2023年各省市中考数学试卷分类汇编知识点34 与圆的有关计算（Word版附解析）

这是一份2023年各省市中考数学试卷分类汇编知识点34 与圆的有关计算（Word版附解析），共27页。试卷主要包含了【2023·安徽6题】等内容，欢迎下载使用。
A．三角形B．菱形C．扇形D．五边形
【答案】C 【解析】圆锥的侧面展开图有一边是曲线，排除选项A、B、D，扇形有一条曲线和两条线段．故选：C．
甘肃省
6. 【2023·兰州6题】如图1是一段弯管，弯管的部分外轮廓线如图2所示是一条圆弧，圆弧的半径，圆心角，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
福建省
10．【2023·福建10题】我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416．如图，⊙O的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计⊙O的面积，可得π的估计值为332，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得π的估计值为（ ）
A．3B．22C．3D．23
【答案】C 【解析】如图，AB是正十二边形的一条边，点O是正十二边形的中心，过A作AM⊥OB于M，在正十二边形中，∠AOB＝360°÷12＝30°，∴AM=12OA=12.∴S△AOB=12OB•AM=12×1×12=14.∴正十二边形的面积为12×14=3.∴3＝12×π.∴π＝3.∴π的近似值为3.
安徽省
6．【2023·安徽6题】
【答案】D
河北省
9．【2023·河北9题】如图，点P1～P8是⊙O的八等分点．若△P1P3P7，四边形P3P4P6P7的周长分别为a，b，则下列正确的是（ ）
A．a＜bB．a＝b
C．a＞bD．a，b大小无法比较
【答案】A【解析】连接P4P5，P5P6．∵点P1～P8是⊙O的八等分点，∴P3P4＝P4P5＝P5P6＝P6P7，P1P7＝P1P3＝P4P6．∴b﹣a＝P3P4+P7P6﹣P1P3．∵P5P4+P5P6＞P4P6，∴P3P4+P7P6＞P1P3．∴b﹣a＞0．∴a＜b．
新疆
7．【2023·新疆生产建设兵团】如图，在⊙O中，若∠ACB＝30°，OA＝6，则扇形OAB（阴影部分）的面积是（ ）
A．12πB．6πC．4πD．2π
【答案】B【解析】∵∠ACB＝30°，∴∠AOB＝2∠ACB＝60°.∴.
山东省
9．【2023·泰安】如图，⊙O是△ABC的外接圆，半径为4，连接OB，OC，OA，若∠CAO＝40°，∠ACB＝70°，则阴影部分的面积是（ ）
A．43πB．83πC．163πD．323π
【答案】C
6．【2023·东营】如果圆锥侧面展开图的面积是15π，母线长是5，则这个圆锥的底面半径是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】根据圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2即可求出答案．
【答案】A 【解析】设底面半径为R，则底面周长＝2πR，圆锥的侧面展开图的面积=12×2πR×5＝15π，∴R＝3．
【点评】本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解，牢记公式是解答本题的关键．
m；学号：37．【2023·滨州】如图，某玩具品牌的标志由半径为1cm的三个等圆构成，且三个等圆⊙O1，⊙O2，⊙O3相互经过彼此的圆心，则图中三个阴影部分的面积之和为（ ）
A．14πcm2B．13πcm2C．12πcm2D．πcm2
【分析】根据扇形面积的计算方法进行计算即可．
【答案】C【解析】如图，连接O1A，O2A，O1B，O3B，O2C，O3C，O1O2，O1O3，O2O3，则△O1AO2，△O1BO3，△O2CO3，△O1O2O3是边长为1的正三角形，所以，S阴影部分＝3AS扇形O1O2A＝3×60π×12360=π2（cm2），故选：C．
【点评】本题考查扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法是正确解答的前提．
9．【2023·聊城】如图，该几何体是由一个大圆锥截去上部的小圆锥后剩下的部分．若该几何体上、下两个圆的半径分别为1和2，原大圆锥高的剩余部分OO1为2，则其侧面展开图的面积为（ ）
A．3πB．23πC．33πD．43π
【分析】先根据相似的性质求出小圆锥的高，再根据圆锥的侧面积公式求解．
【答案】C 【解析】如图示：由题意得：O1B∥OC，∴△AO1B∽△AOC，∴AO1AO=O1BOC，∴AO1AO1+2=12，解得：AO1=2，∴AB=OA12+O1B2=3，AC=AO2+OC2=23，∴其侧面展开图的面积为：2×23π﹣1×3π＝33π，故选：C．
【点评】本题考查了几何体的展开图，掌握相似三角形的性质及圆锥的侧面积公式是解题的关键．
湖北省
8. 【2023·鄂州】如图，在中，，，，点为的中点，以为圆心，长为半径作半圆，交于点，则图中阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D.
