2023年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷（Word版附解析）

这是一份2023年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷（Word版附解析），共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）﹣2的绝对值是（ ）
A．2B．-12C．12D．﹣2
2．（3分）如图，直角三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上．若∠1＝68°，则∠2的度数是（ ）
A．30°B．32°C．22°D．68°
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．3+2=32B．（a2）3＝a5C．(-7)2=-7D．4a2•a＝4a3
4．（3分）如图是某几何体的三视图，则这个几何体是（ ）
A．B．C．D．
5．（3分）若代数式1x-2在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≤2B．x＞2C．x≥2D．x＜2
6．（3分）在同一直角坐标系中，函数y＝﹣kx+k与y=kx(k≠0)的大致图象可能为（ ）
A．B．C．D．
7．（3分）如图，矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN分别交AD，BC于点M，N．若AM＝1，BN＝2，则BD的长为（ ）
A．23B．3C．25D．32
8．（3分）如图所示的两张图片形状大小完全相同，把两张图片全部从中间剪断，再把四张形状大小相同的小图片混合在一起．从四张图片中随机摸取一张，不放回，接着再随机摸取一张，则这两张小图片恰好合成一张完整图片的概率是（ ）
A．12B．13C．14D．16
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，AC=42，点P为AC边上的中点，PM交AB的延长线于点M，PN交BC的延长线于点N，且PM⊥PN．若BM＝1，则△PMN的面积为（ ）
A．13B．13C．8D．132
10．（3分）关于x的二次函数y＝mx2﹣6mx﹣5（m≠0）的结论：
①对于任意实数a，都有x1＝3+a对应的函数值与x2＝3﹣a对应的函数值相等．
②若图象过点A（x1，y1），点B（x2，y2），点C（2，﹣13），则当x1＞x2＞92时，y1-y2x1-x2＜0．
③若3≤x≤6，对应的y的整数值有4个，则-49＜m≤-13或13≤m＜49．
④当m＞0且n≤x≤3时，﹣14≤y≤n2+1，则n＝1．
其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分．本题要求把正确结果填在答题卡规定的横线上，不需要解答过程）
11．（3分）分解因式2b3﹣4b2+2b＝ ．
12．（3分）圆锥的高为22，母线长为3，沿一条母线将其侧面展开，展开图（扇形）的圆心角是 度，该圆锥的侧面积是 （结果用含π的式子表示）．
13．（3分）某乳业公司要出口一批规格为500克/罐的奶粉，现有甲、乙两个厂家提供货源，它们的价格相同，品质也相近．质检员从两厂的产品中各随机抽取15罐进行检测，测得它们的平均质量均为500克，质量的折线统计图如图所示，观察图形，甲、乙两个厂家分别提供的15罐奶粉质量的方差s甲2 s乙2．（填“＞”或“＝”或“＜”）
14．（3分）如图，△ABC内接于⊙O且∠ACB＝90°，弦CD平分∠ACB，连接AD，BD．若AB＝5，AC＝4，则BD＝ ，CD＝ ．
15．（3分）甲、乙两船从相距150km的A，B两地同时匀速沿江出发相向而行，甲船从A地顺流航行90km时与从B地逆流航行的乙船相遇．甲、乙两船在静水中的航速均为30km/h，则江水的流速为 km/h．
16．（3分）如图，正方形ABCD的边长为25，点E是CD的中点，BE与AC交于点M，F是AD上一点，连接BF分别交AC，AE于点G，H，且BF⊥AE，连接MH，则AH＝ ，MH＝ ．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）（1）计算：|5-3|+（12）﹣1-20+3cs30°；
（2）解不等式组：-3(x-2)≥4-x1+2x3＞x-1．
