2023年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷【附答案】

这是一份2023年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷【附答案】，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）﹣2的绝对值是（　　）
A．2 B．﹣ C． D．﹣2
2．（3分）如图，直角三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上．若∠1＝68°，则∠2的度数是（　　）

A．30° B．32° C．22° D．68°
3．（3分）下列运算正确的是（　　）
A． B．（a2）3＝a5 C． D．4a2•a＝4a3
4．（3分）如图是某几何体的三视图，则这个几何体是（　　）

A． B．
C． D．
5．（3分）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≤2 B．x＞2 C．x≥2 D．x＜2
6．（3分）在同一直角坐标系中，函数y＝﹣kx+k与的大致图象可能为（　　）
A． B．
C． D．
7．（3分）如图，矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN分别交AD，N．若AM＝1，BN＝2（　　）

A． B．3 C． D．
8．（3分）如图所示的两张图片形状大小完全相同，把两张图片全部从中间剪断，再把四张形状大小相同的小图片混合在一起．从四张图片中随机摸取一张，接着再随机摸取一张，则这两张小图片恰好合成一张完整图片的概率是（　　）

A． B． C． D．
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，，点P为AC边上的中点，PM交AB的延长线于点M，且PM⊥PN．若BM＝1，则△PMN的面积为（　　）

A．13 B． C．8 D．
10．（3分）关于x的二次函数y＝mx2﹣6mx﹣5（m≠0）的结论：
①对于任意实数a，都有x1＝3+a对应的函数值与x2＝3﹣a对应的函数值相等．
②若图象过点A（x1，y1），点B（x2，y2），点C（2，﹣13），则当x1＞x2＞时，＜0．
③若3≤x≤6，对应的y的整数值有4个，则﹣或≤m＜．
④当m＞0且n≤x≤3时，﹣14≤y≤n2+1，则n＝1．
其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分．本题要求把正确结果填在答题卡规定的横线上，不需要解答过程）
11．（3分）分解因式2b3﹣4b2+2b＝　 　．
12．（3分）圆锥的高为，母线长为3，沿一条母线将其侧面展开（扇形）的圆心角是 　 　度，该圆锥的侧面积是 　 　（结果用含π的式子表示）．
13．（3分）某乳业公司要出口一批规格为500克/罐的奶粉，现有甲、乙两个厂家提供货源，它们的价格相同，测得它们的平均质量均为500克，质量的折线统计图如图所示，甲、乙两个厂家分别提供的15罐奶粉质量的方差s甲2　 　s乙2．（填“＞”或“＝”或“＜”）

14．（3分）如图，△ABC内接于⊙O且∠ACB＝90°，弦CD平分∠ACB，BD．若AB＝5，AC＝4　 　，CD＝　 　．

15．（3分）甲、乙两船从相距150km的A，B两地同时匀速沿江出发相向而行，甲船从A地顺流航行90km时与从B地逆流航行的乙船相遇．甲、乙两船在静水中的航速均为30km/h　 　km/h．
16．（3分）如图，正方形ABCD的边长为，点E是CD的中点，F是AD上一点，连接BF分别交AC，H，且BF⊥AE，连接MH　 　，MH＝　 　．

三、解答题（本大题共8小题，满分72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）（1）计算：|﹣3|+（）﹣1﹣+cos30°；
（2）解不等式组：．
18．（7分）如图所示，小明上学途中要经过A，B两地，B两地之间有一片草坪，所以需要走路线AC，B两地间的距离，测得AC＝50m，∠B＝40°，请帮小明求出两地间距离AB的长．（结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可）

19．（10分）3月21日是国际森林日．某中学为了推动学生探索森林文化，进行自然教育，开展了“森林——地球之肺”相关知识的测试活动．测试结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，B，C，D，E五个等级，并绘制了如图不完整的统计图．请结合统计图