【分析】连接，，作交于点，首先根据勾股定理求出的长度，然后利用解直角三角形求出、的长度，进而得到是等边三角形，，然后根据角直角三角形的性质求出的长度，最后根据进行计算即可．
【答案】C【解析】如图所示，连接，，作交于点.∵在中，，，，∴.∵点为的中点，以为圆心，长为半径作半圆，∴是半圆的直径.∴.∵，∴，.又∵，∴.∴是等边三角形.∴. ∵，，∴.∴．
【点评】本题考查了角直角三角形的性质，解直角三角形，等边三角形的性质和判定，扇形面积，勾股定理等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
11．【2023·恩施州】如图，等圆⊙O1和⊙O2相交于A，B两点，⊙O1经过⊙O2的圆心O2，若O1O2＝2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．2πB．43πC．πD．23π
【分析】连接BO1，BO2，得到BO1＝BO2＝O1O2，因此∠BO2O1＝60°，由相交两圆的性质得到O1O2⊥AB，AH＝BH，因此HO1＝HO2，推出△AHO1≌△BHO2，得到阴影的面积＝扇形O2O1B的面积，求出扇形O2O1B的面积，即可得到答案．
【答案】D【解析】连接BO1，BO2，∵⊙O1和⊙O2是等圆，⊙O1经过⊙O2的圆心O2，∴BO1＝BO2＝O1O2，∴∠BO2O1＝60°，∵O1O2⊥AB，∴HO1＝HO2，∵∠AHO1＝∠BHO2＝90°，AH＝BH∴△AHO1≌△BHO2，∴阴影的面积＝扇形O2O1B的面积，∵扇形O2O1B的面积=60π×22360=2π3，∴阴影的面积=2π3．
【点评】本题考查相交两圆的性质，阴影面积的计算，关键是由相交两圆的性质推出△AHO1≌△BHO2，得到阴影的面积＝扇形O2O1B的面积．
9．【2023·十堰】如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，AE＝DE，BC＝CE，过点O作OF⊥AC于点F，延长FO交BE于点G，若DE＝3，EG＝2，则AB的长为（ ）
A．43B．7C．8D．45
【分析】首先得出△AEB≌△DEC，进而得出△EBC为等边三角形，由已知得出EF，BC的长，进而得出CM，BM的长，再求出AM的长，再由勾股定理求出AB的长．
【答案】B【解析】在△AEB和△DEC中，∠A=∠DAE=ED∠AEB=∠DEC，∴△AEB≌△DEC（ASA），∴EB＝EC，∵BC＝CE，
∴BE＝CE＝BC，∴△EBC为等边三角形，∴∠ACB＝60°，如图，作BM⊥AC于点M，∵OF⊥AC，∴AF＝CF，∵△EBC为等边三角形，∴∠GEF＝60°，∴∠EGF＝30°，∵EG＝2，∴EF＝1，∵AE＝ED＝3，∴CF＝AF＝4，∴AC＝8，EC＝5，∴BC＝5，∵∠BCM＝60°，∴∠MBC＝30°，∴CM=52，BM=3CM=532，
∴AM＝AC﹣CM=112，∴AB=AM2+BM2(112)2+(532)2=7．故选：B．
【点评】此题主要考查了三角形的外接圆与外心，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形，垂径定理等知识，得出CM，BM的长是解题关键．
8．【2023·十堰】如图，已知点C为圆锥母线SB的中点，AB为底面圆的直径，SB＝6，AB＝4，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A点爬到C点，则蚂蚁爬行的最短路程为（ ）
A．5B．33C．32D．63
【分析】要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
【答案】B【解析】由题意知，底面圆的直径AB＝4，故底面周长等于4π，设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°，根据底面周长等于展开后扇形的弧长得4π=nπ×6180，解得n＝120°，所以展开图中∠ASC＝120°÷2＝60°，因为半径SA＝SB，∠ASB＝60°，故三角形SAB为等边三角形，又∵C为SB的中点，所以AC⊥SB，在直角三角形SAC中，SA＝6，SC＝3，根据勾股定理求得AC＝33，所以蚂蚁爬行的最短距离为33．故选：B．
【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
江苏省
8．【2023·连云港】如图，矩形ABCD内接于⊙O，分别以AB，BC，CD，AD为直径向外作半圆．若AB＝4，BC＝5，则阴影部分的面积是（ ）
A．π﹣20B．π﹣20C．20πD．20
【答案】D【解析】根据矩形的性质可求出BD，再根据图形中各个部分面积之间的关系，即S阴影部分＝S以AD为直径的圆+S以AB为直径的圆+S矩形ABCD﹣S以BD为直径的圆进行计算即可．如图，连接BD，则BD过点O，在Rt△ABD中，AB＝4，BC＝5，∴BD2＝AB2+AD2＝41，S阴影部分＝S以AD为直径的圆+S以AB为直径的圆+S矩形ABCD﹣S以BD为直径的圆＝π×（42）2+π×（52）2+4×5﹣π×（BD2）2＝41π4+20﹣41π4＝20．
内蒙古
13. 【2023·赤峰】某班学生表演课本剧，要制作一顶圆锥形的小丑帽．如图，这个圆锥的底面圆周长为，母线长为30，为了使帽子更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），这条彩带的最短长度是（ ）
v
A. B. C. D.
【分析】根据圆锥的底面圆周长求得半径为，根据母线长求得展开后的扇形的圆心角为，进而即可求解．
【答案】B【解析】∵这个圆锥的底面圆周长为，∴.解得：.∵，解得：.
