2023-2024学年甘肃省高一（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年甘肃省高一（上）期末数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={−1,0,1,2,3}，B={−3,−1,1,3,5}，则A∩B=( )
A. {1,3}B. {0,1,3}C. {−1,1,3}D. {−1,0,1,2,3,5}
2.ac2>bc2是a>b的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.函数y= lg2x的定义域是( )
A. (0,1]B. (0,+∞)C. [1,+∞)D. (1,+∞)
4.若00的解集是( )
A. {x|1t1t或xC. {x|x<1t或x>t}D. {x|t5.如果a>1，b<−1，那么函数f(x)=ax+b的图象在( )
A. 第一、二、三象限B. 第一、三、四象限C. 第二、三、四象限D. 第一、二、四象限
6.已知函数f(x)=|tanx|，下列结论正确的是( )
A. 函数f(x)的最小正周期为π2
B. 函数f(x)在区间(π2,π]上是增函数
C. 函数f(x)的图象关于直线x=2024π对称
D. 函数f(x)是奇函数
7.已知函数f(x)=2x−3,x>0f(x+3),x≤0，则f(−14)=( )
A. 14B. 12C. 0D. −14
8.设a=lg26,b=lg312,c=20.6，则( )
A. a二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列叙述中正确的是( )
A. {0}⊆Z
B. 若集合A，B是全集U的两个子集，且A⊆B，则B∩(∁UA)=⌀
C. 命题“∀x∈Z，x2>0”的否定是“∃x∈Z，x2≤0”
D. 命题“∀x∈Z，x2>0”的否定是“∀x∈Z，x2<0”
10.下列计算正确的是( )
A. (169)−14= 32B. 9π−2×92−π=0
C. lg4 3×lg32=14D. e3ln2=9
11.已知函数f(x)=Acs(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，下列说法正确的是( )
A. 函数y=f(x)的图象关于点(−π3,0)对称
B. 函数y=f(x)的图象关于直线x=−5π12对称
C. 函数y=f(x)在[−2π3,−π6]单调递减
D. 该图象向右平移π6个单位可得y=2sin2x的图象
12.已知函数f(x)=(x−1)3,x>a,|x−1|,x⩽a,则下列结论正确的是( )
A. 存在实数a，函数f(x)无最小值
B. 对任意实数a，函数f(x)都有零点
C. 当a⩾1时，函数f(x)在(1,+∞)上单调递增
D. 对任意a∈(1,2)，都存在实数m，使关于x的方程f(x)−m=0有3个不同的实根
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.cs5π6= ______ ．
14.儿童青少年近视防控是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V的满足L=5+lgV.已知某同学视力的小数记录法的数据为0.8，则其视力的五分记录法的数据为______ (结果精确到0.1).(参考数据lg2≈0.30)
15.写出一个同时具有下列三个性质的函数：f(x)= ______ ．
①函数为g(x)=f(x)−1为指数函数；
②f(x)单调递减；
③f(−1)>3．
16.对于函数y=f(x)，若存在x0，使f(x0)=−f(−x0)，则称点(x0,f(x0))与点(−x0,f(−x0))是函数f(x)的一对“隐对称点”.若函数f(x)=x2+2x,x<0mx+4,x≥0的图象存在“隐对称点”，则实数m的取值范围是______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知sinx+csxsinx−csx=3．
(1)求tanx的值；
(2)若x是第三象限角，化简cs(6π−x)⋅ 1+sinx1−sinx，并求值．
18.(本小题12分)
已知a>0，b>0．
(1)求证：a2+3b2≥2b(a+b)；
(2)若1a+2b=1，求2a+b的最小值．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=sin(2x+φ)−1(−π2<φ<π2),π3是f(x)的一个零点．
