2024年中考数学真题分类汇编：知识点32 圆的基本性质2024（解析版）

这是一份2024年中考数学真题分类汇编：知识点32 圆的基本性质2024（解析版），共20页。试卷主要包含了故选A等内容，欢迎下载使用。
8．【2024·重庆B卷】如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，连接BD，CD．若∠D＝28°，则∠OAB的度数为（ ）
A．28°B．34°C．56°D．62°
【答案】B【解析】∵∠D＝28°，∴∠BOC＝2∠D＝56°．∵OC⊥AB，∴点C为AB的中点，∴AC=BC，∴∠AOC＝∠BOC＝56°，∴∠AOB＝2×56°＝112°．∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA=12×(180°−112°)=34°．故选B．
吉林省
6．【2024·吉林】如图，四边形ABCD内接于⊙O．过点B作BE∥AD，交CD于点E．若∠BEC＝50°，则∠ABC的度数是（ ）
A．50°B．100°C．130°D．150°
【答案】C【解析】∵BE∥AD，∴∠ADC＝∠BEC＝50°.∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ABC＝180°−∠ADC＝130°．
故选C．
山东省
9. 【2024·济宁】如图，分别延长圆内接四边形的两组对边，延长线相交于点E，F．若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C【解析】∵四边形是的内接四边形，∴，
，，，，，，，解得，，．故选C.
6．【2024·泰安】如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，BA平分∠CBD，若∠AOD＝50°，则∠A的度数为（ ）
A．65°B．55°C．50°D．75°
【答案】A【解析】∵∠AOD＝50°，∴∠ABD=12∠AOD＝25°.∵BA平分∠CBD，∴∠ABC＝∠ABD＝25°.∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°，∴∠A＝180°−90°−25°＝65°．故选A．
湖北省
9．【2024·武汉】如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝60°，∠BAC＝∠CAD＝45°，AB+AD＝2，则⊙O的半径是（ ）
A．63B．223C．32D．22
【答案】A【解析】过C作CM⊥AB于M，CN⊥AD交AD延长线于N，过O作OH⊥AC于H，连接OA，OC，
∵∠BAC＝∠CAD＝45°，∴AC平分∠BAN，∴MC＝CN.∵∠MAN＝∠BAC+∠CAD＝90°，∠AMC＝∠ANC＝90°，
∴四边形AMCN是正方形，∴AM＝AN.∵∠BAC＝∠CAD，∴CD=BC，∴CD＝BC.∵CN＝CM，∴Rt△CDN≌Rt△CBM（HL），∴ND＝MB.∵AB+AD＝AM+MB+AD＝AM+DN+AD＝AM+AN＝2AM＝2，∴AM＝1.
∵∠BAC＝45°，∠AMC＝90°，∴△ACM是等腰直角三角形，∴AC=2AM=2.∵∠B＝60°，∴∠AOC＝2∠B＝120°.∵OA＝OC，OH⊥AC，∴AH=12AC=22，∠AOH=12∠AOC＝60°.∵sin∠AOH＝sin60°=AHOA=32，∴OA=63，
∴⊙O的半径是63．故选A．
湖南省
9．【2024·长沙9题】如图，在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离OE＝4，则⊙O的半径长为（ ）
A．4B．42C．5D．52
【答案】B
7．【2024·湖南7题】如图，AB，AC为⊙O的两条弦，连接OB，OC，若∠A＝45°，则∠BOC的度数为（ ）
A．60°B．75°C．90°D．135°
【答案】C
江苏省
1．【2024·连云港】如图，将一根木棒的一端固定在O点，另一端绑一重物．将此重物拉到A点后放开，让此重物由A点摆动到B点．则此重物移动路径的形状为（ ）
A．倾斜直线B．抛物线C．圆弧D．水平直线
【答案】C
四川省
10．【2024·凉山州】数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交AB于点C，测出AB＝40cm，CD＝10cm，则圆形工件的半径为（ ）
A．50cmB．35cmC．25cmD．20cm
【答案】C【解析】设圆心为O，连接OB，如图所示，∵CD垂直平分AB，AB＝40cm，∴BD＝20cm，∵CD＝10cm，OC＝OB，∴OD＝OB−10，∵∠ODB＝90°，∴OD2+BD2＝OB2，∴（OB−10）2+202＝OB2，解得OB＝25，即圆形工件的半径为25cm，故选C．