∴侧面展开图的圆心角为.如图所示，即为所求，过点作，∵，，则.∵，则.∴，.

【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数，勾股定理解直角三角形，求得侧面展开图的圆心角为解题的关键．
四川省
8．【2023·雅安】如图，某小区要绿化一扇形OAB空地，准备在小扇形OCD内种花，在其余区域内（阴影部分）种草，测得∠AOB＝120°，OA＝15m，OC＝10m，则种草区域的面积为（ ）
A．25π3m2B．125π3m2C．250π3m2D．1253m2
【分析】大扇形面积减去小扇形面积得阴影部分的面积．
【答案】B【解析】S阴影＝S扇形AOB﹣S扇形COD=120π×152360-120π×102360=125π3（m2）．
故选：B．
【点评】本题考查了扇形面积公式，比较简单．
7．【2023·广元】如图，半径为5的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C是AB上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，若CD＝CE，则图中阴影部分面积为（ ）
A．25π16B．25π8C．25π6D．25π4
【答案】B【解析】连接OC，如图所示，∵∠AOB＝90°，CD⊥OA，CE⊥OB，∴∠AOB＝∠ODC＝∠OEC＝90°，∴四边形OECD是矩形，∵CD＝CE，∴四边形OECD是正方形，∴∠COE＝90°，△DCE和△OEC全等，∴S阴影＝S△DCE+S半弓形DCE＝S△OCE+S半弓形DCE＝S扇形COB=45π×52360 =25π8．
9．【2023·广安】如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝22，以点A为圆心，AC为半径画弧，交AB于点E，以点B为圆心，BC为半径画弧，交AB于点F，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．π﹣2B．2π﹣2C．2π﹣4D．4π﹣4
【分析】根据已知求出∠A、∠B的度数，根据扇形和三角形的面积即可求出答案．
【答案】C【解析】在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝22，∴∠A＝∠B＝45°，∴阴影部分的面积S＝S扇形CAE+S扇形CBF﹣S△ABC=45π×(22)2360×2-12×22×22 ＝2π﹣4．
【点评】本题考查了等腰直角三角形、扇形的面积和三角形的面积计算等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键．
山西省
9．【2023•山西9题】中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为A，曲线终点为B，过点A，B的两条切线相交于点C，列车在从A到B行驶的过程中转角α为60°．若圆曲线的半径OA＝1.5km，则这段圆曲线AB的长为（ ）
A．π4kmB．π2kmC．3π4kmD．3π8km
【答案】B【解析】∵过点A，B的两条切线相交于点C，∴∠OAC＝∠OBC＝90°.∴A，O，B，C四点共圆.∴∠AOB＝α＝60°.∴圆曲线AB的长为：60π⋅1.5180=12π（km）．
辽宁省
10．【2023·沈阳】如图，四边形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为3，∠D＝120°，则AC的长是（ ）
A．πB．23πC．2πD．4π
【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠B＝60°，由圆周角定理得到∠AOC＝120°，根据弧长的公式即可得到结论．
【答案】C【解析】∵四边形ABCD内接于⊙O，∠D＝120°，∴∠B＝60°，∴∠AOC＝2∠B＝120°，∴AC的长=120π×3180=2π．
【点评】本题考查的是弧长的计算，圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
8. 【2023·大连】圆心角为，半径为3的扇形弧长为（ ）
A. B. C. D.
【分析】根据弧长公式（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r），由此计算即可．
【答案】C【解析】该扇形的弧长．
【点睛】本题考查了扇形的弧长计算公式（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r），正确记忆弧长公式是解答此题的关键．
湖南省
9．【2023·娄底】如图，正六边形ABCDEF的外接圆⊙O的半径为2，过圆心O的两条直线l1、l2的夹角为60°，则图中的阴影部分的面积为（ ）
​
A．43π-3B．43π-32C．23π-3D．23π-32
【分析】连接AD，OC，由⊙O是正六边形的外接圆可求得∠COD＝60°，△COD是等边三角形，根据扇形面积公式可求S扇形COD，根据三角形面积公式可求S△COD，利用三角形全等将两块阴影部分拼接，转化为弓形，根据S阴影＝S扇形COD﹣S△COD即可求解．