18．（7分）如图所示，小明上学途中要经过A，B两地，由于A，B两地之间有一片草坪，所以需要走路线AC，CB．小明想知道A，B两地间的距离，测得AC＝50m，∠A＝45°，∠B＝40°，请帮小明求出两地间距离AB的长．（结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可）
19．（10分）3月21日是国际森林日．某中学为了推动学生探索森林文化，进行自然教育，开展了“森林——地球之肺”相关知识的测试活动．测试结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分成A，B，C，D，E五个等级，并绘制了如图不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题：
（1）本次调查一共随机抽取了 名学生的成绩，频数分布直方图中m＝ ；补全学生成绩频数分布直方图；
（2）所抽取学生成绩的中位数落在 等级；
（3）若成绩在60分及60分以上为合格，全校共有920名学生，估计成绩合格的学生有多少名？
20．（7分）如图，四边形ABCD是平行四边形，连接AC，BD交于点O，DE平分∠ADB交AC于点E，BF平分∠CBD交AC于点F，连接BE，DF．
（1）求证：∠1＝∠2；
（2）若四边形ABCD是菱形且AB＝2，∠ABC＝120°，求四边形BEDF的面积．
21．（7分）如图，在平面直角坐标系中，正六边形ABCDEF的对称中心P在反比例函数y1=kx（k＞0，x＞0）的图象上，边AB在x轴上，点F在y轴上，已知AB＝23．
（1）判断点E是否在该反比例函数的图象上，请说明理由；
（2）求出直线EP：y2＝ax+b（a≠0）的解析式，并根据图象直接写出当x＞0时，不等式ax+b＞kx的解集．
22．（9分）学校通过劳动教育促进学生树德、增智、强体、育美全面发展，计划组织八年级学生到“开心”农场开展劳动实践活动．到达农场后分组进行劳动，若每位老师带38名学生，则还剩6名学生没老师带；若每位老师带40名学生，则有一位老师少带6名学生．劳动实践结束后，学校在租车总费用2300元的限额内，租用汽车送师生返校，每辆车上至少要有1名老师．现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如表所示：
（1）参加本次实践活动的老师和学生各有多少名？
（2）租车返校时，既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少有1名老师，则共需租车 辆；
（3）学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？
23．（10分）已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，以边AC为直径作⊙O，与AB边交于点D，点M为边BC的中点，连接DM．
（1）求证：DM是⊙O的切线；
（2）点P为直线BC上任意一动点，连接AP交⊙O于点Q，连接CQ．
①当tan∠BAP=13时，求BP的长；
②求CQAP的最大值．
24．（12分）探究函数y＝﹣2|x|2+4|x|的图象和性质，探究过程如下：
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
其中，m＝ .根据如表数据，在图1所示的平面直角坐标系中，通过描点画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．观察图象，写出该函数的一条性质；
（2）点F是函数y＝﹣2|x|2+4|x|图象上的一动点，点A（2，0），点B（﹣2，0），当S△FAB＝3时，请直接写出所有满足条件的点F的坐标；
（3）在图2中，当x在一切实数范围内时，抛物线y＝﹣2x2+4x交x轴于O，A两点（点O在点A的左边），点P是点Q（1，0）关于抛物线顶点的对称点，不平行y轴的直线l分别交线段OP，AP（不含端点）于M，N两点．当直线l与抛物线只有一个公共点时，PM与PN的和是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．
2023年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．【2023·呼和浩特1】﹣2的绝对值是（ ）
A．2B．-12C．12D．﹣2
【答案】A
2．【2023·呼和浩特2题】如图，直角三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上．若∠1＝68°，则∠2的度数是（ ）