5．【2024·广元】如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，E为AD延长线上一点，∠AOC＝128°，则∠CDE等于（ ）
A．64°B．60°C．54°D．52°
【答案】A【解析】∵∠AOC＝128°，∴∠ABC＝64°，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ADC＝180°−64°＝116°，∴∠CDE＝180°−∠ADC＝64°．故答案为A．
9．【2024·宜宾】如图，△ABC内接于⊙O，BC为⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于D，则AB+ACAD的值为（ ）
A．2B．3C．22D．23
【答案】A【解析】如图，连接BD、CD，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝∠BDC＝90°，∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，∴BD=DC，∴BD＝CD，在四边形ABDC中，∠BAC＝∠BDC＝90°，∴∠ACD+∠ABD＝180°，∴△ADC绕D点逆时针旋转90°，则A，B，A'三点共线，如图所示，∴AB+AC＝AB+A′B＝AA′，
∵由旋转可知∠A′DB＝∠ADC，A′D＝AD，∴∠A′DA＝∠A′DB+∠BDA＝∠ADC+∠BDA＝∠BDC＝90°，
∴在等腰直角三角形A′DA中，sin∠A′=sin45°=ADAA′=22，∴AA′AD=AB+ACAD=2．故选A．
4．【2024·宜宾】如图，AB是⊙O的直径，若∠CDB＝60°，则∠ABC的度数等于（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【答案】A【解析】∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠CDB＝60°，∴∠A＝∠CDB＝60°，∴∠ABC＝90°−∠A＝30°，故选A．
云南省
1．【2024·云南】如图，CD是⊙O的直径，点A，B在⊙O上．若AC=BC，∠AOC＝36°，则∠D＝（ ）
A．9°B．18°C．36°D．45°
【答案】B
甘肃省
6．【2024·临夏州】如图，AB是⊙O的直径，∠E＝35°，则∠BOD＝（ ）
A．80°B．100°C．120°D．110°
【答案】D
6．【2024·甘肃6题】如图，点A，B，C在⊙O上，AC⊥OB，垂足为D，若∠A＝35°，则∠C的度数是（ ）
A．20°B．25°C．30°D．35°
【答案】A【解析】∵∠A＝35°，∴∠O＝2∠A＝70°.∵AC⊥OB，∴∠CDO＝90°，∴∠C＝90°−∠O＝90°−70°＝20°．故选A．
黑龙江省
5．【2024·牡丹江】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，若∠BEC＝20°，则∠ADC的度数为（ ）
A．100°B．110°C．120°D．130°
【答案】B【解析】如图，连接AC.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵∠BEC＝20°，∴∠CAB＝∠BEC＝20°，
∴∠ABC＝90°−∠BAC＝70°.∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ADC＝180°−∠ABC＝110°，故选B．
内蒙古
11．【2024·通辽11题】如图，圆形拱门最下端AB在地面上，D为AB的中点，C为拱门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心，若AB＝1m，CD＝2.5m，则拱门所在圆的半径为（ ）
A．1.25mB．1.3mC．1.4mD．1.45m
【答案】B【解析】如图，连接OA，∵D为AB的中点，C为拱门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心，AB＝1m，∴CD⊥AB，AD＝BD＝0.5，设拱门所在圆的半径为rm，∴OA＝OC＝r，而CD＝2.5m，∴OD＝2.5−r，
∴r2＝0.52+（2.5−r）2，解得：r＝1.3，∴拱门所在圆的半径为1.3m；故选B．
10．【2024·赤峰10题】如图，AD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，连接CD，交OB于点E，∠BOC＝42°，则∠OED的度数是（ ）
