甘肃省多校2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷（解析版）-A4

这是一份甘肃省多校2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷（解析版）-A4，共12页。试卷主要包含了本卷主要考查内容等内容，欢迎下载使用。
全卷满分150分，考试时间120分钟
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚．
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交．
5．本卷主要考查内容：湘教版必修第一册第1章～第5章5.2．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 命题：，，则是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定直接求解即可.
【详解】根据“，”的否定为“，”，
可得，的否定为，.
故选：.
2. 与角终边相同的角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用终边相同的角的表示方法，逐一检验即得.
【详解】因为与角终边相同的角是，，
，则与角终边相同的角是，
而其他选项的角都不能用类似的式子表示．
故选：C．
3. 已知函数，则函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数有意义，列出不等式组，解之即得.
【详解】由题意知，解得且，
则函数的定义域为．
故选：D．
4 已知，则（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用同角三角函数的基本关系式即可求得结果．
【详解】由，则.
故选：B．
5. 已知，则的最小值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】利用配凑方法，结合基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】由，得
，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为2．
故选：B
6. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据对数的运算性质即可结合换底公式求解.
详解】由题意，.
故选：B．
7. 已知是上的单调函数，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据分段函数的单调性列式求解.
【详解】因当时，为减函数，又因为在上为单调函数，
所以只能为单调递减函数，
当时，一次函数单调递减，当时，指数函数，
所以将代入得：，又因为在上为单调递减函数，
所以，解得：.
故选：D．
8. 已知函数是定义在上的奇函数，且对任意的，，都有恒成立，记，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】令，利用函数单调性与奇偶性的定义判断得的单调性和奇偶性，再利用对数的运算与换底公式将，，化为的函数值，从而求解.
【详解】因为对任意的，都有恒成立，
即，
令，所以当时，有，即，
所以函数在0,+∞上单调递减，
又函数为奇函数，所以，
即函数为偶函数，
又，，，
所以，，
，
又，
函数在0,+∞上单调递减，所以.
故选：.
【点睛】关键点点睛：本题通过构造新函数，利用函数的单调性和奇偶性比较函数值大小，一定要注意应将自变量置于同一单调区间再借助单调性比较.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知，则下列正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用不等式的性质可判断ACD，举反例排除B，从而得解.
【详解】对于ACD，因为，
所以，，，故ACD正确；
对于B，取，则，故B错误.
故选：ACD.
10. 已知，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于AC，利用完全平方公式与三角函数的基本关系式即可求得所求；对于B，结合选项A中结论，判断得，从而求得的取值范围即可判断；对于D，利用选项C中的结论求得，进而求得，即可解答.
【详解】对于A，由①，以及，
对等式①两边取平方得，则②，故A正确；
对于B，∵，∴，由②知，，故B正确；
对于C，又，故C错误；
对于D，由方程，解得，所以，故D正确.
故选：ABD.
11. 已知幂函数，函数在区间上单调递减，则下列正确的是（ ）
A.
B. 函数的图象经过点−1,1
C. 若，则
D. 若，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】对A，根据幂函数定义结合单调性求解判断；对B，由选项A得，代入运算判断；对C，根据幂函数的单调性判断；对D，利用作差比较法，结合基本不等式判断.
【详解】对于A，由函数为幂函数，有，解得或2．
当时，，函数在单调递增，不符合题意；
当时，，函数单调递减，符合题意．故有，故A错误；
对于B，由选项A，，可得，故B正确；
对于C，由函数为偶函数，可知函数在区间上单调递增，
可得，故C正确；
对于D，由，，
则，
可得，故D正确．
故选：BCD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. ______．
【答案】
【解析】
【分析】结合对数、指数运算法则及特殊角的三角函数值计算即可得.
【详解】由题意知．
故答案为：.
13. 已知的圆心角所对的弧长为，则这个扇形的面积为_____.
【答案】
【解析】
【分析】根据弧度值的定义，结合扇形面积公式求解即可.
【详解】由题意，，故这个扇形的半径，面积为.
故答案为：
14. 若实数，满足，，则______．
【答案】1
【解析】
【分析】令，易知为单调递增函数，函数变形同构可得，进而求解即可.
【详解】令，因为和均在R上单调递增，
所以为单调增函数，，有且仅有一个零点，
又由题可知，即，所以，
∴，即，∴．
故答案为：1.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15. 已知集合，集合．
（1）当时，求；
（2）若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围．
【答案】（1）或；
（2）
【解析】
【分析】（1）解出集合、后，结合交集定义即可得答案；
（2）由题意可得，结合、集合计算即可得答案.
【小问1详解】
当时，集合，
由可得，即，
则或，
所以或；
【小问2详解】
因为“”是“”的充分条件，所以，
而，或，
所以，即．
16. 某企业年年初花费64万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为30万元，设备使用年后该设备的维修保养费用为万元，盈利总额为y万元．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）求该设备的年平均盈利额的最大值（年平均盈利额＝盈利总额÷使用年数）．
【答案】（1）
（2）10万元
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，直接求出y关于x的函数关系式；
（2）求出年平均盈利额的表达式，再利用基本不等式求得最大值.
【小问1详解】
根据题意：，
故y关于x的函数关系式为.
【小问2详解】
由（1）知盈利总额为，
则年平均盈利额为，
则，因（当且仅当时取等号），
所以有万元，
故第8年年平均盈利额取得最大值，最大值为10万元.
17. 已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点．
（1）求，，；
（2）求的值．
【答案】（1），，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据三角函数定义结合诱导公式求解；
（2）利用诱导公式化简，从而得解.
【小问1详解】
因为角的终边经过点，由三角函数的定义知
，
，
，；
【小问2详解】
由诱导公式，得
．
18. 已知函数.
（1）若的定义域为，求实数a的取值范围；
（2）若在上单调递增，求实数a的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意可得在上恒成立，分类讨论的取值范围，结合一次函数与二次函数的性质即可得解；
（2）分类讨论的范围，根据复合函数的单调性的性质，结合定义域列出关于的不等式组，解之即可得解.
【小问1详解】
对于，
若的定义域为，即在上恒成立.
当时，不等式化为，不符合题意；
当时，则，解得；
综上，，即实数a的取值范围是；
【小问2详解】
因为在上单调递增，
所以在上单调递增，且恒成立，
当时，，
因为，所以，
则在上单调递增，且恒成立，符合题意；
当时，的对称轴为，
当时，，
解得，所以；
当时，，解得；
综上，，即实数a的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：本题第2小问的解决关键是，分析得在上的性质，从而利用二次函数的性质即可得解.
19. 已知为偶函数，为奇函数．
（1）求实数k的值；
（2）判断并证明的单调性；
（3），最小值为1，求m的值．
【答案】（1）
（2）单调递增，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）利用偶函数定义来求参数即可；
（2）利用定义法来证明单调性即可；
（3）利用换元法，，把原函数在闭区间上的最小值问题转化为二次函数在闭区间上的最小值问题，从而利用二次函数的性质来进行求解.
【小问1详解】
由题设恒成立，
所以，经验证满足题设，所以；
【小问2详解】
是在上的单调递增函数，证明如下：
令，则，
又，，故，
所以是在上的单调递增函数，
【小问3详解】
由题设，，
令，因为，由（2）证明的单调性可知：
而，
所以题意转化为：，的最小值为1，
显然开口向上且对称轴为，，
所以时在上递增，最小值为，不符合题意，故，
若，则，不符合题意；
若，则（正值舍），
综上，．