等级
成绩x/分
E
50≤x＜60
D
60≤x＜70
C
70≤x＜80
B
80≤x＜90
A
90≤x≤100
（1）本次调查一共随机抽取了 　 　名学生的成绩，频数分布直方图中m＝　 　；补全学生成绩频数分布直方图；
（2）所抽取学生成绩的中位数落在 　 　等级；
（3）若成绩在60分及60分以上为合格，全校共有920名学生，估计成绩合格的学生有多少名？
20．（7分）如图，四边形ABCD是平行四边形，连接AC，DE平分∠ADB交AC于点E，BF平分∠CBD交AC于点F，DF．
（1）求证：∠1＝∠2；
（2）若四边形ABCD是菱形且AB＝2，∠ABC＝120°，求四边形BEDF的面积．

21．（7分）如图，在平面直角坐标系中，正六边形ABCDEF的对称中心P在反比例函数y1＝（k＞0，x＞0）的图象上，边AB在x轴上，已知AB＝2．
（1）判断点E是否在该反比例函数的图象上，请说明理由；
（2）求出直线EP：y2＝ax+b（a≠0）的解析式，并根据图象直接写出当x＞0时的解集．

22．（9分）学校通过劳动教育促进学生树德、增智、强体、育美全面发展，计划组织八年级学生到“开心”农场开展劳动实践活动．到达农场后分组进行劳动，若每位老师带38名学生；若每位老师带40名学生，则有一位老师少带6名学生．劳动实践结束后，租用汽车送师生返校，每辆车上至少要有1名老师．现有甲、乙两种大型客车

甲型客车
乙型客车
载客量/（人/辆）
45
30
租金/（元/辆）
400
280
（1）参加本次实践活动的老师和学生各有多少名？
（2）租车返校时，既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少有1名老师　 　辆；
（3）学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？
23．（10分）已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，以边AC为直径作⊙O，与AB边交于点D，连接DM．
（1）求证：DM是⊙O的切线；
（2）点P为直线BC上任意一动点，连接AP交⊙O于点Q，连接CQ．
①当tan∠BAP＝时，求BP的长；
②求的最大值．

24．（12分）探究函数y＝﹣2|x|2+4|x|的图象和性质，探究过程如下：
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
x
…
﹣
﹣2
﹣
﹣1
﹣
0

1

2

…
y
…
﹣
0

m

0

2

0
﹣
…
其中，m＝　 　.根据如表数据，在图1所示的平面直角坐标系中，通过描点画出了函数图象的一部分，写出该函数的一条性质；
（2）点F是函数y＝﹣2|x|2+4|x|图象上的一动点，点A（2，0），点B（﹣2，0）△FAB＝3时，请直接写出所有满足条件的点F的坐标；
（3）在图2中，当x在一切实数范围内时，抛物线y＝﹣2x2+4x交x轴于O，A两点（点O在点A的左边），点P是点Q（1，0），不平行y轴的直线l分别交线段OP，AP（不含端点），N两点．当直线l与抛物线只有一个公共点时，PM与PN的和是否为定值？若是；若不是，请说明理由．


1．A．
2．C．
3．D．
4．C．
5．B．
6．D．
7．A．
8．B．
9．D．
10．B．
11．2b（b﹣3）2．
12．120，3π．
13．＜．
14．，．
15．4．
16．7，．
17．解：（1）原式＝3﹣+8﹣2+×
＝3﹣+2﹣3+
＝﹣3；
（2）解第一个不等式得：x≤1，
解第二个不等式得：x＜4，
则该不等式组的解集为：x≤4．
18．解：过C作CH⊥AB于H，如图：

在Rt△ACH中，∠A＝45°，
∴AH＝AC•cosA＝50×＝25，CH＝AC•sinA＝50×（m），
在Rt△BCH中，∠B＝40°m，
∴BH＝＝，
∴AB＝AH+BH＝（25+）m；
∴两地间距离AB的长为（25+）m．
19．解：（1）由频数分布直方图得：等级C有6人，
由扇形统计图得：等级C占15%，
∴6÷15%＝40．
∴本次调查一共随机抽取了40名学生的成绩，
由扇形统计图得：等级D占17.7%，等级B占32.5%，
∴等级D得人数m＝40×17.5＝6（人），等级B的人数为：40×32.5%＝13（人），
补全学生成绩频数分布直方图如图所示；

