初中数学冀教版（2024）七年级上册（2024）整式的加减精品ppt课件

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冀教（2024）版数学7年级上册第五章 一元一次方程5.4.4追及及等积变形问题想一想： 阿基米德为了帮助国王辨别皇冠的真假，需要测量皇冠的体积，确定皇冠的密度，聪明的阿基米德用非常巧妙的方法测出了皇冠的体积，你知道他是如何测量的吗？hr=# 幻灯片分页内容：5.4.4 追及及等积变形问题## 第1页：导入——聚焦两类核心应用问题- 展示情境： 1. 追及问题：学校运动会上，小明在100米赛跑中领先小刚5米，小明速度7m/s，小刚速度8m/s，小刚多久能追上小明？ 2. 等积变形问题：将一个棱长为6cm的正方体铁块，锻造成底面边长为4cm的长方体，长方体的高是多少？- 提问：这两类问题的核心解题逻辑是什么？（追及问题抓“路程差不变”，等积变形问题抓“体积/面积不变”，均通过不变量建立方程）- 引出主题：今天重点巩固追及问题和等积变形问题的解法，深化对“不变量”的理解，掌握复杂场景下的方程建立技巧，提升实际应用能力。## 第2页：模块一——追及问题（深化与拓展）### 核心知识回顾1. 本质：同向运动中，快者追赶慢者，核心不变量是“路程差”（初始距离或慢者先走路程）2. 基本公式：路程 = 速度×时间（s = v×t）3. 核心相等关系：快者路程 - 慢者路程 = 路程差（追及时两者路程满足此关系）4. 常见场景：同地不同时、同时不同地、环形追及### 解题步骤（标准化流程）1. 审题标注：圈出速度（v快、v慢）、路程差（初始距离/先出发时间）、运动方向2. 设未知数：优先设追及时间为t（单位与速度统一）3. 表示路程： - 同地不同时：慢者路程 = v慢×(t + 先出发时间)，快者路程 = v快×t - 同时不同地：慢者路程 = v慢×t，快者路程 = v快×t4. 列方程：根据“快者路程 - 慢者路程 = 路程差”建立等式5. 解方程检验：结果为正数，且符合实际场景（如环形追及路程差为周长的整数倍）### 例题1：同地不同时追及（含分段速度）- 问题：甲从家出发去图书馆，先以3km/h的速度步行1小时，后改乘公交车，速度变为15km/h；乙在甲出发2小时后骑电动车从家出发，速度12km/h，乙多久能追上甲？- 解答： 1. 设乙出发后t小时追上甲（甲步行1小时，乘车时间为t小时，总行驶时间t+1小时） 2. 甲的路程：步行路程 + 乘车路程 = 3×1 + 15t = 3 + 15t 3. 乙的路程：12t 4. 路程差：甲先出发2小时的路程（甲前2小时走了3×1 + 15×1 = 18km？不，甲出发2小时后，步行1小时，乘车1小时，此时甲已走3×1 + 15×1 = 18km，乙才出发，路程差为18km） 5. 列方程：15t + 3 - 12t = 3×2（甲总路程 - 乙路程 = 甲先出发2小时的路程） （修正：甲出发2小时后，乙开始出发，此时甲已走3×1 + 15×(2-1) = 18km，乙出发后，甲继续乘车t小时，路程增加15t，乙路程12t，追上时18 + 15t = 12t？错误，乙速度12km/h < 甲乘车速度15km/h，无法追上？调整数据：乙速度20km/h） 6. 修正问题：乙速度20km/h，列方程：3 + 15t = 20t（甲总路程=乙路程） 7. 解方程：5t=3→t=0.6小时=36分钟 8. 检验：甲总路程=3+15×0.6=12km，乙路程=20×0.6=12km，符合追上条件 9. 答：乙出发后36分钟能追上甲### 例题2：环形追及（多次追上）- 问题：甲、乙两人在400米环形跑道上同向跑步，甲速度5m/s，乙速度7m/s，两人同时同地出发，多少秒后乙第3次追上甲？- 解答： 1. 第3次追上时，乙比甲多跑3圈，路程差=3×400=1200米 2. 设t秒后第3次追上，甲路程=5t，乙路程=7t 3. 列方程：7t - 5t = 1200 4. 解方程：2t=1200→t=600秒 5. 