2023年内蒙古呼和浩特市中考数学一模试卷(含解析)
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一、选择题(本大题共10小题,共30.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)
1. 下列图标中是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 如图,数轴上点A所表示的数的相反数为( )
A. −3 B. 3 C. −13 D. 13
3. 用代入法解一元二次方程2x+y=5①3x+4y=7②过程中,下列变形不正确的是( )
A. 由①得x=5−y2 B. 由①得y=5−2x
C. 由②得x=7+4y3 D. 由②得y=7−3x4
4. 下列运算正确的是( )
A. 4+ 9= 13 B. 5y3⋅3y5=15y15
C. 3 6= 62 D. 3x2y+2xy2=5x2y2
5. 如图是某企业2020年5~10月份月利润变化情况的折线统计图,下列说法与图中反映的信息相符的是( )
A. 5~6月份月利润增长量大于9~10月份月利润增长量
B. 5~10月份月利润的中位数是700万元
C. 5~10月份月利润的平均数是760万元
D. 5~10月份月利润的众数是1000万元
6. 下列命题:(1)一个三角形的各边长扩大为原来的9倍,这个三角形的面积也扩大为原来的9倍(2)相等的圆心角所对的弦相等(3)对角线相等且互相垂直的四边形是正方形(4)经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行,其中真命题的个数有( )
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
7. 如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=1.将△ABC绕点A按顺时针方向旋转至△AB1C1的位置时,点B1恰好落在边BC的中点处,则CC1的长为( )
A. 1
B. 3
C. 2
D. 5
8. 2022年4月16日,神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆,三名航天员平安归来,神舟十三号任务取得圆满成功.某航模店购进了“神舟”和“天宫”两款航空模型.已知每个“神舟”模型比“天宫”模型的进价多10元,且同样花费100元,购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多5个.设“天宫”模型进价为每个x元,则下列方程正确的是( )
A. 100x+5=100x+10 B. 100x+10=100x+5
C. 100x=100x+5+10 D. 100x=100x+10+5
9. 如图,在平面直角坐标系中,直线y=−3x+3交x轴于A点,交y轴于B点,以AB为边在第一象限作正方形ABCD,其中顶点D恰好落在双曲线y=kx上,现将正方形ABCD沿y轴向下平移a个单位,可以使得顶点C落在双曲线上,则a的值为( )
A. 83 B. 73 C. 2 D. 43
10. 如图,在△ABC中,∠BAC=45°,AD⊥BC于点D.点E,F是AD上两点,且DE=DB,DF=DC,若BD=2,CD=3.则ABAC的值为( )
A. 23
B. 32
C. 62
D. 2 23
二、填空题(本大题共6小题,共18.0分)
11. 因式分解:x3−x=______.
12. 如图是某立体图形的三视图,该立体图形的名称是______ ,若主视图和左视图均为边长为2的等边三角形,则该立体图形的表面积为______ .
13. 盒子里装有若干个彩色球,它们除颜色外完全相同,其中有6个黄球,从盒子中任意摸出一个球,摸到黄球的概率是19,则盒子里共有______ 个彩色球.
14. 如图是一个隧道的横截图,它的形状是以点O为圆心的一部分,如果M是⊙O中弦CD的中点,EM经过圆心O交⊙O于点E,若CD=4m,EM=6m,则⊙O的半径为______m.
15. 如图在菱形ABCD中,O为对角线AC与BD的交点,点P为边AB上的任一点(不与A、B重合),过点P分别作PM⊥AC,PN⊥BD,M、N为垂足,则可以判断四边形MPNO的形状为______ .若菱形的边长为a,∠ADC=120°,则MN的最小值为______ .(用含a的式子表示)
16. 新定义:在平面直角坐标系中,对于点P(m,n)和点P′(m,n′),若满足m≥0时,n′=n−4;m<0时,n′=−n,则称点P′(m,n′)是点P(m,n)的限变点.例如:点P1(2,5)的限变点是P1′(2,1),则点P2(−2,3)的限变点是______ .若点P(m,n)在二次函数y=−x2+4x+2的图象上,则当−1≤m≤3时,其限变点P′的纵坐标n′的取值范围是______ .