【答案】C【解析】如图，连接AD，OC，∵⊙O是正六边形的外接圆，∴AD必过点O，∠COD=360°6=60°，又∵OC＝OD，∴△COD是等边三角形，OC＝OD＝CD＝2，∵直线l1、l2的夹角为60°，∴∠COD﹣∠KOD＝∠KOH﹣∠KOD，即∠COK＝∠DOH，又∵∠DOH＝∠AOG，∴∠COK＝∠AOG，∵∠OCK＝∠OAG＝60°，OC＝OA，∴△OCK≌△OAG（ASA），S扇形COM＝S扇形AON，∴S扇形COM﹣S△OCK＝S扇形AON﹣S△OAG，∴S阴影＝S扇形COD﹣S△COD，∵S扇形COD=60×π×22360=23π，S△COD=12×2×3=3，∴S阴影=23π-3．
【点评】本题主要考查了正多边形和圆，三角形面积和扇形面积计算，明确S阴影＝S扇形COD﹣S△COD是解决问题的关键．
7．【2023·湘潭】如图，圆锥底面圆的半径为4，则这个圆锥的侧面展开图中AA'的长为（ ）
A．4πB．6πC．8πD．16π
【答案】C
7．【2023·张家界】“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边△ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．若等边△ABC的边长为3，则该“莱洛三角形”的周长等于（ ）
A．πB．3πC．2πD．2π-3
【分析】由等边三角形的性质得到AB=BC=AC，由弧长公式求出AB的长＝π，即可求出“莱洛三角形”的周长．
【答案】B 【解析】∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝3，∠A＝∠B＝∠C＝60°，∴AB=BC=AC，∵AB的长=60π×3180=π，∴该“莱洛三角形”的周长是3π．
【点评】本题考查弧长的计算，等边三角形的性质，关键是由弧长公式求出AB的长．
黑龙江
10．【2023·牡丹江】用一个圆心角为90°，半径为8的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面直径是（ ）
A．6B．5C．4D．3
【分析】根据弧长公式先计算出扇形的弧长，再利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长求解．
【答案】C【解析】扇形的弧长=90π×8180=4π，设圆锥的底面直径为d，则πd＝4π，所以d＝4．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
二、填空题
18．【2023·哈尔滨】一个扇形的圆心角是150°，弧长是52πcm，则扇形的半径是 cm．
【答案】3【解析】 设扇形的半径是Rcm，则150πR180=52π，解得：R＝3，∴扇形的半径是3cm．故答案为：3．
12．【2023·呼和浩特】圆锥的高为22，母线长为3，沿一条母线将其侧面展开，展开图（扇形）的圆心角是 度，该圆锥的侧面积是 （结果用含π的式子表示）．
【答案】120 3π【解析】 ∵圆锥的高为22，母线长为3，∴圆锥底面圆的半径为：32-(22)2=1，∴圆锥底面圆的周长为：2π．设展开图（扇形）的圆心角是n°，依题意得：2π=nπ×3180，解得：n＝120°，圆锥的侧面积是：120π×32360=3π．故答案为：120，3π．
16．【2023·呼伦贝尔、兴安盟】如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以点A为圆心，AB为半径画弧BF，得到扇形BAF（阴影部分）．若扇形BAF正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是 ．
【答案】23【解析】 ∵正六边形的外角和为360°，∴每一个外角的度数为360°÷6＝60°，∴正六边形的每个内角为180°﹣60°＝120°．设这个圆锥底面圆的半径是r，根据题意得，2πr=120π×2180，解得，r=23．
故答案为：23．
14．【2023·青海】如图，正方形ABCD的边长是4，分别以点A，B，C，D为圆心，2为半径作圆，则图中阴影部分的面积是 （结果保留π）．
【答案】16﹣4π 【解析】由图得，阴影面积＝正方形面积﹣4扇形面积，即阴影面积＝正方形面积﹣圆的面积，∴S阴影＝42﹣π•22＝16﹣4π．故答案为：16﹣4π．
17．【2023·西宁】如图，边长为2的正方形ABCD内接于⊙O，分别过点A，D作⊙O的切线，两条切线交于点P，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】1-π4【解析】连接OA，OD，∵AP，PD是⊙O的切线，∴∠OAP＝∠ODP＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOD＝90°，∵OA＝OD，∴四边形OAPD是正方形，∵AD=2，∴OA=22AD＝1，∴图中阴影部分的面积＝正方形OAPD的面积﹣扇形AOD的面积＝1×1-90⋅π×12360=1-π4，故答案为：1-π4，
17．【2023·西藏】圆锥的底面半径是3cm，母线长10cm，则它的侧面展开图的圆心角的度数为 ．
【答案】108°【解析】设圆锥的侧面展开图的圆心角为n°，根据题意得2π•3=nπ×10180，解得n＝108，
即圆锥的侧面展开图的圆心角为108°．故答案为：108°．
14．【2023·黄石】“神舟”十四号载人飞行任务是中国空间站建造阶段的首次载人飞行任务，也是空间站在轨建造以来情况最复杂、技术难度最高、航天员乘组工作量最大的一次载人飞行任务．如图，当“神舟”十四号运行到地球表面P点的正上方的F点处时，从点F能直接看到的地球表面最远的点记为Q点，已知PF=64009km，∠FOQ＝20°，cs20°≈0.9，则圆心角∠POQ所对的弧长约为 km（结果保留π）．
