西藏自治区拉萨市2025-2026学年高二上学期期末联考数学试题（Word版附解析）

这是一份西藏自治区拉萨市2025-2026学年高二上学期期末联考数学试题（Word版附解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．若3，，27成等差数列，则（ ）
A．9B．15C．D．
2．抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A．B．3C．4D．6
3．如果一个棱长为的正方体的外接球的表面积为，则（ ）
A．B．C．D．
4．设a，b是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列选项中能得出的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
5．圆与圆的位置关系为（ ）
A．外离B．外切C．相交D．内切
6．在正方体中，是的中点，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
7．《九章算术》中有问题：“今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.”意思是说今有蒲第一天长高三尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高为前一天的一半，莞每天长高为前一天的两倍.要使莞的长度大于蒲的长度（蒲与莞原先的长度忽略不计），需要经过的时间最少为（ ）
A．天B．天C．天D．天
8．已知双曲线，斜率为4的直线与双曲线相交于点，，且弦的中点坐标为，则双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．4D．5
二、多选题
9．已知直线与直线之间的距离为，则的值可以是（ ）
A．B．C．D．
10．设椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与交于、两点（不同于左、右顶点），则（ ）
A．B．的离心率为
C．弦的长可能等于D．的周长为
11．如图，是圆锥的底面圆的直径，点是底面圆上异于、的动点，点是母线上一点，已知圆锥的底面半径为，侧面积为，则下列说法正确的是（ ）
A．该圆锥的体积为
B．该圆锥的侧面展开图的圆心角大小为
C．三棱锥的体积的最大值为
D．若，则从点出发绕圆锥侧面一周到达点的最短长度为
三、填空题
12．已知向量，若，则m= .
13．已知直线与圆相交于两点，则 .
14．已知等差数列的前项和为，且，则取得最小值时， .
四、解答题
15．（1）求焦点关于准线的对称点为的抛物线的标准方程；
（2）求与双曲线有相同的渐近线，且过点的双曲线的标准方程.
16．直线经过两直线和的交点.
(1)若直线与直线垂直，求直线的方程；
(2)若直线与圆相切，求直线的方程.
17．在数列中，.
(1)证明：是等差数列；
(2)设，求数列的前项和.
18．如图，在直四棱柱中，四边形是矩形，，点分别为的中点.
(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离；
(3)求二面角的正弦值.
19．已知椭圆的左､右顶点分别为，，且，点是上的一点.
(1)求的方程；
(2)已知点，（，不在轴上）是椭圆上不同的两点.
①求直线，的斜率之积；
②若直线的斜率是直线的斜率的倍，试判断直线是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.
1．B
利用等差中项可得答案.
【详解】若3，，27成等差数列，则，
解得.
故选：B.
2．B
由抛物线定义和方程即可得解.
【详解】由题意知，所以焦点到准线的距离为3.
故选：B.
3．D
求出正方体外接球的半径，根据可求得的值.
【详解】由球的表面积为，得球半径满足，解得，
因此正方体的体对角线，所以.
故选：D.
4．A
根据线线，线面，面面的位置关系，即可判断选项.
【详解】A.若，，，则，那么，故A正确；
B.若，，，则，故B错误；
C.若，，则，或，又，则与有可能垂直，平行，或既不垂直也不平行，故C错误；
D.若，，，则与有可能垂直，平行，或既不垂直也不平行，故D错误.
故选：A
5．A
由圆心距和半径和、差的关系即可判断.
【详解】由题意知，，两圆的半径分别为，，
所以，故两圆外离.
故选：A.
6．D
建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线夹角.
【详解】
如图，以为坐标原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为，则，，，，
所以，，
设异面直线与所成的角为，
则，
故选：D.
7．A
根据题干确定各等比数列，结合等比数列求和公式，列不等式，解不等式即可.
【详解】由题意，蒲第一天长高尺，以后蒲每天长高为前一天的一半，
所以蒲每天生长的高构成首项为，公比为的等比数列，
其前项和，
又由莞第一天长高尺，以后每天长高为前一天的两倍，
所以莞每天生长的高构成首项为，公比为的等比数列，
其前项和，令，
解得或，
因为，所以，
故选：A.
8．B
根据点差法求出关系，即可求解.
【详解】设，，
则，①；，②，
①-②得，
则
弦中点坐标为
直线的斜率为 ，即,
则.
故选：B.
9．BC
根据平行线间距离公式列方程，解方程即可.
【详解】由题意可知，所以与间的距离，
解得或.
故选：BC
10．AB
求出、、的值，可判断A选项；利用椭圆的离心率公式可判断B选项；求得，可判断C选项；利用椭圆的定义可判断D选项.