(1)求φ；
(2)当x∈[0,π2]时，求f(x)的值域．
20.(本小题12分)
“宸宸”“琮琮”“莲莲”是2023年杭州亚运会吉祥物，组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因.某中国企业可以生产杭州亚运会吉祥物“宸宸”“琮踪”“莲莲”，根据市场调查与预测，投资成本x(百万元)与利润y(百万元)的关系如表：
当投资成本x不高于12(百万元)时，利润y(百万元)与投资成本x(百万元)的关系有两个函数模型y=Ax2+B(A>0)与y=Tax(T>0,a>1)可供选择．
(1)当投资成本x不高于12(百万元)时，选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；
(2)当投资成本x高于12(百万元)时，利润y(百万元)与投资成本x(百万元)满足关系y=−0.2(x−12)(x−17)+12.8，结合第(1)问的结果，要想获得不少于一千万元的利润，投资成本x(百万元)应该控制在什么范围.(结果保留到小数点后一位)(参考数据：lg2≈0.30)
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=lga(2x−4)+lga(5−x)(a>0，且a≠1)的图象过点P(3,−2)．
(1)求a的值及f(x)的定义域；
(2)求f(x)在[3,92]上的最小值；
(3)若2m=3n=t(5222.(本小题12分)
已知函数f(x)=ex+(1+a)e−x．
(1)若f(x)是偶函数，求a的值；
(2)若对任意x∈(0,+∞)，不等式f(x)≥a+1恒成立，求a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A={−1,0,1,2,3}，B={−3,−1,1,3,5}，
则A∩B={−1,1,3}．
故选：C．
根据已知条件，结合交集的定义，即可求解．
本题主要考查交集的运算，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：若ac2>bc2，∵c2>0，∴a>b，∴ac2>bc2是a>b的充分条件
若a>b，∵c2≥0，∴ac2≥bc2，∴ac2>bc2不是a>b的必要条件
∴ac2>bc2是a>b的充分不必要条件
故选A．
由ac2>bc2，可得a>b，反之若a>b，则ac2≥bc2，故可得结论．
本题考查四种条件，解题的关键是利用不等式的基本性质，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：∵函数y= lg2x的定义域是lg2x≥0，
解得x≥1，
选C．
根据对数函数的定义，及根式有意义的条件，进行求解．
此题主要考查对数函数定义域的求法，注意根式里面要大于等于0，这是个易错点．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．
根据一元二次不等式的解集与方程根的关系，结合二次函数可得不等式的解集．
【解答】
解：不等式(t−x)(x−1t)>0，
∴(x−t)(x−1t)<0，
∴方程(x−t)(x−1t)=0的两根为t，1t，
∵0∴t<1t，
∴x的不等式(t−x)(x−1t)>0的解集是(t,1t)，
故选：D．
5.【答案】B
【解析】【分析】
先考查y=ax的图象特征，f(x)=ax+b的图象可看成把y=ax的图象向下平移−b(−b>1)个单位得到的，即可得到f(x)=ax+b的图象特征．
本题考查函数图象的变换，指数函数的图象特征，体现了转化的数学思想．
【解答】
解：∵a>1，
∴y=ax的图象过第一、第二象限，且是单调增函数，经过(0,1)，
f(x)=ax+b的图象可看成把y=ax的图象向下平移−b(−b>1)个单位得到的，
故函数f(x)=ax+b的图象
经过第一、第三、第四象限，不经过第二象限，
故选B．
6.【答案】C
【解析】解：对于A，由于f(π6)= 33，f(π6+π2)=f(2π3)= 3，因此f(π6+π2)≠f(π6)，故A错误．
对于B，当x∈(π2,π]时，f(x)=−tanx，则函数f(x)在区间(π2,π]上是减函数，故B错误．
对于C，f(2024π−x)=|tan(2024π−x)|=|tanx|=|tan(2024π+x)|=f(2024π+x)，
因此函数f(x)的图象关于直线x=2024π对称，故C正确．
对于D，由于f(−x)=|tan(−x)|=|tanx|=f(x)，因此函数f(x)是偶函数，不是奇函数，D错误．
故选：C．