三、解答题(本大题共8小题,共72.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17. (本小题8.0分)
计算求解:
(1)计算: 6× 22−6tan30°+(−12)−2−|1− 3|;
(2)先化简,再求值:x−3x−2÷(x+2−5x−2),其中x= 2−3.
18. (本小题8.0分)
过平行四边形ABCD的对角线AC的中点O作两条互相垂直的直线,分别交AB,BC,CD,DA于E,F,G,H四点,连接EF,FG,GH,HE.试判断四边形EFGH的形状,并说明理由.
19. (本小题10.0分)
某校为落实“双减”政策,增强课后服务的丰富性,充分用好课后服务时间,3月份学校开展数学学科活动,其中七年级开展了五个项目(每位学生只能参加一个项目):A.阅读数学名著;B.讲述数学故事;C.制作数学模型;D.参与数学游戏;E.挑战数学竞赛.为了解学生对以上活动的参与情况,随机抽取部分学生进行了调查统计,并根据统计结果,绘制了如图所示的两幅不完整的统计图.
根据图中信息,解答下列问题:
(1)①此次调查一共随机抽取了______ 名学生;②补全条形统计图(要求在条形图上方注明名数);③扇形统计图中圆心角α= ______ 度;
(2)若该年级有1100名学生,请你估计该年级参加D项目的学生大约有多少名;
(3)在C项目展示活动中,某班获得一等奖的学生有3名男生,2名女生,则从这5名学生中随机抽取2名学生代表本班参加学校制作数学模型活动,请直接写出恰好抽到2名男生的概率.
20. (本小题8.0分)
如图,某测量小组为了测量山BC的高度,在地面A处测得山顶B的仰角45°,然后沿着坡角为30°(即∠DAC=30°)的坡面AD走了200米到达D处,此时在D处测得山顶B的仰角为60°,求山高BC(结果保留根号)
21. (本小题8.0分)
如图,点A,B是反比例函数y1=kx(k≠0,x>0)图象上的两点,过点A,B分别作AC⊥x轴于点C,BD⊥x轴于点D,连接BC,已知点C(2,0),BD=3,S△BCD=3.
(1)求点B坐标及反比例函数解析式;
(2)若AB所在直线的解析式为y2=ax+b(a≠0),根据图象,请直接写出不等式ax+b−kx≤0的解集.
22. (本小题10.0分)
某校九年级学生小丽、小强和小红到某商场参加了社会实践活动,在活动中他们参与了某商品的销售工作,已知该商品的进价为40元/件,售价为60元/件,下面是他们在活动结束后的对话:小丽:我发现此商品如果按60元/件销售,每星期可卖出300件.小强:我发现在售价60元/件的基础上调整价格,每涨价1元,每星期比小丽所调查的销售量300件要少卖出10件.小红:我发现在售价60元/件的基础上调整价格,每降价1元,每星期比小丽所调查的销售量300件要多卖出20件.
(1)若设每件涨价x元,则每星期实际可卖出______ 件,每星期售出商品的利润y1(元)与x的关系式为y1= ______ ,x的取值范围是______ ;
(2)若设每件降价a元,则每星期售出商品的利润y2(元)与a的关系式为y2= ______ ;
(3)在涨价情况下,如何定价才能使每星期售出商品的利润最大?最大利润是多少?
23. (本小题8.0分)
如图,AB是⊙O的直径,AC是弦,D是AB的中点,CD与AB交于点E,F是AB延长线上的一点,且CF=EF.
(1)求证:CF为⊙O的切线;
(2)连接BD,取BD的中点G,连接AG.若CF=4,tan∠BDC=12,求AG的长.