A．30°B．32°C．22°D．68°
【答案】C
3．【2023·呼和浩特3题】下列运算正确的是（ ）
A．3+2=32B．（a2）3＝a5C．(-7)2=-7D．4a2•a＝4a3
【答案】D
4．【2023·呼和浩特4题】如图是某几何体的三视图，则这个几何体是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
5．【2023·呼和浩特5题】若代数式1x-2在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≤2B．x＞2C．x≥2D．x＜2
【答案】B
6．【2023·呼和浩特6题】在同一直角坐标系中，函数y＝﹣kx+k与y=kx(k≠0)的大致图象可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
7．【2023·呼和浩特7题】如图，矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN分别交AD，BC于点M，N．若AM＝1，BN＝2，则BD的长为（ ）
A．23B．3C．25D．32
A【解析】由题意，连接BM，记BD与MN交于点O．
∵线段MN垂直平分BD，∴BO＝DO，BM＝DM．
∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC．∴∠MDO＝∠NBO．
又∠DOM＝∠BON，∴△DMO≌△BNO（ASA）．∴DM＝BN＝BM＝2．
在Rt△BAM中，∴AB=BM2-AM2=3．∴在Rt△BAD中可得，BD=AB2+AD2=23．
故选：A．
8．【2023·呼和浩特8题】如图所示的两张图片形状大小完全相同，把两张图片全部从中间剪断，再把四张形状大小相同的小图片混合在一起．从四张图片中随机摸取一张，不放回，接着再随机摸取一张，则这两张小图片恰好合成一张完整图片的概率是（ ）
A．12B．13C．14D．16
【答案】B
9．【2023·呼和浩特9题】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，AC=42，点P为AC边上的中点，PM交AB的延长线于点M，PN交BC的延长线于点N，且PM⊥PN．若BM＝1，则△PMN的面积为（ ）
A．13B．13C．8D．132
D 【解析】如图连接BP．
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∵AB＝BC，点P为AC边上的中点，
∴BP⊥AC，∠CBP＝∠ABP=12∠ABC＝45°，∠BCA＝45°，BP＝CP=12AC＝22．
∴∠MBP＝∠NCP＝180°﹣45°＝135°．
∵BP⊥AC，PM⊥PN，∴∠BPM+∠MPC＝90°，∠CPN+∠MPC＝90°．∴∠BPM＝∠CPN．
又BP＝CP，∠MBP＝∠NCP，∴△BMP≌△CNP（ASA）．∴BM＝CN＝1，MP＝NP．
在Rt△BPC中，BC=BP2+CP2=4．
∴在Rt△MBN中，MN=BM2+BN2=12+52=26．
又在Rt△MPN中，MP＝NP，∴MP2+NP2＝MN2．∴MP＝NP=13．
∴S△PMN=12MP•NP=132．故选：D．
10．【2023·呼和浩特10题】关于x的二次函数y＝mx2﹣6mx﹣5（m≠0）的结论：
①对于任意实数a，都有x1＝3+a对应的函数值与x2＝3﹣a对应的函数值相等．
②若图象过点A（x1，y1），点B（x2，y2），点C（2，﹣13），则当x1＞x2＞92时，y1-y2x1-x2＜0．
③若3≤x≤6，对应的y的整数值有4个，则-49＜m≤-13或13≤m＜49．
④当m＞0且n≤x≤3时，﹣14≤y≤n2+1，则n＝1．
其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
B【解析】①二次函数y＝mx2﹣6mx﹣5的对称轴为x=--6m2m=3，
∵x1＝3+a和x2＝3﹣a关于直线x＝3对称，
∴对于任意实数a，都有x1＝3+a对应的函数值与x2＝3﹣a对应的函数值相等，∴①符合题意；
②将点C（2，﹣13）代入y＝mx2﹣6mx﹣5，得﹣13＝4m﹣12m﹣5，解得m＝1．
∴函数的解析式为y＝x2﹣6x﹣5，
当x＞3时，y随x的增大而增大．∴当x1＞x2＞92时，y1＞y2，∴y1-y2x1-x2＞0．∴②不符合题意；
③∵y＝mx2﹣6mx﹣5＝m（x﹣3）2﹣5﹣9m，∴抛物线的对称轴为直线x＝3，
