2024-2025学年河南省郑州市二七区、高新区八年级（上）期末数学试卷含答案

这是一份2024-2025学年河南省郑州市二七区、高新区八年级（上）期末数学试卷含答案，共28页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列比3大且比4小的无理数是（ ）
A．B．C．D．3.14
2．（3分）在同一平面内，将直尺、含30°角的三角尺和木工角尺（CD⊥DE）按如图方式摆放，若AB∥CD，则∠1的大小为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
3．（3分）点（3，7）关于x轴的对称点的坐标为（ ）
A．（﹣3，﹣7）B．（3，﹣7）C．（﹣3，7）D．（7，3）
4．（3分）某3D打印社团制作了一根盘龙金箍棒，如图，把金箍棒看成圆柱体，它的底面周长是15cm，龙头部分沿最短路径绕金箍棒盘旋1圈升高8cm，则龙头部分的长为（ ）
A．10cmB．13cmC．14cmD．17cm
5．（3分）下列选项中，y不是x的函数的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（3分）如图是个数值转换器，当输入x的值为9时，则输出y的值是（ ）
A．3B．C．D．﹣3
7．（3分）如图，用雷达图展示小智参与趣味数学活动过程中探索学习、动手操作、沟通合作、创新、问题解决五项能力的分项得分，分别按3：2：1：2：2进行综合评价，他的综合得分为（ ）
A．10B．9C．8D．7
8．（3分）某客运公司规定旅客可以免费携带一定质量的行李，当行李的质量超过规定时，需付的行李费y（元）与行李质量x（kg）之间的函数表达式为y＝kx+b，该函数图象如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．k＞0
B．b＜0
C．旅客最多可免费携带行李10kg
D．当行李的质量超过规定时，超出部分的行李每千克需要加收0.6元
9．（3分）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，若∠A＝60°，则∠D的度数为（ ）
A．100°B．120°C．130°D．150°
10．（3分）元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载了一个驽马先行的问题，其中良马与劣马行走路程s（单位：里）关于行走时间t（单位：日）的函数图象如图所示，下列说法：①劣马比良马早出发12日；②点A表示的实际意义是劣马出发32日时，良马追上劣马；③良马的速度比劣马的速度快80里/日．其中正确的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
二、填空题（本题5个小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）命题“若a2＞b2，则a＞b．”是 命题（填“真”或“假”）．
12．（3分）已知一次函数y＝ax+b的图象如图所示，则关于x的方程ax+b＝0的解是x＝ ．
13．（3分）若方程组的解为，则方程组的解为 ．
14．（3分）如图，四边形ABCD中，∠A＝40°，剪去∠A后，得到一个五边形，则∠1+∠2的度数为 °．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，点D为线段CA上的一个动点，将∠C沿直线DE折叠，使点C的对应点C′落在射线CA上，连接BC′，若Rt△ABC′的某一直角边等于斜边BC′长度的一半时，则CD的长为 ．
三、解答题（本大题共7个小题，满分75分）
16．（9分）计算：．
17．（8分）某校开展趣味数学活动，现从七年级和八年级参与的学生中各随机抽取10名同学的成绩（满分10分）进行整理、描述和分析：
a．如图为这20名学生成绩折线统计图：
b．这20名学生成绩的平均数、中位数、方差如表：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）m＝ ，比较 （填写：＞、＝、＜）；
（2）根据以上数据，你认为在此次趣味数学活动中，哪个年级的成绩更好？请说明理由．
18．（9分）朱仙镇木版年画是中国古老的传统工艺品之一．某文创商店购进如图“马上鞭”和“对花枪”两种木板年画作品，其进价和销售价如表所示：
（1）若文创商店购进两种木板年画作品共130张，正好用去3760元，计算两种木板年画作品分别购进多少张？
（2）该文创商店某次出售两种木板年画作品（两种作品出售张数不为0），正好盈利6元，列出所有的销售方案．