A．61°B．63°C．65°D．67°
【答案】B【解析】∵半径OC⊥AB，∴AC=BC，∴∠AOC＝∠BOC＝42°，∴∠D=12∠AOC＝21°，
∵OC＝OD，∴∠C＝∠D＝21°，∴∠OED＝∠C+∠BOC＝21°+42°＝63°．
新疆
6．【2024·新疆生产建设兵团】如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E．若CD＝8，OD＝5，则BE的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B【解析】∵AB是⊙O的直径，且AB⊥CD，∴DE=12CD=4．在Rt△DOE中，OE=52−42=3，
∴BE＝5−3＝2．故选B．
二、填空题
北京
14．【2024·北京14题】如图，⊙O的直径AB平分弦CD（不是直径）．若∠D＝35°，则∠C＝ °．
【答案】55【解析】设AB与CD相交于点E，∵⊙O的直径AB平分弦CD（不是直径），∴AB⊥CD，
∴∠DEB＝90°，∵∠D＝35°，∴∠B＝90°−∠D＝55°，∴∠C＝∠B＝55°，故填55．
陕西省
11．【2024·陕西】如图，BC是⊙O的弦，连接OB，OC，∠A是BC所对的圆周角，则∠A与∠OBC的和的度数是 ．
【答案】90°【解析】∵∠A是BC所对的圆周角，∴∠A=12∠O．∵OA＝OC，∴∠OBC＝∠OCB．又∵∠O+∠OBC+∠OCB＝180°，∴∠O+2∠OBC＝180°，∴12∠O+∠OBC=90°，即∠A+∠OBC＝90°．
吉林省
14．【2024·长春】如图，AB是半圆的直径，AC是一条弦，D是AC的中点，DE⊥AB于点E，交AC于点F，DB交AC于点G，连结AD．给出下面四个结论：
①∠ABD＝∠DAC；
②AF＝FG；
③当DG＝2，GB＝3时，FG=142；
④当BD=2AD，AB＝6时，△DFG的面积是3，
上述结论中，正确结论的序号有 ．
【答案】①②③ 【解析】①∵点D是AC的中点，∴AD=CD，∴∠ABD＝∠DAC.故结论①正确；②∵AB是半圆的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADE+∠BDE＝90°.∵DE⊥AB，∴∠BDE+∠ABD＝90°，∴∠ADE＝∠ABD，∴∠ADE＝∠DAC，∴AF＝FD.∵∠ADB＝90°，∴∠ADE+∠BDE＝90°，∠AGD+∠DAC＝90°.
又∵∠ADE＝∠DAC，∴∠BDE＝∠AGD，∴FD＝FG，∴AF＝FG.故结论②正确；③∵DG＝2，GB＝3，
∴BD＝DG+GB＝5.在Rt△ADG中，tan∠DAC=DGAD=2AD，在Rt△ABD中，tan∠ABD=ADBD=AD5，∵∠ABD＝∠DAC，∴AD5=2AD，∴AD2＝10，在Rt△ADG中，由勾股定理得：AG=AD2+DG2=14，∴AF＝FG=12AG=142.故结论③正确；④∵点D是AC的中点，BD=2AD，∴AD=DC=CB，即点D，C为半圆弧上的三等分点，∴∠ABD＝∠DAC＝30°.在Rt△ABD中，AB＝6，sin∠ABD=ADAB，∴AD＝AB•sin∠ABD＝6×sin30°＝3，在Rt△ADG中，tan∠DAC=DGAD，∴DG＝AD•tan∠DAC＝3×tan30°＝√3，∴S△ADG=12AD•DG=12×3×3=332.∵AF＝FG，∴S△DFG=12S△ADG=334.故结论④不正确，综上所述，正确的结论是①②③．故答案为①②③．
山东省
1．【2024·滨州】如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形OABC是菱形，则∠D＝ °．
【答案】60【解析】∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠B+∠D＝180°，∵四边形OABC是菱形，∴∠B＝∠AOC，∴∠AOC+∠D＝180°，由圆周角定理得：∠D=12∠AOC，∴∠D＝60°，故答案为：60．
2．【2024·枣庄】如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若OA∥CB，∠ACB＝25°，则∠CAB＝ ．
【答案】40°【解析】连接OB，如图，∵∠ACB＝25°，∴∠AOB＝2∠ACB＝50°，∵OA＝OB，∴∠OAB=∠OBA=12(180°−∠AOB)=65°，∵OA∥CB，∴∠OAC＝∠ACB＝25°，∴∠CAB＝∠OAB−∠OAC＝40°，故答案为：40°．
江苏省
1．【2024·苏州】如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠OBC＝28°，则∠A＝ °．