由题意，根据给定的函数，结合正切函数的图象、性质逐项判断即得．
本题主要考查正切函数的图象和性质，属于中档题．
7.【答案】A
【解析】解：函数f(x)=2x−3,x>0f(x+3),x≤0，
所以f(−14)=f(−11)=f(−8)=f(−5)=f(−2)=f(1)=21−3=14．
故选：A．
利用给定的函数关系，依次代入计算即得．
本题主要考查函数值的求解，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：由4 2<6，得a=lg26>lg24 2=52，
由9<12<9 3，得lg39即2所以c故选：B．
根据给定条件，利用指数函数、对数函数单调性，借助媒介数比较大小即得．
本题主要考查了对数函数和指数函数的性质，属于基础题．
9.【答案】AC
【解析】解：对于选项A：因为0∈Z，所以{0}⊆Z，故A正确；
对于选项B：B错误，可举特例说明，如U={1,2,3,4,5}，A={1,2}，B={1,2,3}，
则∁UA={3,4,5}，
所以B∩(∁UA)={3}≠⌀，故B错误；
全称量词命题p：∀x∈M，p(x)的否定是：∃x0∈M，¬p(x0)，故选项C正确；选项D错误．
故选：AC．
根据集合间的关系可判断选项A，B；根据全称量词命题的否定形式可判断选项C，D．
本题主要考查了集合与集合，元素与集合的关系，还考查了含有量词的命题的否定，属于基础题．
10.【答案】AC
【解析】解：A项，(169)−14=(916)14=((34)2)14=(34)12= 34= 32，故选项A正确；
B项，9π−2×92−π=9π−2+2−π=90=1，故选项B不正确；
C项，lg4 3×lg32=lg 3lg4×lg2lg3=12lg32lg2×lg2lg3=14，故选项C正确；
D项，e3ln2=eln8=8，故选项D不正确．
故选：AC．
利用指数幂和对数的运算法则即可求解．
本题考查指数运算，对数运算，属于基础题．
11.【答案】BD
【解析】解：根据函数f(x)=Acs(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象，
可得A=2,14⋅2πω=π3−π12，可得ω=2，
再根据五点作图法，可得2×π3+φ=π2，解得φ=−π6，所以f(x)=2cs(2x−π6)，
对于A中，当x=−π3，可得f(−π3)=2cs(−5π6)= 3≠0，
所以(−π3,0)不是函数y=f(x)的对称中心，所以A错误；
对于B中，当x=−5π12时，可得f(−5π12)=2cs(−π)=−2，即函数的最小值，
所以函数y=f(x)的图象关于直线x=−5π12对称，所以B正确；
对于C中，当x∈[−2π3,−π6]，可得2x−π6∈[−3π2,−π2]，
根据余弦函数的性质，可得在函数f(x)在[−2π3,−π6]先减后增，所以C不正确；
对于D中，将函数f(x)=2cs(2x−π6)该图象向右平移π6个单位，
可得y=2cs[2(x−π6)−π6]=2cs(2x−π2)=2sin2x的图象，所以D正确．
故选：BD．
根据给定的三角函数的图象，得到函数的解析式为f(x)=2cs(2x−π6)，结合三角函数的性质，以及三角函数的图象变换，逐项判定，即可求解．
本题主要考查三角函数的图像和性质，属于中档题．
12.【答案】ABD
【解析】解：函数(x−1)3,x>a|x−1|,x≤a的定义域为R，
当x>a时，f(x)在(a,+∞)上单调递增．
对于A：当a=0时，当x>0时，f(x)=(x−1)3在(0,+∞)上单调递增，所以f(x)>−1，
当x≤0时，f(x)=|x−1|=1−x≥1，此时函数f(x)无最小值，故A正确；
对于B：当a<1时，由f(x)=0，得(x−1)3=0，解得x=1，
当a≥1时，由f(x)=0，得|x−1|=0，解得x=1，因此任意实数a，函数f(x)都有零点，故B正确；
对于C：当a=32时，当1≤x≤32时，f(x)=x−1在[1,32]上单调递增，
当x>32时，f(x)=(x−1)3在(32,+∞)上单调递增，
而(32−1)3=18<12=f(32)，此时函数f(x)在(1,+∞)上不单调，故C错误；
对于D：对任意a∈(1,2)，函数f(x)=(x−1)3,x>ax−1,1≤x≤a1−x,x<1，
当x<1时，f(x)在(−∞,1)上单调递减，且f(x)<0，
当1≤x≤a时，f(x)在(1,a)上单调递增，且0≤f(x)≤a−1，
当x>a时，f(x)在(a,+∞)上单调递增，且f(x)>(a−1)3，
显然恒有(a−1)3当(a−1)3即方程f(x)−m=0有3个不同的实根，故D正确．