【详解】对于A选项，在椭圆中，，，，
所以，A对；
对于B选项，椭圆的离心率为，B对；
对于C选项，，弦的长不可能等于，C错；
对于D选项，的周长为，D错.
故选：AB.
11．BCD
利用扇形的侧面积公式求出圆锥的母线长，进而得出其高，结合锥体的体积公式可判断A选项；根据扇形的弧长公式可判断B选项；求出面积的最大值，结合锥体的体积公式可判断C选项；将圆锥沿着展开，结合勾股定理可判断D选项.
【详解】对于A选项，设圆锥的母线长、底面半径、高分别为、、，
由题知，圆锥的侧面积，所以，圆锥高，
故该圆锥的体积为，A错；
对于B选项，侧面展开图弧长，圆心角，B对；
对于C选项，由圆的几何性质可知，由勾股定理可得，
由基本不等式可得，故，
当且仅当，即当时，等号成立，
此时，故，C对；
对于D选项，由B选项知，侧面展开图扇形圆心角，
点在上且，则，
展开后的扇形中，与（对应底面同一点）的圆心角为，
最短路径为线段，且，D对.
故选：BCD.
12．
由空间向量垂直的条件求解.
【详解】由，得 解得
故答案为：
13．
求出圆心、半径及圆心到直线的距离，再利用圆的弦长公式计算得解.
【详解】圆的圆心，半径，
圆心到直线的距离，
所以.
故答案为：
14．9
根据等差数列的性质推出，，即可得解.
【详解】由，得，
又，所以，即，
所以，即等差数列前9项为负，从第10项开始为正，
所以前9项和最小。即当取得最小值时，.
故答案为：9
15．（1）；（2）.
（1）由题意知在轴上，设所求抛物线方程为，根据两点关于直线对称求出的值，即可得出抛物线的标准方程；
（2）设所求双曲线的方程为，将点的坐标代入所求双曲线的方程，求出的值，即可得出所求双曲线的标准方程.
【详解】（1）由题意知在轴上，故设所求抛物线方程为，
所以，准线方程为，
因为关于直线的对称点为，所以，
解得，故所求抛物线的标准方程为.
（2）设所求双曲线的方程为，
将点代入上述方程，得，
所以双曲线的方程为，故所求双曲线的方程为.
16．(1)
(2)或
（1）求出直线、的交点坐标，求出直线的斜率，可得出直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程；
（2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，直接验证即可；在直线的斜率存在时，设直线的方程为，利用圆心到直线的距离等于圆的半径，可求出的值，综合可得出直线的方程.
【详解】（1）联立两直线和的方程，解得，，即交点坐标为，
直线的斜率为，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，即.
（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，圆心到直线的距离，符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
根据题意得：圆心到直线的距离，解得，
所以直线的方程为，即.
综上，直线的方程为或.
17．(1)证明见解析
(2)
(1)利用等差数列的定义即可证明；
(2)由（1）先写出数列的通项，即得数列的通项公式，利用裂项相消法求和即可.
【详解】（1）因为，所以，即，
所以数列是公差为1的等差数列.
（2）因为数列是公差为1的等差数列，，所以，
所以于是
设数列的前项和为，
则.
18．(1)证明见解析
(2)
(3).
（1）先建立空间直角坐标系，写出直线的方向向量，并求出平面的法向量，从而证明线面平行；
（2）用点到面的距离公式，求出点到面的距离；
（3）先求出两平面夹角的余弦，再用同角三角函数的关系，求出二面角的正弦值.
【详解】（1）证明：以为坐标原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则.
设平面的一个法向量为，又，
，所以
令，解得，所以平面的一个法向量为，
又，所以，
又平面，所以平面.
（2）由（1）知.
设平面的一个法向量为，所以
令，解得，所以平面的一个法向量为，
所以点到平面的距离，
即点到平面的距离为.
（3）由（1）知平面的一个法向量为，由（2）知平面的一个法向量为，
设二面角的大小为，
又
所以，
即二面角的正弦值为.
19．(1)
(2)①；②直线恒过点.
【详解】（1）由，得，解得，
又过点，所以，解得，
所以的方程为；
（2）①由题意，得，，
设，由在椭圆上，得，即，
所以，
即直线，的斜率之积为；
②设，
若直线的斜率为，则，关于轴对称，
所以，
又直线的斜率是直线的斜率的倍，
所以，即，
由，不在轴上，得，，与矛盾，
所以直线的斜率不为；
设直线的方程为，
由，得，
所以，
且，，
由①知，又，
所以，
所以，
即，
化简得，
将，代入上式并化简，
得，
即，解得（舍）或，
此时满足，