【答案】62【解析】连接OC，∵OB＝OC，∠OBC＝28°，∴∠OCB＝∠OBC＝28°，∴∠BOC＝180°−∠OCB＝∠OBC＝124°，∴∠A=12∠BOC=62°，故答案为62．
3．【2024·盐城12题】如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝40°，连接OA、OB，则∠OAB＝ °．
【答案】50【解析】∵∠C＝40°，∴∠AOB＝80°.∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA.∵∠OAB+∠OBA+∠AOB＝180°，
∴∠OAB＝50°.故答案为50．
1．【2024·连云港】如图，AB是圆的直径，∠1、∠2、∠3、∠4的顶点均在AB上方的圆弧上，∠1、∠4的一边分别经过点A、B，则∠1+∠2+∠3+∠4＝ °．
【答案】90 【解析】∵AB是圆的直径，∴AB所对的弧是半圆，所对圆心角的度数为180°.∵∠1、∠2、∠3、∠4所对的弧的和为半圆，∴∠1+∠2+∠3+∠4=12×180°=90°.故答案为90．
12．【2024·苏州】如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠OBC＝28°，则∠A＝ °．
【答案】62【解析】连接OC，∵OB＝OC，∠OBC＝28°，∴∠OCB＝∠OBC＝28°，∴∠BOC＝180°−∠OCB＝∠OBC＝124°，∴∠A=12∠BOC=62°，故答案为62．
3．【2024·盐城12题】如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝40°，连接OA、OB，则∠OAB＝ °．
【答案】50【解析】∵∠C＝40°，∴∠AOB＝80°.∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA.∵∠OAB+∠OBA+∠AOB＝180°，
∴∠OAB＝50°.故答案为50．
四川省
18．【2024·眉山】如图，△ABC内接于⊙O，点O在AB上，AD平分∠BAC交⊙O于D，连结BD．若AB＝10，BD＝25，则BC的长为 ．
【答案】8【解析】延长AC，BD交于E，∵AB是⊙O的直径，∴BD⊥AD，∴∠ADB＝∠ADE＝90°.∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAE.∵AD＝AD，∴△BAD≌△EAD（ASA），∴BD＝DE＝25，∴BE＝45.∵AB＝10，BD＝25，
∴AD=102−(25)2=45.∵∠DAC＝∠CBD，∵∠ADB＝∠BCE＝90°，∴△ABD∽△BEC，∴BEAB=BCAD，∴4510=BC45，∴BC＝8．故答案为8．
13．【2024·南充】如图，AB是⊙O的直径，位于AB两侧的点C，D均在⊙O上，∠BOC＝30°，则∠ADC＝ 75 度．
【答案】75
黑龙江省
14．【2024·牡丹江】如图，在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，CD＝6，BE＝1，则弦AC的长为 ．
【答案】310【解析】∵A B⊥C D，C D＝6，∴CE=ED=12CD=3，设⊙O的半径为r，则O E＝O B−E B＝r−1，
在Rt△OED中，由勾股定理得OE2+DE2＝OD2，即（r−1）2+32＝r2，解得r＝5，∴OA＝5，OE＝4，∴AE＝OA+OE＝9.在Rt△AEC中，由勾股定理得AC=CE2+AE2=32+92=310.故答案为310．
16．【2024·龙东地区】如图，△ABC内接于⊙O，AD是直径，若∠B＝25°，则∠CAD＝ °．
【答案】65【解析】如图，连接CD.∵∠B＝25°，∴∠B＝∠D＝25°.∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∴∠CAD＝90°−∠D＝65°.故答案为65．
青海省
15．【2024·青海】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A＝50°，则∠C的度数是 ．
【答案】130°
三、解答题
安徽省
20．【2024·安徽20题】如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是直径AB上一点，∠ACD的平分线交AB于点E，交⊙O于另一点F，FA＝FE．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）设FM⊥AB，垂足为M，若OM＝OE＝1，求AC的长．
解：（1）证明：∵FA＝FE，∴∠FAE＝∠AEF.