【答案】64009π【解析】 设OP＝OQ＝rkm．由题意，FQ是⊙O的切线，∴FQ⊥OQ，∵cs∠FOQ=OQOF，
∴0.9=rr+64009，∴r＝6400，∴PQ的长=20×π×6400180=64009π（km）．故答案为：64009π．
13．【2023·常州】若圆柱的底面半径和高均为a，则它的体积是 （用含a的代数式表示）．
【答案】πa3 【解析】圆柱的底面半径和高均为a，则它的体积是πa2•a＝πa3．故答案为：πa3．
云南省
16．【2023·云南】数学活动课上，某同学制作了一顶圆锥形纸帽．若圆锥的底面圆的半径为1分米，母线长为4分米，则该圆锥的高为 分米．
【分析】根据勾股定理计算即可．
【答案】【解析】由勾股定理得：圆锥的高为：＝（分米）．
【点评】本题考查的是圆锥的计算，熟记勾股定理是解题的关键．
甘肃省
16．【2023·甘肃省卷16题】如图1，我国是世界上最早制造使用水车的国家．1556年兰州人段续的第一架水车创制成功后，黄河两岸人民纷纷仿制，车水灌田，水渠纵横，沃土繁丰．而今，兰州水车博览园是百里黄河风情线上的标志性景观，是兰州“水车之都”的象征．如图2是水车舀水灌溉示意图，水车轮的辐条（圆的半径）OA长约为6米，辐条尽头装有刮板，刮板间安装有等距斜挂的长方体形状的水斗，当水流冲动水车轮刮板时，驱使水车徐徐转动，水斗依次舀满河水在点A处离开水面，逆时针旋转150°上升至轮子上方B处，斗口开始翻转向下，将水倾入木槽，由木槽导入水渠，进而灌溉，那么水斗从A处（舀水）转动到B处（倒水）所经过的路程是 米．（结果保留π）
【答案】5π【解析】AB=150°π×6180°=5π（米）．
浙江省
12．【2023·绍兴】如图，四边形ABCD内接于圆O，若∠D＝100°，则∠B的度数是 ．
【答案】80°
14．【2023·温州】若扇形的圆心角为40°，半径为18，则它的弧长为 ．
【答案】4π
14．【2023·宁波】如图，圆锥形烟囱帽的底面半径为30cm，母线长为50cm，则烟囱帽的侧面积为 cm2．（结果保留π）
【答案】1500π
14．【2023•杭州】如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，设正六边形ABCDEF的面积为S1，△ACE的面积为S2，则S1S2= ．
【答案】2【解析】如图所示，连接OA，OC，OE．
∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，∴AC＝AE＝CE.∴△ACE是⊙O的内接正三角形.
∵∠B＝120°，AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA=12（180°﹣∠B）＝30°.
∵∠CAE＝60°，∴∠OAC＝∠OAE＝30°.∴∠BAC＝∠OAC＝30°.
同理可得，∠BCA＝∠OCA＝30°.又∵AC＝AC，∴△BAC≌△OAC（ASA）.∴S△BAC＝S△AOC.
由圆和正六边形的性质可得S△BAC＝S△AFE＝S△CDE，由圆和正三角形的性质可得S△OAC＝S△OAE＝S△OCE.
∵S1＝S△BAC+S△AEF+S△CDE+S△OAC+S△OAE+S△OCE＝2（S△OAC+S△OAE+S△OCE）＝2S2，∴S1S2=2.
【点评】此题考查了圆内接正多边形的性质，正六边形和正三角形的性质，全等三角形的性质和判定等知 识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
内蒙古
13．【2023·包头】如图，正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点O，以点B为圆心，对角线BD的长为半径画弧，交BC的延长线于点E，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】π【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴△AOD≌△COB（SSS）.
∴阴影部分的面积为扇形BED的面积.
∵正方形ABCD的边长为2，∴BD=22+22=22，
∴阴影部分的面积为45π⋅(22)2360=π.
湖南省
16．【2023·娄底】如图，在△ABC中，AC＝3，AB＝4，BC边上的高AD＝2，将△ABC绕着BC所在的直线旋转一周得到的几何体的表面积为 ．
​
【分析】所得几何体为圆锥的组合图形，表面积为底面半径为2，母线长为3和4的两个圆锥的侧面积之和．
【答案】14π【解析】所得到的几何体的表面积为π×2×3+π×2×4＝14π．
【点评】本题考查圆锥的计算；得到几何体的形状是解决本题的突破点；需掌握圆锥侧面积的计算公式．
16．【2023·长沙16题】毛主席在《七律二首•送瘟神》中写道“坐地日行八万里，巡天遥看一千河”，我们把地球赤道看成一个圆，这个圆的周长大约为“八万里”．对宇宙千百年来的探索与追问，是中华民族矢志不渝的航天梦想．从古代诗人屈原发出的《天问》，到如今我国首次火星探测任务被命名为“天问一号”，太空探索无上境，伟大梦想不止步．2021年5月15日，我国成功实现火星着陆．科学家已经探明火星的半径大约是地球半径的12，若把经过火星球心的截面看成是圆形的，则该圆的周长大约为 万里．
【答案】4 【解析】设地球的半径为r万里，则2πr＝8，解得r=4π．∴火星的半径为2π万里．∴经过火星球心的截面的圆的周长大约为2π×2π=4（万里）．