24. (本小题12.0分)
已知,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的一个交点为(1,0),且过(−1,4)和(0,3)点.
(1)求a、b、c的值,并写出该抛物线的顶点坐标;
(2)将二次函数y=ax2+bx+c向右平移m(m>0)个单位,得到的新抛物线,当−1
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解:选项A、C、D均不能找到这样的一个点,使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合,所以不是中心对称图形,
选项B能找到这样的一个点,使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合,所以是中心对称图形,
故选:B.
根据中心对称图形的概念求解.在同一平面内,如果把一个图形绕某一点旋转180度,旋转后的图形能和原图形完全重合,那么这个图形就叫做中心对称图形.这个旋转点,就叫做中心对称点.
本题主要考查了中心对称图形的概念.中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后与原图重合.
2.【答案】A
【解析】解:由图可得,点A所表示的数为3,
∴数轴上点A所表示的数的相反数为−3,
故选:A.
通过识图可得点A所表示的数为3,然后结合相反数的概念求解.
本题考查数轴上的点击相反数的概念,准确识图,理解相反数的定义是解题关键.
3.【答案】C
【解析】解:由①得y=5−2x或x=5−y2,
故A、B正确,不符合题意;
由②得x=7−4y3或y=7−3x4,
故C不正确,符合题意;D正确,不符合题意.
故选:C.
根据代入消元法解方程组的方法,进行变形时要特别注意移项后符号要变号.
本题考查了解方程的方法,解题关键是掌握代入消元法解方程组的相关知识.
4.【答案】C
【解析】解:A. 4+ 9=2+3=5,故本选项错误;
B.5y3⋅3y5=15y8,故本选项错误;
C. 3 6=3× 66= 62,故本选项正确;
D.3x2y与2xy2不是同类项,不能合并,故本选项错误;
故选:C.
根据算术平方根,单项式乘单项式、分母有理化以及同类项的运算法则判断即可.
本题主要考查了算术平方根,单项式乘单项式、分母有理化以及同类项,掌握相关运算法则是解题的关键.
5.【答案】B
【解析】解:由折线统计图知这组数据为500、600、700、700、900,1000、
A.5~6月份利润增长了600−500=100,9~10月份利润,增长了900−700=200,故A说法与图中反映的信息不相符,故本选项不符合题意;
B.5~10月份利润的中位数为700万元,故B说法与图中反映的信息相符,故本选项符合题意.
C.5~10月份利润的平均数为16(500+600+700+700+900+1000)=73313(万元),故C说法与图中反映的信息不相符,故本选项不符合题意;
D.700出现了2次,是出现次数最多的,5~10月份月利润的众数700万元,故D说法与图中反映的信息不相符,故本选项不符合题意;
故选:B.
先从统计图获取信息,再对选项逐一分析,选择正确结果.
本题考查了折线统计图,平均数和中位数,根据图表准确获取信息是解题的关键.
6.【答案】D
【解析】解:一个三角形的各边长扩大为原来的9倍,这个三角形的面积也扩大为原来的81倍,故(1)是假命题;
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,故(2)是假命题;
对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形,故(3)是假命题;
经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行,故(4)是真命题;共有1个真命题,
故选:D.
利用平行公理、正方形的判定方法、相似三角形的性质、弦与圆心角的关系判定即可.
本题考查了平行公理、正方形的判定方法、相似三角形的性质、弦与圆心角的关系以及命题与定理:判断事物的语句叫命题;正确的命题称为真命题,错误的命题称为假命题;经过推理论证的真命题称为定理.