∵∠FAE与∠BCE都是BF所对的圆周角，
∴∠FAE＝∠BCE.
∵∠AEF＝∠CEB，∴∠CEB＝∠BCE.
∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠DCE.
∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，
∴∠CEB+∠DCE＝∠BCE+∠ACE＝∠ACB＝90°，
∴∠CDE＝90°，∴CD⊥AB.
（2）由（1）知，∠BEC＝∠BCE，∴BE＝BC.
∵AF＝EF，FM⊥AB，
∴MA＝ME＝2，AE＝4，
∴圆的半径OA＝OB＝AE−OE＝3，
∴BC＝BE＝OB−OE＝2.
在△ABC中，AB＝6，BC＝2，∠ACB＝90°，
∴AC=AB2−BC2=62−22=42．
江苏省
1．【2024·苏州】如图，△ABC中，AB＝42，D为AB中点，∠BAC＝∠BCD，cs∠ADC=24，⊙O是△ACD的外接圆．
（1）求BC的长；
（2）求⊙O的半径．
解：（1）∵∠BAC＝∠BCD，∠B＝∠B，
∴△BAC∽△BCD，∴BCBD=BABC，
∵AB=42，D为AB中点，
∴BD=AD=22，
∴BC2＝16，∴BC＝4.
（2）过点A作AE⊥CD于点E，连接CO，并延长交⊙O于F，连接AF，
∵在Rt△AED中，cs∠CDA=DEAD=24，AD=22，
∴DE＝1，∴AE=AD2−DE2=7.
∵△BAC∽△BCD，∴ACCD=ABBC=2，
设CD＝x，则AC=2x，CE＝x−1，
∵在Rt△ACE中，AC2＝CE2+AE2，
∴(2x)2=(x−1)2+(7)2，即x2+2x−8＝0，
解得x＝2，x＝−4（舍去），∴CD＝2，AC=22，
∵∠AFC与∠ADC都是AC所对的圆周角，
∴∠AFC＝∠ADC，
∵CF为⊙O的直径，∴∠CAF＝90°，
∴sin∠AFC=ACCF=sin∠CDA=AEAD=144，
∴CF=877，即⊙O的半径为477．
四川省
1．【2024·成都】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为斜边AB上一点，以BD为直径作⊙O，交AC于E，F两点，连接BE，BF，DF．
（1）求证；BC•DF＝BF•CE；
（2）若∠A＝∠CBF，tan∠BFC=5，AF＝45，求CF的长和⊙O的直径．
解：（1）证明：∵BD是⊙O的直径，∴∠BFD＝90°，
∵∠C＝90°，∴∠BFD＝∠C，
∵BF=BF，∴∠BEC＝∠BDF，
∴△BCE∽△BDF，∴BCBF=CEDF，
∴BC•DF＝BF•CE.
（2）连接DE，过E作EH⊥BD于H，如图：
∵∠C＝90°，tan∠BFC=5，
∴BCCF=5，∴BC=5CF.
∵∠A＝∠CBF，
∴90°−∠A＝90°−∠CBF，即∠ABC＝∠BFC，
∴tan∠ABC＝tan∠BFC=5，∴ACBC=5.