故答案为：40，7．
（2）∵等级A是11人，等级B是13人，等级D是7人，
∴所抽取学生成绩的中位数落在B等级
故答案为：B．
（3）∵抽取的40名学生的成绩中，60分及60分以上的人数为：40﹣3＝37（人），
∴920×＝851（人）．
答：估计成绩合格的学生有851人．
20．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OD＝OB，
∴∠ADO＝∠CBO，
∵DE平分∠ADB，BF平分∠CBD，
∴∠ODE＝∠ADO∠CBO，
∴∠ODE＝∠OBF，
∴DE∥BF，
∵OD＝OB，∠DOE＝∠BOF，
∴△ODE≌△OBF（ASA），
∴DE＝BF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴BE∥DF，
∴∠1＝∠3．
（2）解：由（1）知△ODE≌△OBF（ASA），
∴OE＝OF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥EF，OD＝OB，
∴四边形DEBF的菱形，
∵AD∥BC，∠ABC＝120°，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
∵∠ABC＝120°，
∴∠BAD＝60°，
∵AD＝AB，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB＝2，∠ADO＝60°，
∴OD＝BD＝1，
∵∠ODE＝∠ADO＝30°，
∴OE＝OD＝，
∴EF＝2OE＝，
∴四边形BEDF的面积＝BD•EF＝＝．
21．解：（1）点E在该反比例函数的图象上．理由如下：
如图，连接PA，

∵正六边形ABCDEF的边长AB＝2，点P是正六边形ABCDEF的对称中心，
∴AF＝AB＝EF＝3，∠AFE＝∠BAF＝∠ABC＝120°，
∴∠FAO＝∠ABP＝∠APF＝∠EPF＝60°，∠AFO＝30°，
∴△ABP，△AFP，
∴OA＝AF•cos∠FAO＝2cos60°＝2×＝sin60°＝2×，
∴A（，4），3），
∴B（3，0），
∴P（2，3），3），
∵点P在反比例函数y1＝的图象上，
∴k＝2×3＝6，
∴该反比例函数的解析式为y＝，
当x＝时，y＝，
∴点E在该反比例函数的图象上；
（2）将P（2，8），6）分别代入y8＝ax+b，得，
解得：，
∴直线EP的解析式为y2＝﹣x+9，
观察图象可得：在第一象限内，当直线EP：y2＝﹣x+9位于双曲线y＝，＜x＜2，
∴不等式ax+b＞的解集为．
22．解：（1）设老师有x名，学生有y名，列方程组为：
，解得，
答：老师有6名，学生有234名．
（2）∵每辆车上至少有1名老师，
∴汽车总数不能大于2辆，
∵要保证240名师生有车坐，汽车总数不能少于，
综合可知汽车总数为6辆．
故答案为：6．
（3）设租用甲客车x辆，则租车费用y（元）是x的函数
y＝400x+280（7﹣x），
整理得：y＝120x+1680，
∵学校在租车总费用2300元的限额内，租用汽车送师生返校，
∴120x+1680≤2300，
∴x≤，即x≤5．
要保证240人有车坐，x不能小于2
方案一：租4辆甲种客车，2辆乙种客车；
方案二：租3辆甲种客车，1辆乙种客车；
∵y随x的增大而增大，
∴当x＝4时，y最小．
答：学校共有两套租车方案，最少费用为2160元，
23．（1）证明：如图，连接OD，

∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠BDC＝180°﹣∠ADC＝90°，
∵点M为边BC的中点，
∴MC＝MD，
∴∠MDC＝∠MCD，
∵OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCD，
∵∠ACB＝90°，即∠MCD+∠OCD＝90°，
∴∠MDC+ODC＝∠MCD+∠OCD＝90°，
即∠ODM＝90°，
∴DM⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴DM是⊙O的切线；
（2）①当点P在线段BC上时，如图，