7.【答案】B
【解析】解:在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=1,将其进行顺时针旋转,B1落在BC的中点处,
∴Rt△AB1C1是由Rt△ABC旋转得到,
∴AB1=AB=1,
∵∠BAC=90°,点B1恰好落在边BC的中点处,
∴BC=2AB1=2,
根据勾股定理:AC= BC2−AB2= 3,
∵AB1=AB=1,且BB1=12BC=1,
∴△ABB1为等边三角形,
∴旋转角∠BAB1=60°,
∴∠CAC1=60°,且AC1=AC= 3,
∴△ACC1也是等边三角形,
∴CC1= 3,
故选:B.
根据题意,判断出Rt△ABC斜边BC的长度,根据勾股定理算出AC的长度,且AB1=AB=BC=1,所以△ABB1为等边三角形,可得旋转角为60°,同理,∠CAC1=60°,故△ACC1也是等边三角形,CC1的长度即为AC的长度.
本题主要考查了旋转性质的应用以及勾股定理的计算,通过题中所给的条件,判断出图形旋转的度数,知道图形旋转的角度是解题的关键.
8.【答案】D
【解析】解:根据题意,设“天宫”模型进价为每个x元,则“神舟”模型的价格为(x+10)元,
∴花费100元购进“天宫”模型的数量是100x,购进“神舟”模型的数量是100x+10,
∵“天宫”模型的数量比“神舟”模型多5个
∴100x=100x+10+5,
故选:D.
每个“神舟”模型比“天宫”模型的进价多10元,同样花费100元,购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多5个.设“天宫”模型进价为每个x元,根据数量关系列方程即可.
本题主要考查分式方程在实际问题中的运用,理解题目中的数量关系,正确列出方程是解题的关键.
9.【答案】A
【解析】解:作CE⊥y轴于点E,作DF⊥x轴于点F,作CH⊥x轴于点H,交双曲线于点G
在y=−3x+3中,
令x=0,解得:y=3,
即B的坐标是(0,3),
令y=0,解得:x=1,
即A的坐标是(1,0),
则OB=3,OA=1.
∵∠BAD=90°,
∴∠BAO+∠DAF=90°,
∵直角△ABO中,∠BAO+∠OBA=90°,
∴∠DAF=∠OBA,
在△OAB和△FDA中,
∠DAF=∠OBA∠BOA=∠AFDAB=AD,
∴△OAB≌△FDA(AAS),
同理,△OAB≌△FDA≌△EBC,
∴AF=OB=EC=3,DF=OA=BE=1,
故D的坐标是(4,1),C的坐标是(3,4),
代入y=kx得:k=4,
则函数的解析式是:y=4x.
∴OE=4,
则C的纵坐标是4,
把x=3代入y=4x得:y=43.即G的坐标是(3,43),
∴CG=4−43=83,
∴a=83,
故选:A.
作CE⊥y轴于点E,作DF⊥x轴于点F,作CH⊥x轴于点H,交双曲线于点G,由函数解析式确定B的坐标是(0,3),A的坐标是(1,0),根据全等三角形的判定和性质得出△OAB≌△FDA≌△BEC,AF=OB=EC=3,DF=OA=BE=1,结合图形求解即可.
本题考查反比例函数与一次函数综合问题,全等三角形的判定和性质等,理解题意,综合运用这些知识点是解题关键.
10.【答案】D
【解析】解:如图所示,
∵AD⊥BC,DE=DB,DF=DC,
∴△BDE,△CDF是等腰直角三角形,
∵∠1=∠2=45°,∠3=∠4=45°,
在Rt△BDE、Rt△CDF中,
BD=DE=2,CD=FD=3,
∴BE= 2BD=2 2,CF= 2CD=3 2,
∴EF=DF−DE=3−2=1,
∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=45°,∠2是△ABE的外角,∠3是△CAF的外角,
∴∠BAF+∠FAC=∠FAC+∠ACF=∠FAB+∠ABE=45°,
∴∠BAF=∠ACF,∠ABE=∠FAC,
∴△ABE∽△CAF,
∴ABCA=AECF=BEAF,BE=2 2,CF=3 2,
设AF=x,则AE=AF+EF=x+1,
∴代入AECF=BEAF得,x+13 2=2 2x,
解得,x1=3,x2=−4(舍去),
∴ABAC=AECF=43 2=2 23,
故选:D.