当x＝3时，y＝﹣5﹣9m，当x＝6时，y＝﹣5，
∵若3≤x≤6，对应的y的整数值有4个，
∴若m＞0，当3≤x≤6时，y随着x的增大而增大，则﹣9＜﹣5﹣9m≤﹣8，∴13≤m＜49；
若m＜0，当3≤x≤6时，y随着x的增大而减小，则﹣2≤﹣5﹣9m＜﹣1，
∴-49＜m≤-13；∴-49＜m≤-13或13≤m＜49．∴③符合题意；
④当m＞0且n≤x≤3时，y随着x的增大而减小，
∵﹣14≤y≤n2+1，∴﹣5﹣9m＝﹣14，解得：m＝1，∴n2﹣6n﹣5＝n2+1，解得：n＝﹣1，∴④不符合题意；
综上所述，正确结论有①③，共2个．故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分．本题要求把正确结果填在答题卡规定的横线上，不需要解答过程）
11．【2023·呼和浩特11题】分解因式2b3﹣4b2+2b＝ ．
11.2b（b﹣1）2
12．【2023·呼和浩特12题】圆锥的高为22，母线长为3，沿一条母线将其侧面展开，展开图（扇形）的圆心角是 度，该圆锥的侧面积是 （结果用含π的式子表示）．
12.120 3π【解析】∵圆锥的高为22，母线长为3，∴圆锥底面圆的半径为32-(22)2=1，
∴圆锥底面圆的周长为2π．
设展开图（扇形）的圆心角是n°，依题意得2π=nπ×3180，解得n＝120°，圆锥的侧面积是120π×32360=3π．
13．【2023·呼和浩特13题】某乳业公司要出口一批规格为500克/罐的奶粉，现有甲、乙两个厂家提供货源，它们的价格相同，品质也相近．质检员从两厂的产品中各随机抽取15罐进行检测，测得它们的平均质量均为500克，质量的折线统计图如图所示，观察图形，甲、乙两个厂家分别提供的15罐奶粉质量的方差s甲2 ＜ s乙2．（填“＞”或“＝”或“＜”）
13.＜
14．【2023·呼和浩特14题】如图，△ABC内接于⊙O且∠ACB＝90°，弦CD平分∠ACB，连接AD，BD．若AB＝5，AC＝4，则BD＝ ，CD＝ ．
522 722【解析】∵△ABC内接于⊙O且∠ACB＝90°，∴AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，∴∠DAC+∠DBC＝180°.
∵弦CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝45°，∴AD＝BD.
∵AB＝5，AC＝4，∴CB＝3，AD＝BD=522，
∴如图把△ACD绕D逆时针旋转90°得到△DBE，∴∠DBE＝∠DAC，BE＝AC，
∴∠DBC+∠DBE＝180°，∴C、B、E三点共线，∴△DCE为等腰直角三角形，
∴CE＝AC+BC＝7，∴CD＝DE=722．
15．【2023·呼和浩特15题】甲、乙两船从相距150km的A，B两地同时匀速沿江出发相向而行，甲船从A地顺流航行90km时与从B地逆流航行的乙船相遇．甲、乙两船在静水中的航速均为30km/h，则江水的流速为 km/h．
15.6
16．【2023·呼和浩特16题】如图，正方形ABCD的边长为25，点E是CD的中点，BE与AC交于点M，F是AD上一点，连接BF分别交AC，AE于点G，H，且BF⊥AE，连接MH，则AH＝ ，MH＝ ．
16. 2 2133【解析】∵四边形ABCD为正方形，且边长为25，
∴AB＝BC＝CD＝DA=25，∠BAD＝∠D＝90°，AB∥CD.
∵点E为CD的中点，∴DE＝CE=5.
在Rt△ADE中，AD=25，DE=5，
由勾股定理得AE=AD2+DE2=5.
∵∠BAD＝90°，BF⊥AE，∴∠BAH+∠DAE＝90°，∠ABF+∠BAH＝90°，∴∠DAE＝∠ABF.
在△DAE和△ABF中，∠D=∠BAF=90°AD=AB∠DAE=∠ABF，∴△DAE≌△ABF（SAS），∴DE＝AF=5，AE＝BF＝5.
∵BF⊥AE，∠D＝90°，∴∠AHF＝∠D＝90°.
又∠HAF＝∠DAE，∴△AFH∽△ADE，∴AH：AD＝AF：AE，即AH：25=5：5，∴AH＝2．
过点M作MN⊥AE于点N，如图：
在△ADE和△BCE中，AD=BC∠D=∠BCE=90°DE=CE，∴△ADE≌△BCE（SAS），
∴AE＝BE＝5，∴EH＝AE﹣AH＝5﹣2＝3.
在Rt△AHB中，AB=25，AH＝2.由勾股定理得：BH=AB2-AH2=4.
∵AB∥CD，∴△MEC∽△MBA，∴ME：MB＝CE：AB，即ME：MB=5：25，
∴ME：MB＝1：2，∴ME：EB＝1：3.