∴AC=5BC=5×（5CF）＝5CF，
∵AC−CF＝AF＝45，
∴5CF−CF＝45，∴CF=5，
∴BC=5CF＝5，AC＝5CF＝55，
∴AB=BC2+AC2=52+(55)2=56，
由（1）知△BCE∽△BDF，∴∠CBE＝∠DBF，
∴∠CBE−∠FBE＝∠DBF−∠FBE，即∠CBF＝∠EBA，
∵∠A＝∠CBF，
∴∠A＝∠EBA，∴AE＝BE，∴BH＝AH=12AB=562，
∵∠BEH＝90°−∠EBA＝90°−∠CBF＝∠BFC，
∴tan∠BEH＝tan∠BFC=5，
∴BHEH=5，即562EH=5，∴EH=302，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BED＝90°，∴∠EDH＝90°−∠DEH＝∠BEH，
∴tan∠EDH＝tan∠BEH=5，
∴EHDH=5，即302DH=5，∴DH=62，
∴BD＝DH+BH=62+562=36，
∴⊙O的直径为36．
答：CF的长为5，⊙O的直径为36．
福建省
25．【2024·福建25题】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，AE⊥OC，垂足为E，BE的延长线交AD于点F．
（1）求OEAE的值；
（2）求证：△AEB∽△BEC；
（3）求证：AD与EF互相平分．
解：（1）∵AB＝AC，且AB是⊙O的直径，∴AC＝2AO，
∵∠BAC＝90°，
在Rt△AOC 中，tan∠AOC=ACAO=2，
∵AE⊥OC，
在Rt△AOE 中，tan∠AOC=AEOE，
∴AEOE=2，∴OEAE=12.
（2）证明：过点B作 BM∥AE，交EO延长线于点M，如图1，
∴∠BAE＝∠ABM，∠AEO＝∠BMO＝90°．
∵AO＝BO，
∴△AOE≌△BOM（AAS），
∴AE＝BM，OE＝OM，
∵OEAE=12，
∴BM＝2OE＝EM，
∴∠MEB＝∠MBE＝45°，
∠AEB＝∠AEO+∠MEB＝135°，
∠BEC＝180°−∠MEB＝135°，
∴∠AEB＝∠BEC．
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝45°，∴∠ABM＝∠CBE，
∴∠BAE＝∠CBE，∴△AEB∽△BEC.
（3）连接DE，DF．如图2，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠AFB＝90°，AB＝2AO．
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴BC＝2BD，∠DAB＝45°，
由（2）知，△AEB∽△BEC，
AEBE=ABBC=2AO2BD=AOBD，∠EAO＝∠EBD，
∴△AOE∽△BDE，
∴∠BED＝∠AEO＝90°，
∴∠DEF＝90°，
∴∠AFB＝∠DEF，∴AF∥DE，
由（2）知，∠AEB＝135°，
∴∠AEF＝180°−∠AEB＝45°．
∵∠DFB＝∠DAB＝45°，
∴∠DFB＝∠AEF，∴AE∥FD，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴AD与EF互相平分．
浙江省
24．【2024·浙江A卷24题（回忆版）】如图，在圆内接四边形ABCD中，AD＜AC，∠ADC＜∠BAD，延长AD至点E，使AE＝AC，延长BA至点F，连结EF，使∠AFE＝∠ADC．
（1）若∠AFE＝60°，CD为直径，求∠ABD的度数．
（2）求证：①EF∥BC；
②EF＝BD．
解:（1）∵CD为直径，∴∠CAD＝90°，
∵∠AFE＝∠ADC＝60°，∴∠ACD＝90°−60°＝30°，
∴∠ABD＝∠ACD＝30°.
（2）证明：①如图，延长AB，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠CBM＝∠ADC.
又∵∠AFE＝∠ADC，∴∠AFE＝∠CBM，
∴EF∥BC.
②过点D作DG∥BC交⊙O于点G，连接AG，CG，
∵DG∥BC，∴BD=CG，∴BD＝CG，
∵四边形ACGD是圆内接四边形，
∴∠GDE＝∠ACG.