16．【2023·郴州】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3cm，∠B＝60°．将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△AB'C'，若点B的对应点B'恰好落在线段BC上，则点C的运动路径长是 cm（结果用含π的式子表示）．
【答案】3π 【解析】易求BC＝2AB＝6（cm），AB=BC2-AB2=33（cm）．由题意可知△ABB′是等边三角形，∴∠BAB′＝60°．∴∠CAC′＝∠BAB′＝60°，∴点C的运动路径长为60⋅π×33180=3π（cm）．
16．【2023·邵阳】如图，某数学兴趣小组用一张半径为30cm的扇形纸板做成一个圆锥形帽子（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形帽子的底面半径为8cm，那么这张扇形纸板的面积为 cm2．（结果保留π）
【答案】240π 【解析】这张扇形纸板的面积=12•2π•8•30＝240π（cm2）．
17．【2023·永州】已知扇形的半径为6，面积为6π，则扇形圆心角的度数为 度．
【分析】设扇形圆心角的度数为n°，根据扇形面积公式列方程并解方程即可．
【答案】60 【解析】设扇形圆心角的度数为n°，则nπ×62360=6π，解得：n＝60，即扇形圆心角的度数为60°，故答案为：60．
【点评】本题考查扇形的面积公式，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
江苏省
15. 【2023·宿迁】若圆锥的底面半径是2，侧面展开图是一个圆心角为120的扇形，则该圆锥的母线长是________．
【分析】先根据圆锥的底面半径求出底面圆周长，也就是侧面图扇形的弧长，再利用弧长公式求出扇形半径，也就是圆锥的母线．
【答案】6【解析】∵圆锥的底面半径是2，∴底面圆周长是，即展开后扇形弧长是，根据弧长公式：，
得，解得，即该圆锥的母线长是6．
【点评】本题考查扇形和圆锥的有关计算，解题的关键是掌握扇形的弧长公式，以及圆锥和侧面展开的扇形的关系．
11．【2023·泰州】半径为5cm的圆内接正五边形一边所对劣弧的长为 cm．
【答案】2π
16.【2023·徐州】如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥母线l=6，扇形的圆心角，则该圆锥的底面圆的半径r长为______．
【答案】2【解析】∵母线l长为6，扇形的圆心角，∴圆锥的底面圆周长，∴圆锥的底面圆半径．故答案为：2．
14．【2023·扬州】用半径为24cm，面积为120πcm2的扇形纸片，围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为 cm．
【答案】5【解析】设圆锥的底面圆的半径为rcm，则12×2πr×24＝120π，解得：r＝5．
15．【2023·苏州】如图，在▱ABCD中，AB＝+1，BC＝2，AH⊥CD，垂足为H，AH＝．以点A为圆心，AH长为半径画弧，与AB，AC，AD分别交于点E，F，G．若用扇形AEF围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为r1；用扇形AHG围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为r2，则r1﹣r2＝ ．（结果保留根号）
【答案】【解析】在▱ABCD中，AB＝+1，BC＝2，∴AD＝BC＝2，CD＝AB＝+1，AB∥CD．∵AH⊥CD，垂足为H，AH＝，∴sinD＝＝.∴∠D＝60°.∴∠DAH＝90°﹣∠D＝30°.∴DH＝AD＝1.∴CH＝CD﹣DH＝+1﹣1＝.∴CH＝AH.∵AH⊥CD，∴△ACH是等腰直角三角形.∴∠ACH＝∠CAH＝45°.∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACH＝45°.∴＝2πr1，解得r1＝，＝2πr2，解得r2＝.∴r1﹣r2＝﹣＝．
内蒙古
17．【2023·通辽】某款“不倒翁”（如图1）的主视图是图2，PA，PB分别与AMB所在圆相切于点A，B，若该圆半径是10cm，∠P＝60°，则主视图的面积为 cm2．
【分析】根据题意，先找到圆心O，然后根据PA，PB分别与 AMB，所在圆相切于点A，B．∠P＝60°可以得到∠AOB的度数，然后即可得到优弧AMB对应的圆心角，再根据弧长公式计算即可，再根据等边三角形和顶角为120°等腰三角形的面积公式分别计算即可．
【答案】（1003+200π3）【解析】OA⊥PA，OB⊥PB，OA，OB交于点O，如图，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，PA＝PB，∵∠P＝60°，∴∠AOB＝120°，且△PAB为等边三角形，∴优弧AMB对应的圆心角为360°﹣120°＝240°，AB=3OA＝103（cm），∴优弧AMB的面积是：240π×102360=200π3（cm2），S△PAB=34×（103）2＝753（cm2），S△AOB=34×102＝253（cm2），∴主视图的面积=200π3+753+253=（1003+200π3）（cm2），
故答案为：（1003+200π3）．
【点评】本题考查弧长的计算、切线的性质，解答本题的关键是求出优弧AMB的度数．
黑龙江