∵BF⊥AE，MN⊥AE，∴MN∥BH，∴△MNE∽△BHE，
∴MN：BH＝EN：EH＝ME：EB，∴MN：4＝EN：3＝1：3，∴MN=43，EN＝1，∴HN＝EH﹣EN＝3﹣1＝2.
在Rt△MHN中，MN=43，HN＝2，由勾股定理得：MH=MN2+HN2=2133．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．【2023·呼和浩特17题】（1）计算：|5-3|+（12）﹣1-20+3cs30°；
（2）解不等式组：-3(x-2)≥4-x1+2x3＞x-1．
解：（1）原式＝3-5+2﹣25+3×32＝3-5+2﹣25+32=132-35.
（2）解第一个不等式得x≤1，解第二个不等式得x＜4，则该不等式组的解集为x≤1．
18．【2023·呼和浩特18题】如图所示，小明上学途中要经过A，B两地，由于A，B两地之间有一片草坪，所以需要走路线AC，CB．小明想知道A，B两地间的距离，测得AC＝50m，∠A＝45°，∠B＝40°，请帮小明求出两地间距离AB的长．（结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可）
解：过C作CH⊥AB于H，如图：
在Rt△ACH中，∠A＝45°，AC＝50m，
∴AH＝AC•csA＝50×22=252（m），CH＝AC•sinA＝50×22=252（m），
在Rt△BCH中，∠B＝40°，CH＝252m，∴BH=CHtan40°=252tan40°，
∴AB＝AH+BH＝（252+252tan40°）m，∴两地间距离AB的长为（252+252tan40°）m．
19．【2023·呼和浩特19题】3月21日是国际森林日．某中学为了推动学生探索森林文化，进行自然教育，开展了“森林——地球之肺”相关知识的测试活动．测试结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分成A，B，C，D，E五个等级，并绘制了如图不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题：
（1）本次调查一共随机抽取了 名学生的成绩，频数分布直方图中m＝ ；补全学生成绩频数分布直方图；
（2）所抽取学生成绩的中位数落在 等级；
（3）若成绩在60分及60分以上为合格，全校共有920名学生，估计成绩合格的学生有多少名？
解：（1）40 7
补全学生成绩频数分布直方图如图所示：

【解析】由频数分布直方图得：等级C有6人，
由扇形统计图得：等级C占15%，∴6÷15%＝40．∴本次调查一共随机抽取了40名学生的成绩，
由扇形统计图得：等级D占17.5%，等级B占32.5%，
∴等级D得人数m＝40×17.5＝7（人），等级B的人数为：40×32.5%＝13（人），
（2）B【解析】∵等级A是11人，等级B是13人，等级C是6人，等级D是7人，等级E是3人，
∴所抽取学生成绩的中位数落在B等级.
（3）∵抽取的40名学生的成绩中，60分及60分以上的人数为：40﹣3＝37（人），∴920×3740=851（人）．
答：估计成绩合格的学生有851人．
20．【2023·呼和浩特20题】如图，四边形ABCD是平行四边形，连接AC，BD交于点O，DE平分∠ADB交AC于点E，BF平分∠CBD交AC于点F，连接BE，DF．
（1）求证：∠1＝∠2；
（2）若四边形ABCD是菱形且AB＝2，∠ABC＝120°，求四边形BEDF的面积．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OD＝OB，∴∠ADO＝∠CBO.
∵DE平分∠ADB，BF平分∠CBD，∴∠ODE=12∠ADO，∠OBF=12∠CBO，
∴∠ODE＝∠OBF，∴DE∥BF.
∵OD＝OB，∠DOE＝∠BOF，∴△ODE≌△OBF（ASA），
∴DE＝BF，∴四边形DEBF是平行四边形，∴BE∥DF，∴∠1＝∠2．
（2）解：由（1）知△ODE≌△OBF（ASA），∴OE＝OF.
∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥EF，OD＝OB，AD∥BC，
∴四边形DEBF的菱形.
∵AD∥BC，∠ABC＝120°，∴∠BAD+∠ABC＝180°.