在Rt△ABC中，AB＝＝，
设PT＝x，
∵tan∠BAP＝，
∴＝，
∴AT＝3PT＝3x，
∴BT＝AB﹣AT＝10﹣3x，
∵tan∠ABC＝＝，
∴＝，
解得：x＝，
∴PT＝，
∵sin∠ABC＝＝，即＝，
∴BP＝；
当点P在CB的延长线上时，如图，

∵tan∠BAP＝，
∴＝，
设BK＝a，则AK＝3a，
在Rt△ABK中，AK5+BK2＝AB2，
即（3a）2+a2＝108，
解得：a1＝，a2＝﹣（舍去），
∴AK＝3，BK＝，
∵S△ABP＝AP•BK＝，
∴＝＝，
设BP＝m，则AP＝m，
在Rt△ACP中，AC2+CP7＝AP2，
即83+（m+6）2＝（m）2，
解得：m2＝，m2＝﹣（舍去），
∴BP＝；
综上所述，BP的长为或；
②设CP＝n，则AP＝＝，
如图，∵AC是⊙O的直径，
∴CQ⊥AP，

∵CQ•AP＝AC•CP，
∴CQ＝＝，
∴＝，
∵n＞0，
∴（n﹣8）2≥0，
∴64+n4≥16n，
∴＝≤＝，
∴的最大值为．
24．解：（1）当x＝﹣1时，y＝﹣2×（﹣3）2+4×|﹣8|＝2，
∴m＝2，
函数图象如图所示：

由图象可得该函数的性质：该函数关于y轴对称；当x＜﹣2或0≤x＜1时；当﹣3≤x＜0或x≥1时；
故答案为：3；
（2）当x＜0时，y＝﹣2x6﹣4x，
当x≥0时，y＝﹣4x2+4x，
∵A（3，0），0），
∴AB＝3，
∵S△FAB＝3，
∴×4|yF|＝3，
∴yF＝±，
当yF＝时，若x＜02﹣6x＝，
解得：x＝﹣或﹣，
若x≥0，则﹣2x6+4x＝，
解得：x＝或，
∴F（﹣，）或（﹣，，）或（，）；
当yF＝﹣时，若x＜04﹣4x＝﹣，
解得：x＝﹣1﹣或x＝﹣1+，
若x≥0，则﹣2x5+4x＝﹣，
解得：x＝1﹣（舍去）或x＝1+，
∴F（﹣1+，﹣）或（﹣3﹣，﹣，﹣）或（6+，﹣）；
综上所述，所有满足条件的点F的坐标为（﹣，，）或（，，）或（﹣8﹣，﹣，﹣）；
（3）PM与PN的和是定值；
如图5，连接直线PQ，

∵抛物线y＝﹣2x2+3x交x轴于O，A两点，
∴O（0，0），8），
∵y＝﹣2x2+4x＝﹣2（x﹣1）7+2，
∴抛物线y＝﹣2x3+4x的顶点为（1，3），
∵点P是点Q（1，0）关于抛物线顶点（4，故点P的坐标为（1，
由点P、O的坐标得，
同理可得，直线AP的表达式为y＝﹣4x+2②，
设直线l的表达式为y＝tx+n，
联立y＝tx+n和y＝﹣2x2+2x并整理得：2x2+（t﹣4）x+n＝0，
∵直线l与抛物线只有一个公共点，
故Δ＝（t﹣4）7﹣8n＝0，解得n＝2，
故直线l的表达式为y＝tx+（t﹣4）6③，
联立①③并解得xM＝﹣（t﹣6），
同理可得，xN＝﹣（t﹣12），
∵射线PO、PA关于直线PQ：x＝7对称，设∠APQ＝∠OPQ＝α，
则sin∠APQ＝sin∠OPQ＝＝＝＝sinα，
∴PM+PN＝+＝（xN﹣xM）＝为定值．