19．（9分）为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列．如图1，表示一辆购物车的尺寸，如图2，表示3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为1.6米．购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运，直立电梯一次性最多能转运12辆购物车；如图3，扶手电梯一次性最多转运购物车时，需要在斜坡AC上预留CD＝0.5m的安全距离．
（1）当x辆购物车按图2的方式叠放时，形成购物车列的长度为y米，则y与x的关系式是 ；
（2）若该超市扶手电梯水平距离BC为4m，高AB为3m，考虑安全距离，求扶手电梯一次性最多能转运的购物车数量，并比较哪种方式一次性转运的购物车数量多．
20．（13分）如图，是由小正方形组成的8×10网格，每个小正方形的顶点叫做格点，建立平面直角坐标系，点A（0，3），B（﹣3，0），C（1，﹣2），根据图形回答下列问题：
（1）点A到x轴的距离为 ，点B到y轴的距离为 ；
（2）连接BC与y轴交于点D，求点D的坐标；
（3）在x轴上找到一点P，使得△ABP为等腰三角形，直接写出点P的坐标．
21．（13分）课本上有很多与方格纸相关的问题，请你来完成（方格纸中每个小方格的边长为1）．
（1）如图1，线段AB的长为3，请以AB为一边，画出一个面积为3的钝角三角形，三角形的顶点均为格点，使得一条边为，则第三边的长为 ；
（2）截取出方格纸的局部如图2，将其剪拼成一个无重叠无缝隙的正方形，请在图2中用实线画出剪切线，在图3中画出拼成的正方形；
（3）截取出方格纸的局部如图4，只剪两刀就可以将其剪拼成一个无重叠无缝隙的正方形，请在图4中用实线画出这两条剪切线．
22．（14分）受自行车尾灯设计的启发某班开展项目式学习，以下是某小组的活动记录．
请你结合活动记录完成以下任务：
（1）①的依据定理是 ，②的依据定理是 ；
（2）③猜想∠β与∠α之间的关系为 ，并说明理由；
（3）∠BCD的度数为 ．
2024-2025学年河南省郑州市二七区、高新区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
一、选择题（本题10个小题，每小题3分，满分30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的。
1．（3分）下列比3大且比4小的无理数是（ ）
A．B．C．D．3.14
【分析】先估算各个选项中的数的大小，再判断是否是无理数，从而进行判断即可．
【解答】解：A．∵，，是有理数，∴此选项不符合题意；
B．∵，且是无理数，∴此选项符合题意，
C．∵，∴此选项不符合题意；
D．∵3＜3.14＜4，是有理数，∴此选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查了实数的大小比较，解题关键是熟练掌握如何估算无理数的大小．
2．（3分）在同一平面内，将直尺、含30°角的三角尺和木工角尺（CD⊥DE）按如图方式摆放，若AB∥CD，则∠1的大小为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
【分析】由平行线的性质推出∠CDB＝∠ABF＝60°，由垂直的定义得到∠CDE＝90°，由平角定义求出∠1＝180°﹣60°﹣90°＝30°．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠CDB＝∠ABF＝60°，
∵CD⊥DE，
∴∠CDE＝90°，
∴∠1＝180°﹣60°﹣90°＝30°．
故选：A．
【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠CDB＝∠ABF．
3．（3分）点（3，7）关于x轴的对称点的坐标为（ ）
A．（﹣3，﹣7）B．（3，﹣7）C．（﹣3，7）D．（7，3）
【分析】根据关于x轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数解答即可．
【解答】解：点（3，7）关于x轴对称的点的坐标为（3，﹣7）．
故选：B．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，掌握点的坐标变化规律是解答本题的关键．
4．（3分）某3D打印社团制作了一根盘龙金箍棒，如图，把金箍棒看成圆柱体，它的底面周长是15cm，龙头部分沿最短路径绕金箍棒盘旋1圈升高8cm，则龙头部分的长为（ ）
A．10cmB．13cmC．14cmD．17cm