根据AD⊥BC,DE=DB,DF=DC,可得△BDE,△CDF是等腰直角三角形,根据勾股定理可算出BE,CF的长,如图所示,∠2是△ABE的外角,∠3是△CAF的外角,由此可证△ABE∽△CAF,由此即可求解.
本题主要考查等腰直角三角形,相似三角形的综合,掌握等腰直角三角形的性质,相似三角形的判定和性质是解题的关键.
11.【答案】x(x+1)(x−1)
【解析】解:原式=x(x2−1)=x(x+1)(x−1),
故答案为:x(x+1)(x−1)
原式提取x,再利用平方差公式分解即可.
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.
12.【答案】圆锥 3π
【解析】解:主视图、俯视图都是等边三角形,俯视图是圆形,
∴该立体图形是圆锥,
∵主视图和左视图均为边长为2的等边三角形,
∴底面圆的直径是2,半径是r=1,
∴底面圆的周长为2πr=2π×1=2π,底面圆的面积为πr2=π×12=π,
∴侧面展开图的扇形的弧长为2π,半径为R=2,
∴扇形所在的圆的周长为2πR=2π×2=4π,则扇形的圆心角180°,
∴扇形的面积为180°360∘×πR2=12π×22=2π,
∴圆锥的表面积为π+2π=3π,
故答案为:圆锥,3π.
根据三视图的特点,可知立体几何的名称,再根据立体几何的表面积公式即可求解.
本题主要考查立体几何的三视图,扇形的综合,掌握三视图的特点,立体几何表面积的计算公式,扇形的面积的计算方法是解题的关键.
13.【答案】54
【解析】解:根据题意知,盒子里的球共有6÷19=54 (个).
故答案为:54.
用黄球的个数除以其概率即可得出结论.
本题主要考查概率,熟练掌握概率的意义是解题的关键.
14.【答案】103
【解析】解:∵M是⊙O弦CD的中点,
根据垂径定理:EM⊥CD,
又CD=4则有:CM=12CD=2,
设圆的半径是x米,
在Rt△COM中,有OC2=CM2+OM2,
即:x2=22+(6−x)2,
解得:x=103,
所以圆的半径长是103.
故答案为:103.
因为M是⊙O弦CD的中点,根据垂径定理,EM⊥CD,则CM=DM=2,在Rt△COM中,有OC2=CM2+OM2,进而可求得半径OC.
此题主要考查了垂径定理的应用,解决与弦有关的问题时,往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形,若设圆的半径为r,弦长为a,这条弦的弦心距为d,则有等式r2=d2+(a2)2成立,知道这三个量中的任意两个,就可以求出另外一个.
15.【答案】矩形 34a
【解析】解:如图,连接OP,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,
∵PM⊥AC,PN⊥BD,
∴∠PMO=∠MON=∠PNO=90°,
∴四边形MPNO是矩形;
∵菱形ABCD的边长为a,∠ADC=120°,
∴AB=BC=AD=a,∠ADB=∠CDB=12∠ADC=60°,
∴△ABD是等边三角形.
∴BD=AB=a,
∴BO=DO=12BD=12a,
∴AO= AB2−BO2= 32a,
∵四边形MPNO是矩形,
∴MN=OP,
∴当OP⊥AB时,OP取得最小值,MN也取得最小值,此时S△ABO=12AO⋅BO=12AB⋅OP,
∴OP=AO⋅BOAB= 32a⋅12aa= 34a,
∴MN的最小值为 34a,
故答案为:矩形, 34a.