∵EF∥DG，∴∠DEF＝∠GDE，
∴∠DEF＝∠ACG，
∵∠AFE＝∠ADC，∠ADC＝∠AGC，
∴∠AFE＝∠AGC，
∵AE＝AC，∴△AEF≌△ACG（AAS），
∴EF＝CG，∴EF＝BD．
甘肃省
20．【2024·甘肃20题】马家窑文化以发达的彩陶著称于世，其陶质坚固，器表细腻，红、黑、白彩共用，彩绘线条流畅细致，图案繁缛多变，形成了绚丽典雅的艺术风格，创造了一大批令人惊叹的彩陶艺术精品，体现了古代劳动人民的智慧．如图1的彩陶纹样呈现的是三等分圆周，古人用等边三角形三点定位的方法确定圆周的三等分点，这种方法和下面三等分圆周的方法相通．如图2，已知⊙O和圆上一点M．作法如下：
①以点M为圆心，OM长为半径，作弧交⊙O于A，B两点；
②延长MO交⊙O于点C；
即点A，B，C将⊙O的圆周三等分．
（1）请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图2中将⊙O的圆周三等分（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）根据（1）画出的图形，连接AB，AC，BC，若⊙O的半径为2cm，则△ABC的周长为 cm．
解：（1）如图，点A，B，C即为所求．
（2）设CM交AB于点E．
∵AB=AC=BC，
∴AB＝CB＝AC，∠AOB＝120°，
∵AM=BM，
∴∠AOM＝∠BOM＝60°，
∵OA＝OB，
∴OE⊥AB，AE＝EB＝AO•sin60°＝2×32=3（cm），
∴AB＝23（cm），∴△ABC的周长为63cm．
故答案为63．
内蒙古
21．【2024·包头】如图，AB是⊙O的直径，BC，BD是⊙O的两条弦，点C与点D在AB的两侧，E是OB上一点（OE＞BE），连接OC，CE，且∠BOC＝2∠BCE．
（1）如图1，若BE＝1，CE=5，求⊙O的半径；
（2）如图2，若BD＝2OE，求证：BD∥OC．（请用两种证法解答）
解：（1）如图1中，过点O作OH⊥BC于点H．
∵OC＝OB，OH⊥BC，
∴∠COH＝∠BOH，CH＝BH.
∵∠BOC＝2∠BCE，∴∠BOH＝∠BCE.
∵∠BOH+∠OBH＝90°，
∴∠BCE+∠OBH＝90°，∴∠CEB＝90°，
∴BC=EC2+EB2=5+1=6，∴CH＝BH=62.
∵cs∠OBH=BHOB=EBBC，
∴62OB=16，∴OB＝3，
∴⊙O的半径为3．
（2）证法一：如图2中，过点O作OK⊥BD于点K，则BK＝DK，
∵BD＝2OE，∴OE＝BK.
∵∠CEO＝∠OKB＝90°，OC＝OB，
∴Rt△OEC≌Rt△BKO（HL），
∴∠COE＝∠OBK，∴OC∥BD.
证法二：如图2中，过点O作OK⊥BD于点K，则BK＝DK，
∵BD＝2OE，
∴OE＝BK.
∵cs∠COE=OEOC，cs∠OBK=BKOB，OC＝OB，
∴cs∠COE＝cs∠OBK，
∴∠COE＝∠OBK，∴OC∥BD.
新疆
22．【2024·新疆生产建设兵团】如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，AD=BD．
（1）求证：△ACD∽△ECB；
（2）若AC＝3，BC＝1，求CE的长．
解：（1）证明：∵AD=BD，∴∠ACD＝∠BCE，
∵∠ADC＝∠EBC，∴△ACD∽△ECB.
（2）过B点作BH⊥CD于H点，如图，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
在Rt△ACB中，AB=BC2+AC2=12+32=10，
∵∠ACD＝∠BCD＝45°，∴∠ABD＝∠BAD＝45°，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴BD=22AB=22×10=5，
在Rt△BCH中，∵∠BCH＝45°，
∴CH＝BH=22BC=22.
在Rt△BDH中，DH=BD2−BH2=(5)2−(22)2=322，
∴CD＝CH+BH=22+322=22，
∵△ACD∽△ECB，
∴CA：CE＝BC：CD，即3：CE＝22：1，
解得CE=324，即CE的长为324．