【分析】根据题意画出图形，利用圆柱侧面展开图，结合勾股定理求出即可．
【解答】解：如图，则AC＝15cm，BC＝8cm，
AB＝＝＝17（cm），
故选：D．
【点评】此题考查平面展开﹣最短路径问题．正确画出图形是解题关键．
5．（3分）下列选项中，y不是x的函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据函数的定义“如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么y是x的函数”判断即可．
【解答】解：根据函数的定义，A中y不是x的函数，BCD中y是x的函数，
∴A符合题意，BCD不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查函数的概念，掌握函数的定义是解题的关键．
6．（3分）如图是个数值转换器，当输入x的值为9时，则输出y的值是（ ）
A．3B．C．D．﹣3
【分析】根据程序第一步计算，再次计算得，是无理数，直接输出即可．
【解答】解：根据程序第一步计算，
再次计算得，
是无理数，直接输出，
故选：C．
【点评】本题考查算术平方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
7．（3分）如图，用雷达图展示小智参与趣味数学活动过程中探索学习、动手操作、沟通合作、创新、问题解决五项能力的分项得分，分别按3：2：1：2：2进行综合评价，他的综合得分为（ ）
A．10B．9C．8D．7
【分析】根据加权平均数的计算方法即可解答本题．
【解答】解：＝8，
故选：C．
【点评】本题考查了其它统计图加权平均数，解答的关键是明确加权平均数的计算方法．
8．（3分）某客运公司规定旅客可以免费携带一定质量的行李，当行李的质量超过规定时，需付的行李费y（元）与行李质量x（kg）之间的函数表达式为y＝kx+b，该函数图象如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．k＞0
B．b＜0
C．旅客最多可免费携带行李10kg
D．当行李的质量超过规定时，超出部分的行李每千克需要加收0.6元
【分析】利用待定系数法求出一次函数解析式，再逐项判断即可．
【解答】解：由函数图象经过点（40，6），（60，10），可得，
解得，
∴y＝0.2x﹣2，
∴k＞0，故A正确，不符合题意；
b＜0，故B正确，不符合题意；
当行李的质量超过规定时，超出部分的行李每千克需要加收0.2元，故D错误，符合题意；
在y＝0.2x﹣2中，令y＝0得x＝10，
∴旅客最多可免费携带行李10kg，故C正确，不符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是利用了待定系数法求一次函数解析式．
9．（3分）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，若∠A＝60°，则∠D的度数为（ ）
A．100°B．120°C．130°D．150°
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠ACB+∠ABC的度数，再由BD平分∠ABC，CD平分∠ACB得出∠DBC+∠DCB的度数，进而可得出结论．
【解答】解：∵∠A＝60°，
∴∠ACB+∠ABC＝180°﹣60°＝120°，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠DBC+∠DCB＝（∠ACB+∠ABC）＝×120°＝60°，
∴∠D＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝180°﹣60°＝120°．
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解题的关键．
10．（3分）元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载了一个驽马先行的问题，其中良马与劣马行走路程s（单位：里）关于行走时间t（单位：日）的函数图象如图所示，下列说法：①劣马比良马早出发12日；②点A表示的实际意义是劣马出发32日时，良马追上劣马；③良马的速度比劣马的速度快80里/日．其中正确的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【分析】根据函数图象进行一一判断即可．
【解答】解：①由图象可知，劣马从第0日出发，良马从第12日出发．劣马比良马早出发12日，该说法正确；
②由图象可知，当t＝32时，两直线有交点，代表劣马出发32日时，良马追上劣马，该说法正确；