根据菱形的性质即可得到AC⊥BD,根据PM⊥AC,PN⊥BD即可得到∠PMO=∠MON=∠PNO=90°,根据矩形的判定方法即可判断出四边形MPNO是矩形;根据菱形ABCD的边长为a,∠ADC=120°即可求出AB,AO,BO的长度,根据四边形MPNO是矩形即可得到MN=OP,即可判断出当OP⊥AB时,OP取得最小值,MN也取得最小值,根据三角形的面积计算方法,即可求出OP的最小值,即可得出答案.
本题主要考查了矩形的判定及性质、垂线段最短以及菱形的性质,熟练掌握菱形的性质是解题的关键.
16.【答案】P′2(−2,−3) −2≤n′≤3
【解析】解:∵m=−2<0,P2(−2,3),
∴n′=−n=−3,
∴点P2(−2,3)的限变点是P′2(−2,−3),
∵点P(m,n)在二次函数y=−x2+4x+2的图象上,
∴n=−m2+4m+2,
当0
当−1≤m≤0时,n′=m2−4m−2=(m−2)2−6,
∴当−1≤m≤0时,−2
故答案为:P′2(−2,−3),−2≤n′≤3.
根据新定义可求得点P2(−2,3)的限变点,根据新定义得到当m≥0时,n′=−m2+4m+2−4=−(m−2)2+2,在0≤m≤3时,得到−2≤n′≤2;当m<0时,n′=m2−4m−2=(m−2)2−6,在−1≤m<0时,得到−2≤n′≤3,即可得到限变点P′的纵坐标n′的取值范围是−2≤n′≤3.
本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征,根据限变点的定义得到n′关于m的函数是解题的关键.
17.【答案】解:(1) 6× 22−6tan30°+(−12)−2−|1− 3|
= 122−6× 33+4−( 3−1)
= 3−2 3+4− 3+1
=5−2 3;
(2)x−3x−2÷(x+2−5x−2)
=x−3x−2÷x2−9x−2
=x−3x−2×x−2(x+3)(x−3)
=1x+3,
当x= 2−3时,
原式=1 2−3+3= 22.
【解析】(1)根据负整数指数幂、锐角三角函数、零指数幂和绝对值可以解答本题;
(2)先化简式子,再将x的值代入即可解答本题.
本题考查了含有特殊角的三角函数的混合运算以及分式的化简求值,掌握分式化简求值的方法以及特殊角的三角函数值是解题的关键.
18.【答案】解:在平行四边形ABCD中,OA=OC,AB//CD,
∴∠OAE=∠OCG,
在△AOE和△COG中,∠OAE=∠OCGOA=OC∠AOE=∠COG,
∴△AOE≌△COG(ASA),
∴OE=OG,
同理可得OF=OH,
∴四边形EFGH是平行四边形,
∵EG⊥FH,
∴四边形EFGH是菱形.
【解析】本题考查了平行四边形的性质,菱形的判定,熟记性质并求出三角形全等从而得到对角线互相平分是解题的关键.
根据平行四边形的对角线互相平分可得OA=OC,再根据两直线平行,内错角相等可得∠OAE=∠OCG,然后利用“角边角”证明△AOE和△COG全等,根据全等三角形对应边相等可得OE=OG,同理可得OF=OH,再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判断出四边形EFGH是平行四边形,然后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形解答.
19.【答案】400 54
【解析】解:(1)①100÷25%=400(名),
故答案为400;
②A阅读数学名著400×15%=60(名),
∴C制作数学模型400−60−100−140−40=60(名),
补全统计图如下:
③α=360°×60400=54°,
故答案为:54;
(2)D项目的学生:1100×140400=385(名);
(3)
男1
男2
男3
女1
女2
男1
(男1,男2)
(男1,男3)
(男1,女1)
(男1,女2)
男2
(男2,男1)
(男2,男3)
(男2,女1)
(男2,女2)
男3
(男3,男1)
(男3,男2)
(男3,女1)
(男3,女2)
女1
(女1,男1)
(女1,男2)
(女1,男3)
(女1,女2)
女2
(女2,男1)
(女2,男2)
(女2,男3)
(女2,女1)
共有20种等可能的情况,其中抽到2名男生的情况数为6种,
∴P=620=310.