检验：7×600 - 5×600=4200-3000=1200米=3圈，符合题意 6. 答：600秒后乙第3次追上甲## 第3页：追及问题易错点强化与练习### 高频易错点突破1. 速度单位不统一：如速度km/h与时间分钟，需先统一（例：10分钟=1/6小时）2. 路程差判断错误：环形追及多次追上时，路程差=圈数×周长；同地不同时路程差=慢者先走路程3. 忽略分段运动：物体运动速度变化时，需分段计算路程，再求和### 课堂练习（追及问题）1. 基础题：甲、乙两车从同一地点出发，甲车速度60km/h，乙车速度80km/h，甲车先出发1.5小时，乙车出发后多久能追上甲车？（答案：4.5小时）2. 提高题：在200米环形跑道上，甲速度4m/s，乙速度6m/s，乙在甲前方50米处同时出发，乙第一次追上甲需要多少秒？（答案：75秒）3. 拓展题：小明以5km/h的速度从A地到B地，出发1小时后，小红以7km/h的速度从B地向A地出发，A、B两地相距20km，两人相遇时小明走了多少千米？（提示：相遇问题转化为追及思维，路程和=20-5×1=15km，相遇时间t=15÷(5+7)=1.25小时，小明总路程=5×(1+1.25)=11.25km）## 第4页：模块二——等积变形问题（深化与拓展）### 核心知识回顾1. 本质：物体形状改变，体积（或面积）保持不变，核心不变量是“体积”或“面积”2. 常用公式： - 立体图形：正方体体积V=a³，长方体体积V=abh，圆柱V=πr²h，圆锥V=(1/3)πr²h - 平面图形：长方形面积S=ab，正方形面积S=a²，三角形面积S=(1/2)ah3. 核心相等关系：变形前体积（面积）= 变形后体积（面积）### 解题步骤（标准化流程）1. 审题识别：确定变形前后的图形类型，明确不变量（体积/面积）2. 设未知数：设变形后未知的关键量（如高、边长、半径）为x3. 代入公式：分别计算变形前后的体积（面积），代入已知数据4. 列方程：根据“变形前后体积（面积）相等”建立等式5. 解方程检验：结果为正数，符合图形实际尺寸（如高、边长不为负）### 例题3：立体图形等积变形（圆柱变长方体）- 问题：将一个底面半径5cm、高10cm的圆柱钢材，锻造成一个长10cm、宽5cm的长方体钢材，长方体的高是多少厘米？（π取3.14）- 解答： 1. 不变量：圆柱体积=长方体体积 2. 设长方体高为x cm 3. 圆柱体积=π×5²×10=250π≈785cm³ 4. 长方体体积=10×5×x=50x 5. 列方程：50x=250π→x=5π≈15.7cm 6. 检验：50×15.7=785cm³，与圆柱体积相等 7. 答：长方体的高约是15.7厘米### 例题4：平面图形等积变形（三角形变平行四边形）- 问题：一个三角形草坪，底20米，高15米，现要将其改造成一个高10米的平行四边形草坪（面积不变），平行四边形的底是多少米？- 解答： 1. 不变量：三角形面积=平行四边形面积 2. 设平行四边形底为x米 3. 三角形面积=(1/2)×20×15=150平方米 4. 平行四边形面积=10x 5. 列方程：10x=150→x=15米 6. 检验：10×15=150平方米，与三角形面积相等 7. 答：平行四边形的底是15米## 第5页：等积变形问题易错点强化与练习### 高频易错点突破1. 公式记忆错误：如圆锥体积漏乘1/3，三角形面积漏乘1/22. 单位不统一：如半径单位cm，高单位dm，需先统一（1dm=10cm）3. 忽略“熔铸/锻造”的隐含条件：此类问题默认体积不变，无损耗4. 立体与平面混淆：误将平面图形面积与立体图形体积建立等式### 课堂练习（等积变形问题）1. 基础题：把一个棱长8cm的正方体铁块熔铸成一个底面直径8cm的圆柱，圆柱的高约是多少？（π取3.14，答案：约10.19cm）2. 提高题：一个圆锥形容器，底面周长18.84cm，高10cm，装满水后倒入一个长方体容器，长方体容器的长5cm、宽3cm，水面高多少厘米？（π取3.14，答案：6.28cm）3. 拓展题：将一个长12cm、宽8cm、高6cm的长方体木块，削成一个最大的圆柱，圆柱的体积是多少？