甘肃省庆阳市西峰育才中学2024-2025学年高一下学期5月期中考试数学试题（A）（解析版）-A4

这是一份甘肃省庆阳市西峰育才中学2024-2025学年高一下学期5月期中考试数学试题（A）（解析版）-A4，共24页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上， 已知向量若则， 的值为， 已知，均为锐角，，，则， 已知平面向量，，则， 下列各式的值正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前填写好自己的姓名､班级､考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一､单选题（共40分）
1. 已知复数满足，则的共轭复数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数的运算法则及共轭复数的定义求解即可.
【详解】由，则，
则的共轭复数为.
故选：B.
2. （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，利用正弦的倍角公式，结合特殊角的三角函数值，即可求解.
【详解】由正弦的倍角公式，可得.
故选：B.
3. 已知向量若则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用向量垂直的坐标运算即可求解.
【详解】由，
因所以，
故选：B.
4. 如图，为的边上的中线，且，那么为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由为中点，则，根据平面向量基本定理即可求解.
【详解】由，
所以，
故选：A.
5. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】根据正弦定理求解即可.
【详解】在中，，，，由正弦定理
可知.
又，，∴或.
故选：C.
6. 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用诱导公式化简后，逆用差角的正弦公式计算即得.
【详解】
.
故选：B.
7. 已知，均为锐角，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用同角三角函数的基本关系以及配凑法即可求解.
【详解】因为，
又因为，均为锐角，则，所以，，
所以，
故选：C
8. 要得到函数的图象，只需将函数的图象进行如下变换得到（ ）
A. 向右平移个单位B. 向左平移个单位
C. 向右平移个单位D. 向左平移个单位
【答案】B
【解析】
【分析】先利用辅助角公式将化简，再根据三角函数的变换规则判断即可.
【详解】解：因为，
，
所以将向左平移个单位得到.
故选：B
二､多选题（共18分）
9. 已知平面向量，，则（ ）
A. B. 与可作为一组基底向量
C. 与夹角的余弦值为D. 在方向上的投影向量的坐标为
【答案】BC
【解析】
【分析】对A：计算即可得；对B：借助基底向量的定义即可得；对C：借助平面向量夹角公式计算即可得；对D：借助投影向量定义计算即可得.
【详解】对A：，则，故A错误；
对B：易得与为不共线的向量，故与可作为一组基底向量，故B正确；
对C：，故C正确；
对D：，故D错误.
故选：BC.
10. 下列各式的值正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】利用二倍角的正弦公式可判断A选项；利用诱导公式结合两角和的余弦公式可判断B选项；利用二倍角的正切公式可判断C选项；利用两角和的正切公式可判断D选项.
详解】对于A选项，，A错；
对于B选项，
，B对；
对于C选项，，C错；
对于D选项，因为，
所以，，
故
，D对.
故选：BD.
11. 已知向量，则（ ）
A.
B.
C.
D. 在上的投影向量的坐标为
【答案】ABD
【解析】
【分析】A利用向量的模的坐标公式计算；B利用向量加法和数乘的坐标运算；C利用公式即可；D利用投影向量公式.
【详解】因，则，故A正确；
，则，则，故B正确；
，则，故C错误；
在上的投影向量为，故D正确.
故选：ABD
第II卷（非选择题）
三､填空题（共15分）
12. 已知复数是纯虚数，则复数的虚部为_____
【答案】10
【解析】
【分析】利用复数的乘法运算，结合纯虚数的定义求解.
【详解】依题意，，由是纯虚数，得，
解得，因此，
所以复数的虚部为10.
故答案为：10
13. 如图，在中，是线段上的一点，若，则实数_________．
【答案】
【解析】
【分析】设，根据向量的运算关系可求得，再结合已知建立关系即可求出.
【详解】设，
则
，
，
，解得.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题考查平面向量基本定理的应用，解题的关键是设出，利用向量关系将表示出来.
14. 已知，则函数的最大值是_______．
【答案】
【解析】
【分析】借助三角恒等变换公式将原函数化为正弦型函数后，结合所给定义域计算即可得.
【详解】，
由，则，
则当时，有最大值.
故答案为：.
四､解答题（共77分）
15. 已知向量，．
（1）若，求的值；
（2）若，，求与的夹角的余弦值．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据向量垂直的坐标运算，即可求解；
（2）根据向量平行的坐标运算求出，再根据向量夹角的坐标运算可得结果.
【小问1详解】
由，可得，即．
又，，所以，，
所以，解得．
【小问2详解】
因为，，所以，
又，所以，解得，所以.
又，
所以，
所以与的夹角的余弦值为．
16. 已知是虚数单位，复数，.
（1）当时，求；
（2）若z是纯虚数，求的值；
（3）若在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先写出复数再根据模长公式求解；
（2）根据复数是纯虚数求参即可；
（3）根据复数对应的点位于第三象限列不等式求解即可.
【小问1详解】
当时，.
所以，.
【小问2详解】
若复数是纯虚数，则，
解得，所以.
【小问3详解】
复数在复平面内对应的点位于第三象限，
则即，
解得.
所以，实数的取值范围是.
17. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.
（1）求角C的大小；
（2）若的面积为，，求a、b的值.
【答案】（1）
（2），或，.
【解析】
【分析】（1）由正余弦定理化简可得结果；
（2）由三角形面积公式及余弦定理化简可得结果.
【小问1详解】
由正弦定理得，，化简为，
，，
，.
【小问2详解】
由题意有，可得，
由余弦定理得：，
将，代入可得：，可得，
所以，所以，
由，解得或.
故，或，.
18. 已知，其中.
（1）求值；
（2）求的值.
【答案】（1） （2）-3
【解析】
【分析】（1）利用两角和的正切公式，可求得；
（2）先用诱导公式，然后用平方关系变形，再用弦化切计算可得答案.
【小问1详解】
由，解得.
【小问2详解】
19. 在中，角、、所对的边分别为、、，已知．
（1）求角的大小．
（2）若，的面积为，求的周长．
（3）若为锐角三角形，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值；
（2）利用三角形的面积公式可得出的值，利用余弦定理可得出的值，由此可得出的周长；
（3）利用三角恒等变换得出，根据为锐角三角形求出角的取值范围，再利用正弦型函数的基本性质可求出的取值范围.
【小问1详解】
∵，由正弦定理
又∵，∴，∴，故.
【小问2详解】
由（1）得，，
∵的面积为，∴，即，解得，
由余弦定理得，，∴，
故的周长为.
【小问3详解】
由得，则，
∴
.
∵为锐角三角形，∴，故，
∴，故，∴，
即取值范围是