③良马行走4800里用了20日，故速度为4800÷20＝240（里/日），劣马行走4800里用了32日，故速度为4800÷32＝150（里/日）．由此可知，良马的速度比劣马的速度快240﹣150＝90 （里/日），该说法错误．
正确的有：①②，
故选：A．
【点评】本题考查由函数图象获取信息，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
二、填空题（本题5个小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）命题“若a2＞b2，则a＞b．”是 假 命题（填“真”或“假”）．
【分析】根据实数的平方、实数的大小比较、假命题的概念解答即可．
【解答】解：当a＝﹣3，b＝2时，a2＞b2，而a＜b，
故命题“若a2＞b2，则a＞b．”是假命题，
故答案为：假．
【点评】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
12．（3分）已知一次函数y＝ax+b的图象如图所示，则关于x的方程ax+b＝0的解是x＝ 3 ．
【分析】一次函数y＝ax+b的图象与x轴交点横坐标的值即为方程ax+b＝0的解．
【解答】解：∵一次函数y＝ax+b的图象与x轴相交于点（3，0），
∴关于x的方程ax+b＝0的解是x＝3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方程都可以转化为ax+b＝0 （a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y＝ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值．
13．（3分）若方程组的解为，则方程组的解为 ．
【分析】设x+2＝m，y﹣1＝n，则方程组可化为，再根据题意得出，即可求出x、y的值．
【解答】解：设x+2＝m，y﹣1＝n，
则方程组可化为，
∵方程组的解为，
∴，
∴x+2＝5，y﹣1＝﹣2，
∴x＝3，y＝﹣1，
∴方程组的解为，
故答案为：．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，理解题意是解题的关键．
14．（3分）如图，四边形ABCD中，∠A＝40°，剪去∠A后，得到一个五边形，则∠1+∠2的度数为 220 °．
【分析】先根据已知条件和三角形的内角和定理求出∠ANM+∠AMN，再根据邻补角定义求出∠ANM+∠1＝180°，∠AMN+∠2＝180°，再把这两个等式相加，求出答案即可．
【解答】解：∵∠A＝40°，∠A+∠ANM+∠AMN＝180°，
∴∠ANM+∠AMN＝180°﹣40°＝140°，
∵∠ANM+∠1＝180°，∠AMN+∠2＝180°，
∴∠ANM+∠1+∠AMN+∠2＝360°，
∴∠1+∠2＝360°﹣（∠ANM+∠AMN）＝360°﹣140°＝220°，
故答案为：220．
【点评】本题主要考查了多边形的内角与外角，解题关键是熟练掌握三角形内角和定理和邻补角的定义．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，点D为线段CA上的一个动点，将∠C沿直线DE折叠，使点C的对应点C′落在射线CA上，连接BC′，若Rt△ABC′的某一直角边等于斜边BC′长度的一半时，则CD的长为 或 ．
【分析】由翻折得：，分三种情况：①当点C'在边AC上，且（即BC'＝2AC'）时；②当点C'在CA的延长线上，且（即BC'＝2AC'）时；③当点C'在CA的延长线上，且（即BC'＝2AB＝2）时，分别根据勾股定理求出AC'的长，再求出CC'的长即可．
【解答】解：由翻折得：，分三种情况：
①如图1，当点C'在边AC上，且（即BC'＝2AC'）时，∠A＝90°，AB＝AC＝，
∴由勾股定理得：BC'2﹣AC'2＝AB2，即（2AC'）2﹣AC'2＝，
∴AC'＝1，
∴CC'＝﹣1，
∴CD＝；
②当点C′在CA的延长线上，且（即BC'＝2AC'）时，同理得AC'＝1，
∴CC'＝+1，
∴CD＝；
③当点C'在CA的延长线上，且（即时，
由勾股定理得：AC'2＝BC'2﹣AB2，即AC'2＝＝9，
∴AC'＝3，
∴CC'＝+3，
∴CD＝，
∵＝＞0，
∴CD＞AB，
∴此时点D不在边AC上，不合题意，舍去，
综上，当Rt△ABC′的某一直角边等于斜边BC'长度的一半时，CD的长度为或．
故答案为：或．
【点评】本题主要考查翻折变换（折叠问题），勾股定理，等腰直角三角形，灵活运用折叠的性质及勾股定理是解答本题的关键，同时要注意分类思想的运用．