故选：ABD．
取特值结合单调性判断A；分段讨论判断B；举特值分析单调性判断C；分析函数的性质判断D．
本题考查函数的零点与方程的根，转化和数形结合的方法，属中档题．
13.【答案】− 32
【解析】解：cs5π6=cs(π−π6)=−csπ6=− 32，
故答案为：− 32．
由条件利用诱导公式化简所给式子的值，可得结果．
本题主要考查应用诱导公式进行化简和求值，属于基础题．
14.【答案】4.9
【解析】解：由题意L=5+lgV，当V=0.8时，
则L=5+lg0.8=5+lg810=5+3lg2−1≈4+3×0.3=4.9．
故答案为：4.9．
由L，V的关系，代入V=0.8，利用对数运算性质化简求值即可．
本题考查对数运算的应用，属于基础题．
15.【答案】(13)x+1(答案不唯一)
【解析】解：令f(x)=(13)x+1，
此函数满足函数g(x)=f(x)−1=(13)x为指数函数，满足在R上单调递减，
满足f(−1)=3+1=4>3．
故答案为：(13)x+1(答案不唯一)．
根据所学函数性质可解决此题．
本题考查函数性质，考查数学运算能力及直观想象能力，属于基础题．
16.【答案】(−∞,2]
【解析】解：由“隐对称点”的定义可知，f(x)=x2+2x,x<0mx+4,x≥0的图象上存在关于原点对称的点，
设h(x)的图象与y=x2+2x，x<0图象关于原点对称，
设x>0，则−x<0，f(−x)=(−x)2+2(−x)=x2−2x，
所以h(x)=−f(−x)=−x2+2x，x>0，
故h(x)的图象与y=mx+4，x>0的图象有交点，
等价于方程−x2+2x=mx+4(x>0)有实根，
故m=−x−4x+2=−(x+4x)+2≤−2 4+2=−4+2=−2，
当且仅当x=2时，取得等号，所以m≤−2，
故实数m的取值范围是(−∞,2]．
故答案为：(−∞,2]．
结合奇函数的特征，区间转化法求解析式，再根据新定义转化为两函数图象的交点，进而转化到方程根的问题，利用基本不等式即可解决．
本题主要考查函数性质的应用，考查计算能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)由sinx+csxsinx−csx=3，得tanx+1tanx−1=3，
解得tanx=2．
(2)由(1)知，tanx=2，即csx=12sinx，
因sin2x+cs2x=1，于是sin2x=45，
而x是第三象限角，即sinx<0，csx<0，因此sinx=−2 55，
所以cs(6π−x)⋅ 1+sinx1−sinx=csx⋅ (1+sinx)21−sin2x=csx⋅ (1+sinx)2cs2x=csx⋅1+sinx−csx=−1+2 55．
【解析】(1)由题意利用同角三角函数的基本关系，利用齐次式法计算即得；
(2)利用诱导公式及同角三角平方关系化简给定式子，再结合(1)利用同角公式求值即得．
本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题．
18.【答案】(1)证明：a>0，b>0，则a2+3b2=a2+b2+2b2≥2ab+2b2=2b(a+b)，当且仅当a=b时取等号，
所以a2+3b2≥2b(a+b)．
(2)解：由a>0，b>0，且1a+2b=1，得2a+b=(1a+2b)(2a+b)=4+ba+4ab≥4+2 ba⋅4ab=8，
当且仅当ba=4ab，即b=2a=4时取等号，
所以当a=2，b=4时，2a+b取得最小值8．
【解析】(1)根据给定条件，利用基本不等式推理即得．
(2)利用基本不等式“1”的妙用求出最小值．
本题主要考查了基本不等式的应用，属于中档题．
19.【答案】解：(1)依题意，f(π3)=0，
即sin(2π3+φ)=1，则2π3+φ=π2+2kπ,k∈Z，
而−π2<φ<π2，
所以k=0,φ=−π6．
(2)由(1)知，f(x)=sin(2x−π6)−1，当x∈[0,π2]时，2x−π6∈[−π6,5π6]，
而正弦函数y=sinx在[−π6,π2]上单调递增，在[π2,5π6]上单调递减，
因此当2x−π6=−π6，即x=0时，sin(2x−π6)取得最小值−12，
当2x−π6=π2，即x=π3时，sin(2x−π6)取得最大值1，
则−12≤sin(2x−π6)≤1，−32≤sin(2x−π6)−1≤0，
所以f(x)的值域是[−32,0]．
【解析】(1)根据给定的零点，结合特殊角的三角函数值求出φ；
(2)由(1)求出f(x)的解析式，再利用正弦函数性质求出值域即可．