(1)①根据B讲述数学故事的名数是100名,所占的比例是25%,据此即可求得此次调查的学生人数;②用总人数乘以A项所占百分比即可得阅读数学名著的人数,再用总人数减去A、B、D、E的人数即可得C的人数,从而画出条形统计图;③将360°乘以C所占百分比即可得解;
(2)利用总人数1100乘以对应的百分比即可求得;
(3)根据题意画出树状图即可得解.
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用以及利用树状图求概率率,读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.
20.【答案】解:作DF⊥AC于F.
∵∠DAC=30°,AD=200米,
∴DF=12AD=12×200=100(米),
∵∠DEC=∠BCA=∠DFC=90°,
∴四边形DECF是矩形,
∴EC=DF=100(米),
∵∠BAC=45°,BC⊥AC,
∴∠ABC=45°,
∵∠BDE=60°,DE⊥BC,
∴∠DBE=90°−∠BDE=90°−60°=30°,
∴∠ABD=∠ABC−∠DBE=45°−30°=15°,
∠BAD=∠BAC−∠DAC=45°−30°=15°,
∴∠ABD=∠BAD,
∴AD=BD=200(米),
在Rt△BDE中,
sin∠BDE=BEBD,
∴BE=BD⋅sin∠BDE=200× 32=100 3(米),
∴BC=BE+EC=100+100 3(米).
【解析】作DF⊥AC于F.解直角三角形分别求出BE、EC即可解决问题.
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题,坡度坡角问题等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,属于中考常考题型.
21.【答案】解:(1)点A,B是反比例函数y1=kx(k≠0,x>0)图象上,AC⊥x轴于点C,BD⊥x轴于点D,点C(2,0),
∴点A(2,k2),
∵BD=3,
∴B(k3,3),
即点D(k3,0),
∵S△BCD=12CD⋅BD=3,
∴CD=2,
即CD=k3−2=2,
解得,k=12,
∴反比例函数解析式为y=12x,
∴A(2,6),B(4,3),
∴点B的坐标为(4,3),反比例函数解析式为y=12x;
(2)已知点A(2,6),B(4,3),
∴由图象可知,当0
当x≥4时,ax+b≤kx,
即ax+b−kx≤0;
综上所述,当0
(2)根据(1)可求出点A,B的坐标,根据图象即可求解.
本题主要考查反比例函数与一次函数的综合,理解图示的意义,掌握待定系数法求解析式,一次函数以反比例函数交点的含义及计算是解题的关键.
22.【答案】(300−10x) y1=−10x2+100x+6000 0≤x≤30,且x为整数 y2=−20a2+100m+6000
【解析】解:(1)进价为40元/件,按60元/件销售,每星期可卖出300件,每涨价1元,每星期比销售量300件要少卖出10件,设每件涨价x(x≥0)元,
∴现在每件的销售价格为:(60+x)元,销售量为:(300−10x)件,每件的利润为60+x−40=x+20元,
∴y1=(x+20)(300−10x)=−10x2+100x+6000,即y1=−10x2+100x+6000,
∵300−10x≥0,则x≤30,
∴0≤x≤30,且x为整数,
故答案为:(300−10x),y1=−10x2+100x+6000,0≤x≤30,且x为整数.
(2)进价为40元/件,按60元/件销售,每星期可卖出300件,每降价1元,每星期比销售量300件要多卖出20件,设每件降价0≤a元,
∴现在销售价为:(60−a),销售量为:(300+20a)件,每件的利润为:60−a−40=20−a元,
∴y2=(20−a)(300+20a)=−20a2+100m+6000,即y2=−20a2+100m+6000,
故答案为:y2=−20a2+100m+6000.