三、解答题（本大题共7个小题，满分75分）
16．（9分）计算：．
【分析】先根据立方根、平方差公式、二次根式的乘除法法则计算，再根据有理数的加减法则计算即可．
【解答】解：
＝﹣3﹣（7﹣3）+
＝﹣3﹣4+3
＝﹣4．
【点评】本题考查了实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
17．（8分）某校开展趣味数学活动，现从七年级和八年级参与的学生中各随机抽取10名同学的成绩（满分10分）进行整理、描述和分析：
a．如图为这20名学生成绩折线统计图：
b．这20名学生成绩的平均数、中位数、方差如表：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）m＝ 7 ，比较 ＞ （填写：＞、＝、＜）；
（2）根据以上数据，你认为在此次趣味数学活动中，哪个年级的成绩更好？请说明理由．
【分析】（1）根据所给折线统计图，得出八年级10名同学的成绩，据此可求出八年级学生成绩的中位数，再结合所给图形发现八年级学生成绩的波动更小即可解决问题．
（2）根据（1）中的数据即可解决问题．
【解答】解：（1）由所给折线统计图可知，
八年级10名同学的成绩为：6，7，8，8，9，6，5，4，7，10．
按从小到大的顺序排列得：4，5，6，6，7，7，8，8，9，10，
所以这组数的中位数为：，
所以m＝7．
由所给折线统计图可知，八年级学生成绩的波动更小，
所以．
故答案为：7，＞．
（2）八年级的成绩更好，理由如下：
由以上数据可知，
八年级10名学生的平均成绩高于七年级的，两个年级10名学生成绩的中位数相等，且八年级10名学生的成绩更稳定，
所以八年级的成绩更好．
【点评】本题主要考查了折线统计图、加权平均数、中位数及方差，熟知中位数及方差的定义是解题的关键．
18．（9分）朱仙镇木版年画是中国古老的传统工艺品之一．某文创商店购进如图“马上鞭”和“对花枪”两种木板年画作品，其进价和销售价如表所示：
（1）若文创商店购进两种木板年画作品共130张，正好用去3760元，计算两种木板年画作品分别购进多少张？
（2）该文创商店某次出售两种木板年画作品（两种作品出售张数不为0），正好盈利6元，列出所有的销售方案．
【分析】（1）设购进“马上鞭”x张，“对花枪”y张．构建方程组求解；
（2）设销售m张“马上鞭”，n张“对花枪”．根据二元一次方程，把问题转化为求整数解问题．
【解答】解：（1）设购进“马上鞭”x张，“对花枪”y张．
由题意，
解得，
答：购进“马上鞭”60张，“对花枪”70张；
（2）设销售m张“马上鞭”，n张“对花枪”．
由题意2m+n＝6，
∵m，n是不为0的整数，
∴或．
∴销售方案：销售1张“马上鞭”，4张“对花枪”或销售2张“马上鞭”，2张“对花枪”．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用，二元一次方程，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程组解决问题．
19．（9分）为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列．如图1，表示一辆购物车的尺寸，如图2，表示3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为1.6米．购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运，直立电梯一次性最多能转运12辆购物车；如图3，扶手电梯一次性最多转运购物车时，需要在斜坡AC上预留CD＝0.5m的安全距离．
（1）当x辆购物车按图2的方式叠放时，形成购物车列的长度为y米，则y与x的关系式是 y＝0.2x+1 ；
（2）若该超市扶手电梯水平距离BC为4m，高AB为3m，考虑安全距离，求扶手电梯一次性最多能转运的购物车数量，并比较哪种方式一次性转运的购物车数量多．
【分析】（1）1辆购物车时长度为1.2m，每增加一辆长度增加0.2m，据此写出y与x的关系式即可；
（2）在Rt△ABC中利用勾股定理求出AC，根据题意列关于x的一元一次不等式并求解，比较x的最大值与12的大小关系即可得出结论．
【解答】解：（1）y＝0.2（x﹣1）+1.2＝0.2x+1，
∴y与x的关系式是y＝0.2x+1．
故答案为：y＝0.2x+1．
（2）在Rt△ABC中利用勾股定理，得AC＝＝＝5（m），
根据题意，得5﹣（0.2x+1）≥0.5，
解得x≤17.5，
∴扶手电梯一次性最多能转运17辆购物车，
∵17＞12，
∴扶手电梯一次性转运的购物车数量多．