14．【2023·齐齐哈尔】若圆锥的底面半径长2cm，母线长3cm，则该圆锥的侧面积为 cm2．（结果保留π）
【分析】解析圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．
【答案】6π【解析】圆锥的侧面积＝2π×2×3÷2＝6π （cm²）故答案为：6π．
【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．
12．【2023·大庆】一个圆锥的底面半径为5，高为12，则它的体积为 ．
【答案】100π
17．【2023·龙东地区】已知圆锥的母线长13cm，侧面积65πcm2，则这个圆锥的高是 cm．
【分析】设圆锥的底面圆的半径为rcm，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式得到12•2π•r•13＝65π，解得r＝5，然后利用勾股定理计算圆锥的高．
【答案】12 【解析】设圆锥的底面圆的半径为rcm，根据题意得12•2π•r•13＝65π，解得r＝5，所以圆锥的高=132-52=12（cm）．故答案为：12．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
18．【2023·绥化】如图，⊙O的半径为2cm，AB为⊙O的弦，点C为AB上的一点，将AB沿弦AB翻折，使点C与圆心O重合，则阴影部分的面积为 .（结果保留π与根号）
【分析】连接OA，OC，OC交AB于点M，根据折叠性质及等边三角形性质求得∠AOC＝60°，OM的长度，再利用勾股定理求得AM的长度，然后利用扇形AOC的面积减去△AOC的面积即可求得答案．
【答案】（23π-3）cm2 【解析】如图，连接OA，OC，OC交AB于点M，
由折叠性质可得OA＝AC，AB⊥OC，∴OA＝OC＝AC＝2cm，∴OM＝CM=12OC＝1cm，∠AOC＝60°，∵∠AMO＝90°，∴AM=OA2-OM2=22-12=3（cm），∴S阴影＝S扇形AOC﹣S△AOC=60π×22360-12×2×3 ＝（23π-3）（cm2），故答案为：（23π-3）cm2．
【点评】本题考查扇形面积公式和折叠性质，结合已知条件求得∠AOC的度数及OM的长度是解题的关键．
山东省
12．【2023·菏泽】如图，正八边形ABCDEFGH的边长为4，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则阴影部分的面积为 （结果保留π）．
【分析】先根据正八边形的性质求出圆心角的度数，再根据扇形面积的计算方法进行计算即可．
【答案】6π 【解析】由题意得，∠HAB=(8-2)×180°8=135°，AH＝AB＝4，∴S阴影部分=135π×42360=6π，故答案为：6π．
【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正多边形内角和的计算方法以及扇形面积的计算方法是正确解答的前提．
吉林省
13.【2023·吉林】如图①，A，B表示某游乐场摩天轮上的两个轿厢．图②是其示意图，点O是圆心，半径r为，点A，B是圆上的两点，圆心角，则的长为_________．（结果保留）
【分析】利用弧长公式直接计算即可．
【答案】【解析】∵半径，圆心角，∴，故答案为：．
【点睛】本题考查了弧长计算，熟练掌握弧长公式，并规范计算是解题的关键．
重庆
16．【2023·重庆A卷】如图，⊙O是矩形ABCD的外接圆，若AB＝4，AD＝3，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
【分析】连接BD，根据圆周角定理证得BD是⊙O的直径，利用勾股定理求得直径，然后利用圆的面积减去矩形的面积即可求得阴影部分的面积．
【答案】254π﹣12【解析】连接BD，∵∠BAD＝90°，∴BD是⊙O的直径，∵AB＝4，AD＝3，∴BD=AD2+AB2=32+42=5，∴S阴影＝S⊙O﹣S矩形ABCD=π×(52)2-3×4=254π﹣12．
【点评】本题考查了圆的面积和矩形的面积，解题的关键是明确阴影部分的面积是圆的面积减去矩形的面积，属于中考常考题型．
16．【2023·重庆B卷】如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E为BC的中点，连接AE．DE．以E为圆心，EB长为半径画弧，分别与AE，DE交于点M，N．则图中阴影部分的面积为 （结果保留π）．
【分析】用三角形ADE的面积减去2个扇形的面积即可．
【答案】4﹣π【解析】∵AD＝2AB＝4，E为BC的中点，∴BE＝CE＝2，∴∠BAE＝∠AEB＝∠CDE＝∠DEC＝45°，∴阴影部分的面积为12×4×2-2×45π×22360=4﹣π．
【点评】此题主要考查了扇形面积求法以及等腰直角三角形的性质，应用扇形面积的计算方法进行求解是解决本题的关键．
四川省
15．【2023•内江】如图，用圆心角为120°半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的高是 ．
【分析】设圆锥的底面圆的半径为r，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得2πr=120π×6180，解得r＝2，然后利用扇形的半径等于圆锥的母线长和勾股定理计算圆锥的高．
【答案】42【解析】设圆锥的底面圆的半径为r，根据题意得2πr=120π×6180，解得r＝2，所以圆锥的高=62-22=42．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