∵∠ABC＝120°，∴∠BAD＝60°.
∵AD＝AB，∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB＝2，∠ADO＝60°，∴OD=12BD＝1.
∵∠ODE=12∠ADO＝30°，∴OE=33OD=33，∴EF＝2OE=233，
∴四边形BEDF的面积=12BD•EF=12×2×233=233．
21．【2023·呼和浩特21题】如图，在平面直角坐标系中，正六边形ABCDEF的对称中心P在反比例函数y1=kx（k＞0，x＞0）的图象上，边AB在x轴上，点F在y轴上，已知AB＝23．
（1）判断点E是否在该反比例函数的图象上，请说明理由；
（2）求出直线EP：y2＝ax+b（a≠0）的解析式，并根据图象直接写出当x＞0时，不等式ax+b＞kx的解集．
解：（1）点E在该反比例函数的图象上．理由如下：
如图，连接PA，PF，
∵正六边形ABCDEF的边长AB＝23，点P是正六边形ABCDEF的对称中心，
∴AF＝AB＝EF＝23，∠AFE＝∠BAF＝∠ABC＝120°，
∴∠FAO＝∠ABP＝∠APF＝∠EPF＝60°，∠AFO＝30°，
∴△ABP，△AFP，△EFP均为等边三角形，
∴OA＝AF•cs∠FAO＝23cs60°＝23×12=3，OF＝AF•sin∠FAO＝23sin60°＝23×32=3，
∴A（3，0），F（0，3），∴B（33，0），∴P（23，3），E（3，6）.
∵点P在反比例函数y1=kx的图象上，∴k＝23×3＝63，∴该反比例函数的解析式为y=63x.
当x=3时，y=633=6，∴点E在该反比例函数的图象上.
（2）将P（23，3），E（3，6）分别代入y2＝ax+b，得23a+b=33a+b=6，解得a=-3b=9，
∴直线EP的解析式为y2=-3x+9.
观察图象可得：在第一象限内，当直线EP：y2=-3x+9位于双曲线y=63x上方时，3＜x＜23，
∴不等式ax+b＞kx的解集为3＜x＜23．
22．【2023·呼和浩特22题】学校通过劳动教育促进学生树德、增智、强体、育美全面发展，计划组织八年级学生到“开心”农场开展劳动实践活动．到达农场后分组进行劳动，若每位老师带38名学生，则还剩6名学生没老师带；若每位老师带40名学生，则有一位老师少带6名学生．劳动实践结束后，学校在租车总费用2300元的限额内，租用汽车送师生返校，每辆车上至少要有1名老师．现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如表所示：
（1）参加本次实践活动的老师和学生各有多少名？
（2）租车返校时，既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少有1名老师，则共需租车 辆；
（3）学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？
解：（1）设老师有x名，学生有y名，根据题意，列方程组为38x+6=y40x-6=y，解得x=6y=234，
答：老师有6名，学生有234名．
（2）6【解析】∵每辆车上至少有1名老师，∴汽车总数不能大于6辆.
∵要保证240名师生有车坐，汽车总数不能少于24045（取整数6）辆，
综合可知汽车总数为6辆．
（3）设租用甲客车x辆，则租车费用y（元）是x的函数，即y＝400x+280（6﹣x），
整理得y＝120x+1680.
∵学校在租车总费用2300元的限额内，租用汽车送师生返校，
∴120x+1680≤2300，∴x≤316，即x≤5．
要保证240人有车坐，x不能小于4，所以有两种租车方案：
方案一：租4辆甲种客车，2辆乙种客车；
方案二：租5辆甲种客车，1辆乙种客车.
∵y随x的增大而增大，∴当x＝4时，y最小，y＝120×4+1680＝2160．
答：学校共有两套租车方案，最少费用为2160元.
