的标准方程为.
故选：C
7．A
先根据已知条件表示出，代入公式，结合指数和对数运算公式可求答案.
【详解】由题意可得，因为当放电电流时，放电时间，
所以;
当放电电流时，放电时间为
.
故选：A
8．D
本题可先根据为奇函数得出的对称中心，再根据的图象关于直线对称得出的对称轴，进而推出的周期，最后根据函数性质求出、、、的值。
【详解】因为为奇函数，所以，令，
则，即.令,得，且关于点中心对称，
因为的图象关于直线对称，
令，所以，
又，即,
令，则，说明关于直线轴对称，
由轴对称，中心对称，
得，令，则，
进而，即，即的周期为12，
由和周期，得，
所以，,
，
，
所以、、的值不一定为0，
，故.
故选：D.
9．AD
对A，由复数除法求得，根据共轭复数的概念判断；对B，根据复数的虚部的概念判断；对C，计算，根据复数的几何意义判断；对D，根据计算判断.
【详解】对于A：由得，所以，A正确；
对于B：复数的虚部是，B错误；
对于C：，对应的点为，在第四象限，C错误；
对于D：，D正确；
故选：AD.
10．ABD
设所求直线方程为，将点代入，求得，可判定A正确；化简直线为，求得直线过定点，可判定B正确；结合两直线垂直的判定方法，可判定C不正确；由求得，得出的方程，结合两平行线间的距离公式，可判定D正确.
【详解】对于A，设过点且垂直于直线的直线方程为，
将点代入，可得，解得，
所以所求直线为，所以A正确；
对于B，直线，
可化为，
联立方程组，解得，
所以直线恒过定点，所以B正确；
对于C，当时，可得直线，
此时，
所以与不垂直，所以C不正确；
对于D，当时，则满足，解得，
此时，
则两平行线间的距离为，所以D正确.
故选：ABD.
11．ACD
证明平面，结合三棱锥的体积求法判断A；建立空间直角坐标系，利用空间向量求解判断BD；利用球面的性质求出交线长度判断C.
【详解】对于A，在正方体中，平面，平面，
则平面，点到平面的距离为定值，而的面积是定值，
因此三棱锥的体积为定值，A正确；
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图：
对于B，，
，有，则是平面的法向量，而，
，因此点到平面的距离，B错误；
对于C，令为球面与侧面交线上的点，由侧面，得，
而，，则，球面与侧面的交线是以点为圆心，
2为半径的圆的，长度为，C正确；
对于D，，当过点的平面截正方体所得的
截面为平行四边形时，平面与棱必相交，设交点，
，而，即，解得，
又，则，而，因此，D正确.
故选：ACD
12．
利用直线方程的两点式，写出方程，化简可得答案.
【详解】由题意可得直线，化简可得.
故答案为：.
13．
先由投影向量的概念求出的坐标，再利用向量夹角的余弦公式求解即可.
【详解】向量在平面上的投影向量为，
向量在向量上的投影向量为，
则，因，则.
故答案为：.
14．/
先根据二次根式有意义的条件确定函数的定义域，然后通过换元法将函数转化为含根式的函数，再利用三角换元进一步转化为三角函数，最后结合三角函数的性质求出函数的最大值.
【详解】由已知条件得：，所以，
即，解得定义域为：，
令，则，，代入得：
，
即求在上的最大值，
令，其中，则代入得：
，
利用三角恒等变换：，
因此：，
因为：的最大值为1，
当，即（此时）时取得，
因此，
综上，的最大值为.
故答案为：.
15．(1)
(2)；选派甲参加数学竞赛更合适，理由见解析
（1）利用一组数据得中位数和平均数的计算方法列方程求解即得；
（2）利用平均数和方差的计算公式列式计算，在均值相等时，根据方差较小的一组作为选派对象即可.
【详解】（1）由茎叶图可知，甲组数据从小到大排列为：，
则中位数为，平均值为：；
而乙组数据从小到大排列为：，
则中位数为，平均值为：，
依题意，有，解得；
（2）由（1）得，
则甲组数据的方差为：
；
而乙组数据的方差为：
，
因，两同学成绩平均水平相当，但甲同学的成绩更稳定，
故根据计算结果判断选派甲参加数学竞赛更合适.
16．(1)
(2)
（1）根据、诱导公式以及倍角公式化简即可求出，再结合角的范围即可求出；
（2）将平方即可求出，再利用三角形的面积公式即可.
【详解】（1）因为，所以，
即，
则，即，得或，
因为为锐角，所以，则；
（2）因为为边的中点，所以，则，
因为，所以，即，
得（负值舍去），
则的面积为.
17．(1)或；
(2).
（1）分斜率存在与不存在讨论求解；
（2）分别求得线段的长度和中点坐标，得到圆的标准方程.
【详解】（1）圆，圆心，半径，
若直线的斜率不存在，则，圆心到直线的距离，
所以，即此时直线与圆相切；
若直线的斜率存在，设，即，
若直线与圆相切，则圆心到直线的距离，
解得，所以，即，
综上，直线的方程为或；
（2）若直线的斜率为，则，即，
圆心到直线的距离，
所以，
所以以为直径的圆的半径为.
因为直线的斜率为，所以圆心与线段中点连线的斜率为，
其方程为，即，
由得，即AB中点的坐标为，
所以以为直径的圆的标准方程为.
18．(1)证明见解析
(2)
（1）过作于，连接，通过求证平面，进而即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，求得平面法向量，由面面夹角公式求解即可.
【详解】（1）
过作于，
因为为等边三角形，故为的中点，
∵侧面底面，且侧面底面，平面内，
∴平面，连接，
∵底面是菱形，且，∴，
又，平面，
所以平面，
因为平面内，所以；
（2）以为坐标原点，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，设，
则，
则
设平面的法向量为，
则，令，得，
即，
设平面的法向量为，
则，令，得，
即，
设平面与平面所成角为，
则，
即平面与平面所成角余弦值为.
19．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由题意可知，，，得，
所以，，
因为函数是定义在上的奇函数，所以，
即，得，
所以；
（2），
函数的值域为，且为增函数，所以函数是减函数，
，即，
且函数为奇函数，所以，
所以在内有2个不同的实数根，
即，转化为与，在有2个不同的交点，
，
如图，画出函数,可知
所以的取值范围是；
（3）不等式，
等价于，
因为函数是减函数，所以，，
即，
设，即，
则，在上恒成立，
函数在区间单调递增，所以的最小值为，