（提示：有三种削法，分别以不同面为底面，计算体积后比较，最大体积=π×(8÷2)²×6=96π≈301.44cm³）## 第6页：综合应用题（追及+等积变形结合）### 例题5：跨类型综合问题- 问题：一个底面半径10cm、高15cm的圆柱形容器装满水，将水倒入一个长20cm、宽15cm的长方体容器中，此时水面高度为h cm。若小明以8cm/s的速度从容器一端走向另一端，同时小红以10cm/s的速度从另一端追赶，当小红追上小明时，水面上升了0.5cm（水未溢出），求追赶时间。- 解答： 1. 第一步：等积变形求初始水面高度h - 圆柱体积=π×10²×15=1500π - 长方体底面积=20×15=300cm² - 1500π=300h→h=5π≈15.7cm 2. 第二步：追及问题求时间t - 路程差=长方体容器长=20cm - 列方程：10t - 8t=20→2t=20→t=10秒 3. 检验：10秒内水面上升0.5cm，符合题意（无需考虑水的体积变化，仅需追及逻辑） 4. 答：追赶时间为10秒### 核心思路：- 综合问题需拆分模块，分别用对应题型的解题方法处理，再建立关联- 先解决独立模块（如等积变形求高度），再处理关联模块（如追及求时间）## 第7页：课堂小结与方法提炼### 两类问题核心对比| 问题类型 | 核心不变量 | 关键步骤 | 常见公式 ||----------|------------|----------|----------|| 追及问题 | 路程差 | 1. 统一单位；2. 表示路程；3. 列方程（快-慢=差） | s=v×t || 等积变形问题 | 体积/面积 | 1. 识别图形；2. 代入公式；3. 列方程（前后相等） | 正方体V=a³、圆柱V=πr²h、长方形S=ab等 |### 通用解题思想：1. 找不变量：所有实际问题的核心的是抓住“不变的量”，这是列方程的根本依据2. 分模块处理：复杂问题拆分为基础模块，逐一解决后整合3. 检验习惯：结果需满足“数值为正”“符合实际场景”“单位统一”三个条件### 课后寄语：- 追及问题和等积变形问题是一元一次方程应用的重点，需通过多练习强化对“不变量”的敏感度- 遇到陌生场景时，先联想基础题型，提炼核心关系，再建立方程，切忌盲目列式- 提问：今天你对追及问题和等积变形问题的理解是否更深入了？面对综合题型时，你会如何拆分模块并解决？ 小明早晨要在7：20以前赶到距家1 000米的学校上学．一天，小明以80米/分的速度出发，5分钟后，小明的爸爸发现他忘了带历史作业，于是，爸爸立即以180米/分的速度去追小明，并且在途中追上了他．问爸爸追上小明用了多长时间？ 分析：当爸爸追上小明时，两人所走路程相等.解：设爸爸追上小明用了x分钟，则此题的数量关系可用线段图表示. 据题意，得 80×5＋80x=180x. 答：爸爸追上小明用了4分钟．解得 x=4.80×580x180x 追及问题解题思路：追及问题中的等量关系：速度差×追及时间=追及路程其中追及时间指快者和慢者共同行驶的时间，追及路程指慢者先行驶的路程.例1 某学校七年级学生进行了一次徒步行走活动.带队教师和学生们以4 km/h的速度从学校出发，20 min后，小王骑自行车前去追赶.如果小王以12 km/h的速度行驶，那么小王要用多久才能追上队伍？此时，队伍已走了多远？ 分析：小王追上队伍，就是小王和队伍走过的路程相等. 即小王骑车行驶的路程=队伍行走的路程.例2 甲、乙两地相距100 km，一列慢车与一列快车同时从甲、乙两地出发，慢车每小时行驶65 km，快车每小时行驶85 km，快车行驶几小时后追上慢车？分析：快车与慢车同时出发，即它们行驶的时间相等. 快车追上慢车，比慢车多行驶的距离即为甲、乙两地的距离. 即：快车行驶路程=慢车行驶路程+100km.解：设快车出发x h能追上慢车. 依题意，得解得 x=5.答：快车出发5h能追上慢车. 把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本.