23．【2023·呼和浩特23题】已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，以边AC为直径作⊙O，与AB边交于点D，点M为边BC的中点，连接DM．
（1）求证：DM是⊙O的切线；
（2）点P为直线BC上任意一动点，连接AP交⊙O于点Q，连接CQ．
①当tan∠BAP=13时，求BP的长；
②求CQAP的最大值．
【分析】（1）连接OD，CD，由AC是⊙O的直径，可得∠ADC＝90°，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得MC＝MD，根据等腰三角形性质可得∠MDC＝∠MCD，进而可得∠MDC+ODC＝∠MCD+∠OCD＝90°，即∠ODM＝90°，再利用切线的判定定理即可证得结论；
（2）①分两种情况：当点P在线段BC上时，过点P作PT⊥AB于点T，利用勾股定理和解直角三角形即可求得答案；当点P在CB的延长线上时，过点B作BK⊥AP于点K，运用勾股定理和解直角三角形即可；
②设CP＝n，则AP=AC2+CP2=64+n2，利用面积法可得CQ•AP＝AC•CP，得出CQ=AC⋅CPAP=8n64+n2，即CQAP=8n64+n2，再运用乘法公式和不等式性质可得64+n2≥16n，即可得出答案．
（1）证明：如图，连接OD，CD，
∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠BDC＝180°﹣∠ADC＝90°.
∵点M为边BC的中点，∴MC＝MD，∴∠MDC＝∠MCD，
∵OC＝OD，∴∠ODC＝∠OCD，
∵∠ACB＝90°，即∠MCD+∠OCD＝90°，
∴∠MDC+ODC＝∠MCD+∠OCD＝90°，即∠ODM＝90°，∴DM⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，∴DM是⊙O的切线.
（2）①当点P在线段BC上时，如图，过点P作PT⊥AB于点T，
在Rt△ABC中，AB=AC2+BC2=82++62=10，
设PT＝x，∵tan∠BAP=13，∴PTAT=13，
∴AT＝3PT＝3x，∴BT＝AB﹣AT＝10﹣3x，
∵tan∠ABC=PTBT=ACBC，∴x10-3x=86，解得：x=83，∴PT=83，
∵sin∠ABC=PTBP=ACAB，即83BP=810，∴BP=103；
当点P在CB的延长线上时，如图，过点B作BK⊥AP于点K，
∵tan∠BAP=13，∴BKAK=13，
设BK＝a，则AK＝3a.
在Rt△ABK中，AK2+BK2＝AB2，即（3a）2+a2＝102，
解得：a1=10，a2=-10（舍去），∴AK＝310，BK=10.
∵S△ABP=12AP•BK=12BP•AC，∴APBP=ACBK=810.
设BP＝m，则AP=4105m，在Rt△ACP中，AC2+CP2＝AP2，
即82+（m+6）2＝（4105m）2，解得m1=509，m2=-103（舍去），∴BP=509；
综上所述，BP的长为103或509.
②设CP＝n，则AP=AC2+CP2=64+n2，
如图，∵AC是⊙O的直径，∴CQ⊥AP，
∵CQ•AP＝AC•CP，∴CQ=AC⋅CPAP=8n64+n2，∴CQAP=8n64+n2，
∵n＞0，∴（n﹣8）2≥0，∴64+n2≥16n，
∴CQAP=8n64+n2≤8n16n=12，∴CQAP的最大值为12．
24．【2023·呼和浩特24题】探究函数y＝﹣2|x|2+4|x|的图象和性质，探究过程如下：
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
其中，m＝ .根据如表数据，在图1所示的平面直角坐标系中，通过描点画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．观察图象，写出该函数的一条性质；
（2）点F是函数y＝﹣2|x|2+4|x|图象上的一动点，点A（2，0），点B（﹣2，0），当S△FAB＝3时，请直接写出所有满足条件的点F的坐标；
（3）在图2中，当x在一切实数范围内时，抛物线y＝﹣2x2+4x交x轴于O，A两点（点O在点A的左边），点P是点Q（1，0）关于抛物线顶点的对称点，不平行y轴的直线l分别交线段OP，AP（不含端点）于M，N两点．当直线l与抛物线只有一个公共点时，PM与PN的和是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．
【分析】（1）把x＝﹣1代入y＝﹣2|x|2+4|x|即可求得m＝2，运用描点法画出y＝﹣2|x|2+4|x|（x＜0）部分的图象，观察图象描述性质即可；
（2）当x＜0时，y＝﹣2x2﹣4x，当x≥0时，y＝﹣2x2+4x，根据S△FAB＝3，可求得点F的纵坐标，代入解析式解方程即可；
（3）利用待定系数法可得：直线OP的表达式为y＝4x①，直线AP的表达式为y＝﹣4x+8②，由直线l与抛物线只有一个公共点，可得直线l的表达式为y＝tx+18（t﹣4）2③，联立方程组可求得：xM=-18（t﹣4），xN=-18（t﹣12），再运用解直角三角形即可求得答案．
解：（1）2【解析】当x＝﹣1时，y＝﹣2×（﹣1）2+4×|﹣1|＝2，∴m＝2，
函数图象如图所示：
由图象可得该函数的性质：该函数关于y轴对称；当x＜﹣1或0≤x＜1时，y随x的增大而增大；当﹣1≤x＜0或x≥1时，y随x的增大而减小.