【点评】本题考查函数关系式，根据题意写出函数关系式、掌握一元一次不等式的解法是解题的关键．
20．（13分）如图，是由小正方形组成的8×10网格，每个小正方形的顶点叫做格点，建立平面直角坐标系，点A（0，3），B（﹣3，0），C（1，﹣2），根据图形回答下列问题：
（1）点A到x轴的距离为 3 ，点B到y轴的距离为 3 ；
（2）连接BC与y轴交于点D，求点D的坐标；
（3）在x轴上找到一点P，使得△ABP为等腰三角形，直接写出点P的坐标．
【分析】（1）根据点的坐标的几何意义填空即可；
（2）利用相似比求出线段OD长，得到点D坐标即可；
（3）画出符合条件的点P，直接写出点P的坐标即可．
【解答】解：（1）点A到x轴的距离为3，点B到y轴的距离为3；
故答案为：3；3．
（2）如图所示，
，OD＝，
∴D（0，﹣）．
（3）如图所示
P1（﹣3﹣3，0），P2（3﹣3，0），P3（3，0），P4（0，0）．
【点评】本题考查了坐标与图形性质、等腰三角形的判定，熟练掌握以上知识点是关键．
21．（13分）课本上有很多与方格纸相关的问题，请你来完成（方格纸中每个小方格的边长为1）．
（1）如图1，线段AB的长为3，请以AB为一边，画出一个面积为3的钝角三角形，三角形的顶点均为格点，使得一条边为，则第三边的长为 2 ；
（2）截取出方格纸的局部如图2，将其剪拼成一个无重叠无缝隙的正方形，请在图2中用实线画出剪切线，在图3中画出拼成的正方形；
（3）截取出方格纸的局部如图4，只剪两刀就可以将其剪拼成一个无重叠无缝隙的正方形，请在图4中用实线画出这两条剪切线．
【分析】（1）根据题目要求作出ABC即可，利用勾股定理求出BC；
（2）5个小正方形的面积和为5，拼成的正方形的边长为，由此即可解决问题；
（3）截取一个边长为的正方形即可．
【解答】解：（1）如图1中，即为所求，第三边BC的长＝＝2；
故答案为：2；
（2）图形如图2，3即为所求；
（3）图形如图3所示．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，勾股定理，勾股定理的逆定理，图形的拼剪，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22．（14分）受自行车尾灯设计的启发某班开展项目式学习，以下是某小组的活动记录．
请你结合活动记录完成以下任务：
（1）①的依据定理是 等角的余角相等 ，②的依据定理是 三角形的内角和等于180° ；
（2）③猜想∠β与∠α之间的关系为 2α+β＝180° ，并说明理由；
（3）∠BCD的度数为 90°+m°或150° ．
【分析】（1）根据余角性质，三角形内角和性质回答即可；
（2）结合光的反射，得∠EDG＝∠FDG，∠EFG＝∠DFG，得β得，，根据∠DBF+∠DGF＝180°，得2α+β＝180°；
（3）分三种情况画图讨论：①当n＝3时，可得∠BGE＝∠CGH＝60°﹣m°，得出∠FEG＝180°﹣2m°，∠EGH＝60°+2m°，得∠GHK＝120°，∠GHC＝30°，得∠BCD＝90°+m°；②当n＝2时，根据∠GBC＝60°，∠G＝90°，得∠BCD＝150°；③当n＝1时，根据m+m＝180，解得m＝90，不成立．
【解答】解：（1）∵∠1+∠5＝90°，∠2+∠6＝90°，∠3+∠7＝90°，∠4+∠8＝90°，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，（①等角的余角相等），
∵∠α＝90°，∠α+∠2+∠3＝180°（②三角形的内角和等于180°），
∴∠2+∠3＝∠1+∠4＝90°，
∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8＝360°，
∴∠5+∠6+∠7+∠8＝180°．
∴m∥n．
故答案为：等角的余角相等；三角形的内角和等于180°；
（2）如图，DG，FG为法线，则DG⊥AB，FG⊥BC，
∴∠EDG＝∠FDG＝∠EDF，，
在△EDF中，∠EDF+∠EFD＝180°﹣β，
∴，
在△DFG中，，
在四边形DBFG中，
∵∠BDG+∠BFG＝180°，
∴∠DBF+∠DGF＝180°，
∴，
∴2α+β＝180°，
故答案为：2α+β＝180°；
（3）90°+m°或150°．理由如下：
①当n＝3时，
∵∠BEG＝∠1＝m°，
∴∠BGE＝∠CGH＝180°﹣∠B﹣∠BEG＝60°﹣m，
∴∠FEG＝180°﹣2∠1＝180°﹣2m°，∠EGH＝180°﹣2∠BGE＝60°+2m°，
∵EF∥HK，
∴∠FEG+∠EGH+∠GHK＝360°，
∴∠GHK＝360°﹣∠FEG﹣∠EGH＝120°，
∴∠GHC＝30°，