17．【2023·自贡】如图，小珍同学用半径为8cm，圆心角为100°的扇形纸片，制作一个底面半径为2cm的圆锥侧面，则圆锥上粘贴部分的面积是 cm2．
【分析】求出弧长为4πcm，半径为8cm的扇形所对应的圆心角度数，进而求出粘贴部分的圆心角度数，利用扇形面积的计算方法进行计算即可．
【答案】16π9【解析】如图，由题意得弧AC的长为2π×2＝4π（cm），设弧AC所对的圆心角为n°，则
即nπ×8180=4π，解得n＝90，∴粘贴部分所对应的圆心角为100°﹣90°＝10°，∴圆锥上粘贴部分的面积是10π×82360=16π9（cm2）．
【点评】本题考查扇形面积的计算，掌握扇形面积以及弧长的计算方法是正确解答的前提．
21．【2023·成都】为传承非遗文化，讲好中国故事，某地准备在一个场馆进行川剧演出．该场馆底面为一个圆形，如图所示，其半径是10米，从A到B有一笔直的栏杆，圆心O到栏杆AB的距离是5米，观众在阴影区域里观看演出，如果每平方米可以坐3名观众，那么最多可容纳 名观众同时观看演出．（π取3.14，取1.73）
【分析】过O作OD⊥AB，D为垂足，可得到∠AOD＝60°，所以∠AOB＝120°，再求出S阴影部分＝S扇形OAB﹣S△OAB＝﹣×10×5＝π﹣25≈61（m2），然后乘以3即可得到观看马戏的观众人数约为183人．
【答案】183【解析】过O作OD⊥AB，D为垂足，∴AD＝BD，OD＝5m，∵cs∠AOD＝＝＝，∴∠AOD＝60°，AD＝OD＝5m，∴∠AOB＝120°，AB＝10m，∴S阴影部分＝S扇形OAB﹣S△OAB＝﹣×10×5＝π﹣25≈61（m2），∴61×3＝183（人）．∴观看马戏的观众人数约为183人．
【点评】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键，也考查了三角函数的概念和特殊角的三角函数值．
三、解答题
23．【2023·南通】如图，等腰三角形OAB的顶角∠AOB＝120°，⊙O和底边AB相切于点C，并与两腰OA，OB分别相交于D，E两点，连接CD，CE．
（1）求证：四边形ODCE是菱形；
（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．
解：（1）证明：连接OC，
∵⊙O和底边AB相切于点C，
∴OC⊥AB，
∵OA＝OB，∠AOB＝120°，
∴∠AOC＝∠BOC=12∠AOB＝60°，
∵OD＝OC，OC＝OE，
∴△ODC和△OCE都是等边三角形，
∴OD＝OC＝DC，OC＝OE＝CE，
∴OD＝CD＝CE＝OE，
∴四边形ODCE是菱形；
（2）解：连接DE交OC于点F，
∵四边形ODCE是菱形，
∴OF=12OC＝1，DE＝2DF，∠OFD＝90°，
在Rt△ODF中，OD＝2，
∴DF=OD2-OF2=22-12=3，
∴DE＝2DF＝23，
∴图中阴影部分的面积＝扇形ODE的面积﹣菱形ODCE的面积
=120π×22360-12OC•DE
=4π3-12×2×23
=4π3-23，
∴图中阴影部分的面积为4π3-23．
四川省
19．【2023·宜昌】2023年5月30日，“神舟十六号”航天飞船成功发射．如图，飞船在离地球大约330km的圆形轨道上，当运行到地球表面P点的正上方F点时，从中直接看到地球表面一个最远的点是点Q．在Rt△OQF中，OP＝OQ≈6400km．
（参考数据：cs16°≈0.96，cs18°≈0.95，cs20°≈0.94，cs22°≈0.93，π≈3.14）
（1）求csα的值（精确到0.01）；
（2）在⊙O中，求PQ的长（结果取整数）．
【分析】（1）根据圆的切线可得∠OQF＝90°，再解直角三角形可求解；
（2）通过csα的值可求得α的度数，再利用弧长公式计算可求解．
解：（1）由题意知FQ是⊙O的切线，∴∠OQF＝90°，
∵OP＝OQ＝6400km，FP＝330km，∴OF＝OP+FP＝6730km，
∴csα=OQOF=64006730≈0.95；
（2）∵csα≈0.95，∴α＝18°，
∴PQ的长为：18π⋅6400180≈2010km．
【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，圆的切线的性质，弧长的计算，求得∠OQF是直角是解题的关键．
山东省
21.【2023·潍坊】如图，正方形内接于，在上取一点E，连接，．过点A作，交于点G，交于点F，连接，．

（1）求证：；
（2）若，，求阴影部分的面积．
【分析】（1）如图，连接，证明，再证明，，可得，结合，从而可得结论；
（2）如图，连接，，过作于，设，在上取Q，使，证明，，，可得，，求解，而，可得，，，可得，再求解x，利用进行计算即可．
解：（1）如图，连接，
∵，则，

∴，
∵正方形，∴，，
∴，∴，
∵，∴．
（2）如图，连接，，过作于，设，在上取Q，使，

∵O为正方形中心，
∴，，而，
∴，，
∵，∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，而，
∴，∴，
∴，，而正方形的边长，
∴，解得：，
∴，
∵，，，
∴，
∴，而，
∴．
【点评】本题考查的是正多边形与圆，圆周角定理的应用，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，含的直角三角形的性质，扇形面积的计算，作出合适的辅助线是解本题的关键．