（2）当x＜0时，y＝﹣2x2﹣4x，
当x≥0时，y＝﹣2x2+4x，∵A（2，0），B（﹣2，0），∴AB＝4，
∵S△FAB＝3，∴12×4|yF|＝3，∴yF＝±32，
当yF=32时，若x＜0，则﹣2x2﹣4x=32，解得x=-32或-12，
若x≥0，则﹣2x2+4x=32，解得x=32或12，
∴F（-32，32）或（-12，32）或（32，32）或（12，32）；
当yF=-32时，若x＜0，则﹣2x2﹣4x=-32，解得x＝﹣1-72或x＝﹣1+72（舍去），
若x≥0，则﹣2x2+4x=-32，解得x＝1-72（舍去）或x＝1+72，
∴F（﹣1+72，-32）或（﹣1-72，-32）或（1-72，-32）或（1+72，-32）；
综上所述，所有满足条件的点F的坐标为（-32，32）或（-12，32）或（32，32）或（12，32）或（﹣1-72，-32）或（1+72，-32）.
（3）PM与PN的和是定值；
如图2，连接直线PQ，
∵抛物线y＝﹣2x2+4x交x轴于O，A两点，∴O（0，0），A（2，0），
∵y＝﹣2x2+4x＝﹣2（x﹣1）2+2，∴抛物线y＝﹣2x2+4x的顶点为（1，2），
∵点P是点Q（1，0）关于抛物线顶点（1，2）的对称点，故点P的坐标为（1，4），
由点P、O的坐标得，直线OP的表达式为y＝4x①，
同理可得，直线AP的表达式为y＝﹣4x+8②，
设直线l的表达式为y＝tx+n，
联立y＝tx+n和y＝﹣2x2+4x并整理得：2x2+（t﹣4）x+n＝0，
∵直线l与抛物线只有一个公共点，
故Δ＝（t﹣4）2﹣8n＝0，解得n=18（t﹣4）2，故直线l的表达式为y＝tx+18（t﹣4）2③，
联立①③并解得xM=-18（t﹣4），同理可得，xN=-18（t﹣12），
∵射线PO、PA关于直线PQ：x＝1对称，则∠APQ＝∠OPQ，设∠APQ＝∠OPQ＝α，
则sin∠APQ＝sin∠OPQ=OQOP=112+42=117=sinα，
∴PM+PN=1-xMsinα+xN-1sinα=17（xN﹣xM）=17为定值．等级
成绩x/分
E
50≤x＜60
D
60≤x＜70
C
70≤x＜80
B
80≤x＜90
A
90≤x≤100
甲型客车
乙型客车
载客量/（人/辆）
45
30
租金/（元/辆）
400
280
x
…
-52
﹣2
-32
﹣1
-12
0
12
1
32
2
52
…
y
…
-52
0
32
m
32
0
32
2
32
0
-52
…
等级
成绩x/分
E
50≤x＜60
D
60≤x＜70
C
70≤x＜80
B
80≤x＜90
A
90≤x≤100
甲型客车
乙型客车
载客量/（人/辆）
45
30
租金/（元/辆）
400
280
x
…
-52
﹣2
-32
﹣1
-12
0
12
1
32
2
52
…
y
…
-52
0
32
m
32
0
32
2
32
0
-52
…