本题主要考查正弦函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于基础题．
20.【答案】解：(1)最符合实际的函数模型为y=Tax(T>0,a>1)，
理由如下：
若选函数y=Ax2+B(A>0)，将点(2,0.4)，(4,0.8)代入可得4A+B=0.416A+B=0.8，
解得A=130,B=415，所以y=130x2+415，
当x=12时，可得y=5.06，与实际数据差别较大；
若选函数y=Tax(T>0,a>1)，
将点(2,0.4)，(4,0.8)代入可得Ta2=0.4Ta4=0.8，解得a= 2,T=15，
所以y=15( 2)x，当x=12时，可得y=12.08，符合题意，
综上可得，最符合实际的函数模型为y=15⋅( 2)x．
(2)由题意知，利润y与投资成本x满足关系式y=15⋅( 2)x,012，
要获得不少于一千万的利润，即y≥10，
当0又因为0当x>12时，即−0.2(x−12)(x−17)+12.8≥10，可得x2−29x+190≤0，
解得10≤x≤19，又因为x>12，所以12综上可得，11.3≤x≤19，
所以要获得不少于一千万的利润，投资成本x(千万)的范围是[11.3,19]．
【解析】(1)根据题意，结合表格中的数据，将点(2,0,4)，(4,0.8)，分别代入两个函数的解析式，求得A，B，T，a的值，结合x=12时，求得y的值，即可得到答案；
(2)根据题意得到利润y与投资成本x关系式，结合要获得不少于一千万的利润，得出不等式y≥10，分类讨论，即可求解．
本题考查函数模型的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)依题意，f(3)=lga2+lga2=−2，解得a=12，
由2x−4>05−x>0，解得2(2)由(1)知，f(x)=lg12(2x−4)+lg12(5−x)=lg12(2x−4)(5−x)=lg12(−2x2+14x−20)，
−2x2+14x−20=−2(x−72)2+92，当3≤x≤92时，则52≤−2(x−72)2+92≤92，
所以lg1292≤lg12(−2x2+14x−20)≤lg1252，
因此当x=72时，函数f(x)min=lg1292=1−2lg23，
所以f(x)在[3,92]上的最小值1−2lg23；
(3)2m=3n=t(52则2m=lg 2t=1lgt 2，3n=lg33t=1lgt33，
显然 2=68，33=69>68= 2>1，即有0于是2m>3n，而52又27>34，则7>4lg23，lg23<74，即2m<72，
n=lg3t>lg352，3n>3lg352=lg31258>lg39=2，
从而2m∈(2,72)，3n∈(2,72)，
因为函数u=−2x2+14x−20在(2,72)上是增函数，又y=lg12u在(0,+∞)上是减函数，
则f(x)在(2,72)上是减函数，
所以f(2m)【解析】(1)由f(3)=−2求得a，由对数函数的定义得定义域；
(2)函数式化简为只含有一个对数号，然后由二次函数性质及对数函数性质得最小值；
(3)指数式改写为对数式，然后比较2m，3n的大小，并由已知得出2m，3n的范围，在此范围内由f(x)的单调性得大小关系．
本题考查对数函数的单调性、复合函数单调性与值域等问题的解题思路，属于中档题．
22.【答案】解：(1)因为函数f(x)=ex+(1+a)e−x，且f(x)是偶函数，
所以f(−x)=f(x)，即e−x+(1+a)ex=ex+(1+a)e−x，
化简得a(ex−e−x)=0，所以a=0；
(2)对任意x∈(0,+∞)，不等式f(x)≥a+1恒成立，
等价于ex+(1+a)e−x≥a+1恒成立，
即ex+e−x−1≥a(1−e−x)恒成立，
因为x∈(0,+∞)，所以e−x∈(0,1)，
设t=e−x，t∈(0,1)，则不等式化为1t+t−1≥a(1−t)，即a≤1t(1−t)−1恒成立，
设g(t)=1t(1−t)，t∈(0,1)，
因为t(1−t)≤(t+1−t2)2=14，当且仅当t=1−t，即t=12时取“=”；
所以g(t)在t∈(0,1)时的最小值为4，
所以a的取值范围是(−∞,3]．
【解析】本题考查了函数的奇偶性应用问题，也考查了不等式恒成立问题，属于中档题．
(1)根据偶函数的定义列出f(−x)=f(x)求出a的值；
(2)问题等价于ex+e−x−1≥a(1−e−x)恒成立，利用换元法设t=e−x，t∈(0,1)，问题转化为a≤1t(1−t)−1恒成立，利用基本不等式即可求a的取值范围．x(百万元)
⋯
2
⋯
4
⋯
12
⋯
y(百万元)
⋯
0.4
⋯
0.8
⋯
12.8
⋯