由△GCH内角和，得∠BCD＝180°﹣∠GHC﹣∠CGH＝90°+m°；
②当n＝2时，
如果在BC边反射后与EF平行，
则∠B＝90°，
与题意不符；
则只能在CD边反射后与EF平行，
∵∠GBC＝180°﹣ABC＝60°，
∴∠G＝∠BCD﹣∠GBC＝∠BCD﹣60°，
由EF∥HK，可得∠GEH+∠GHE＝90°，
∴∠G＝90°，
∴∠BCD＝150°；
③当n＝1时，
∵反射光线直接与EF平行，入射光线与平面镜的夹角∠1＝m°，
∴m+m＝180，
解得 m＝90，
此时EF与镜面AB垂直，
这与0＜m＜90矛盾，
n＝1时不成立．
综上所述：∠BCD的度数为90°+m°或150°，
故答案为：90°+m°或150°．
【点评】本题考查了平行线，熟练掌握平行线的性质，三角形内角和定理，角平分线定义，四边形内角和，注意分类讨论，是解决本题的关键．平均数
中位数
方差
七年级
6
7
八年级
7
m
马上鞭
对花枪
进价（元/张）
23
34
售价（元/张）
25
35
探究“进入光线和离开光线夹角与镜子夹角的关系”项目活动记录
项目背景
如图1，两个互相垂直的平面镜（∠α＝90°），根据光的反射定律，入射角等于反射角，即∠5＝∠6，∠7＝∠8，
∵∠1+∠5＝90°，∠2+∠6＝90°，
∠3+∠7＝90°，∠4+∠8＝90°，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，（① ）．
∵∠α＝90°，∠α+∠2+∠3＝180°（② ），
∴∠2+∠3＝∠1+∠4＝90°．∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8＝360°，
∴∠5+∠6+∠7+∠8＝180°．
∴m∥n．
实验探究
如图2，在同一平面内，两块平面镜AB，BC的夹角为∠α（0°＜∠α＜90°）；用一束激光射到平面镜AB上，分别经过平面镜AB，BC两次反射后，进入光线m与离开光线n形成的夹角为∠β；多次调整两块平面镜的夹角，并进行测量记录，得到多组∠α和∠β的值，数据如下：
∠α
10°
30°
50°
70°
∠β
160°
120°
80°
40°
建立模型
根据表中信息，猜想∠β与∠α之间的关系为③ （0°＜∠α＜90°）；由项目背景知，∠1＝∠2，∠3＝∠4，⋯
深入思考
如图3，有三块平面镜AB，BC，CD，镜子AB与BC的夹角∠ABC＝120°，入射光线FE与平面镜AB的夹角∠1＝m°（0＜m＜90），入射光线EF从镜面AB开始反射，经过n（n为正整数，且n≤3）次反射，反射光线与入射光线EF平行时，∠BCD的度数为 （可用含有m的代数式表示）．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
B
D
A
C
C
D
B
A
平均数
中位数
方差
七年级
6
7
八年级
7
m
马上鞭
对花枪
进价（元/张）
23
34
售价（元/张）
25
35
探究“进入光线和离开光线夹角与镜子夹角的关系”项目活动记录
项目背景
如图1，两个互相垂直的平面镜（∠α＝90°），根据光的反射定律，入射角等于反射角，即∠5＝∠6，∠7＝∠8，
∵∠1+∠5＝90°，∠2+∠6＝90°，
∠3+∠7＝90°，∠4+∠8＝90°，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，（① 等角的余角相等 ）．
∵∠α＝90°，∠α+∠2+∠3＝180°（② 三角形的内角和等于180° ），
∴∠2+∠3＝∠1+∠4＝90°．∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8＝360°，
∴∠5+∠6+∠7+∠8＝180°．
∴m∥n．
实验探究
如图2，在同一平面内，两块平面镜AB，BC的夹角为∠α（0°＜∠α＜90°）；用一束激光射到平面镜AB上，分别经过平面镜AB，BC两次反射后，进入光线m与离开光线n形成的夹角为∠β；多次调整两块平面镜的夹角，并进行测量记录，得到多组∠α和∠β的值，数据如下：
∠α
10°
30°
50°
70°
∠β
160°
120°
80°
40°
建立模型
根据表中信息，猜想∠β与∠α之间的关系为③ 2α+β＝180° （0°＜∠α＜90°）；由项目背景知，∠1＝∠2，∠3＝∠4，⋯
深入思考
如图3，有三块平面镜AB，BC，CD，镜子AB与BC的夹角∠ABC＝120°，入射光线FE与平面镜AB的夹角∠1＝m°（0＜m＜90），入射光线EF从镜面AB开始反射，经过n（n为正整数，且n≤3）次反射，反射光线与入射光线EF平行时，∠BCD的度数为 90°+m°或150° （可用含有m的代数式表示）．