这个班有多少名学生，共有多少本图书？ 【分析】如果设这个班有x名学生，则图书的本数可以表示为___________本 或___________本.根据图书的本数可以列方程解决.解：设这个班有x名学生，根据题意列方程，得解得x=45.所以3x+20=3×45+20=155.答：这个班有45名学生，共有155本图书.例3 某农场要对一块麦田施底肥，现有化肥若干千克．如果每公顷施肥400 kg，那么余下化肥800 kg；如果每公顷施肥500 kg，那么缺少化肥300 kg；这块麦田是多少公顷？现有化肥多少千克？【分析】设这块麦田有x公顷，根据题意可得化肥的总数可表示为400x+800，或500x﹣300，根据化肥的总数不变可得方程．解：设这块麦田有x公顷，根据题意, 得400x+800＝500x﹣300， 解得 x＝11．现有化肥数：400x+800＝5 200．答：这块麦田是11公顷，现有化肥5 200千克．常见图形周长及面积公式常见图形的体积公式在这个过程中什么没有发生变化？长方形的周长=原铁丝的长度解：设长方形的宽为x米，则长为(x+10)米. 依题意，得 2（x+x+10）=100.解得 x=20.所以长为x+10=20+10=30（米）.答：长方形的长为30米，宽为20米.解：设应截取圆钢x毫米.依题意，得【分析】本题中涉及的等量关系为 圆钢体积=长方体毛胚的体积答：应截取258毫米长的圆柱体钢.等积变形就是无论物体怎么变化都存在一个等量关系，即物体变化前后面积或体积不变1.一个长方形的周长是40 cm，若将长减少8 cm，宽增加2 cm，长方形就变成了正方形，则正方形的边长为( 　　)A.6 cm　　　B.7 cm　　　C.8 cm　　　D. 9 cmB 2.一个宽为3cm的长方形与一个边长为6cm的正方形面积相等，则这个长方形的周长为（ ）A.12 cm B.18 cm C.24 cm D.30 cmD 3.甲、乙两人练习赛跑，从同一地点出发，甲每秒跑7米，乙先跑1秒，结果甲用10秒追上乙，在这个过程中下列说法正确的是(　　) A．乙跑了1秒 B．乙跑了11秒 C．甲跑了11秒 D．甲比乙跑的路程少 B4.一种牙膏出口处直径为5 mm，小明每次刷牙都挤出1 cm长的牙膏，这样一支牙膏可以用36次，该品牌牙膏推出新包装，只是将出口处直径改为6 mm，小明还是按习惯每次挤出1 cm 的牙膏，这样，这一支牙膏能用多少次？解：设这一支牙膏能用x次.依题意，得 π×2.52×10×36＝π×32×10x.解得 x=25.答：这一支牙膏能用25次.5.若干辆汽车装运一批货物，若每辆车装运3.5吨，则这批货物还有2吨运不走，若每辆车装运4吨，那么装完这批货物后，有一辆汽车只装3吨．问这批货物有多少吨？有多少辆汽车？解：设有x辆汽车，依题意列方程，得3.5x+2=4x-1.解得x=12.所以4x-1=4×12-1=47.答：这批货物有47吨，有12辆汽车.6．一个底面直径为16厘米的圆柱形木桶内装满水，水中淹没着一个底面直径为8厘米、高为15厘米的铁质小圆柱体．当铁质小圆柱体取出后，木桶内水面下降了多少？ [解析] 木桶内水面下降的圆柱体体积＝铁质小小圆柱体体积． 7.A，B两车分别停靠在相距115千米的甲、乙两地，A车每小时行50千米，B车每小时行30千米，A车出发1.5小时后B车再出发.若两车同向而行（B车在A车前面），请问B车行了多长时间后被A车追上？ 解：设B车行驶了xh后被A车追上.由题意，得1.5×50+50x-30x=115.解得x=2. 答：B车行驶了2h后被A车追上. 【分析】本题中涉及的等量关系为： A车先行路程 + A车后行路程 - B车路程 = 115千米.知识点1 百分率问题 D  返回   返回知识点2 储蓄问题   返回 （1）李叔叔当时存入银行多少钱？ （2）到期时李叔叔一共能取回多少钱？  返回知识点3 销售问题 C  返回 BA.商品的利润不变 B.商品的成本不变C.商品的售价不变 D.商品的销售量不变 返回 60 返回   返回 BA.赚了40元 B.赔了40元 C.赔了60元 D.不赚不赔 返回谢谢观看！