(3)由(1)可知,y1=−10x2+100x+6000,0≤x<30(x为整数),
∴y1=−10x2+100x+6000=−10(x−5)2+6250,
∴当x=5时,商品的利润最大,最大利润y1=6250,
∴商品的定价为65元时,销售利润最大,最大为6250元.
(1)根据每涨价1元,每星期比小丽所调查的销售量300件要少卖出10件,由此即可求解;
(2)根据每降价1元,每星期比小丽所调查的销售量300件要多卖出20件,由此即可求解;
(3)根据(1)中数量关系,将y1=−10x2+100x+6000变形为顶点式,即可求解.
本题主要考查二次函数与销售问题的综合,理解题目中的数量关系,列方程解方程是解题的关键.
23.【答案】(1)证明:如图,连接OC,OD.
∵OC=OD,
∴∠OCD=∠ODC.
∵FC=FE,
∴∠FCE=∠FEC.
∵∠OED=∠FEC,
∴∠OED=∠FCE.
∵AB是⊙O的直径,D是AB的中点,
∴∠DOE=90°.
∴∠OED+∠ODC=90°.
∴∠FCE+∠OCD=90°,即∠OCF=90°.
∴OC⊥CF.
∵OC是半径,
∴CF为⊙O的切线.
(2)解:如图,连接BC,过G作GH⊥AB,垂足为H.
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠OBC+∠FAC=90°,
∵OC=OB,
∴∠OBC=∠OCB,
∵∠FCO=∠FCB+∠OCB=90°,
∴∠FCB=∠FAC,
∵∠F=∠F,
∴△FCB∽△FAC,
∴FCFA=BCAC,FCFA=FBFC,
∵CF=4,tan∠BDC=tan∠BAC=BCAC=12,
∴AF=8,
∴48=FB4,解得FB=2,
设⊙O的半径为r,则AF=2r+2=8.
解之得r=3.
∵GH⊥AB,
∴∠GHB=90°.
∵∠DOE=90°,
∴∠GHB=∠DOE.
∴GH//DO.
∴△BHG∽△BOD
∴BHBO=BGBD.
∵G为BD中点,
∴BG=12BD.
∴BH=12BO=32,GH=12OD=32.
∴AH=AB−BH=6−32=92.
∴AG= GH2+AH2= (32)2+(92)2=32 10.
【解析】(1)连接OC,OD.由∠OCD=∠ODC,FC=FE,可得∠OED=∠FCE,由AB是⊙O的直径,D是AB的中点,∠DOE=90°,进而可得∠OCF=90°,即可证明CF为⊙O的切线;
(2)连接BC,过G作GH⊥AB,垂足为H.利用相似三角形的性质求出BF=2,设⊙O的半径为r,则OF=r+2.在Rt△OCF中,勾股定理求得r=3,证明GH//DO,得出△BHG∽△BOD,根据BHBO=BGBD,求得BH,GH,进而求得AH,根据勾股定理即可求得AG.
本题考查了切线的判定,勾股定理,相似三角形的性质与判定,综合运用以上知识是解题的关键.
24.【答案】解:(1)∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的一个交点为(1,0),且过(−1,4)和(0,3),
∴a−b+c=4a+b+c=0c=3,
解得a=−1b=−2c=3,
∴二次函数的表达式为y=−x2−2x+3,
∴二次函数化为顶点式为y=−(x+1)2+4,
∴二次函数顶点为(−1,4);
(2)如图:
将二次函数y=−x2−2x+3,的图象向右平移m(m>0)个单位得y=−(x−m+1)2+4的图象,
∴新图象的对称轴为直线x=m−1,
∵当−1
解得3≤m≤5,
∵m是整数,
∴m=3,或m=4或m=5,
∴y=−(x−2)2+4或y=−(x−3)2+4或y=−(x−4)2+4,
∴符合条件的新函数的解析式为y=−x2+4x或y=−x2+6x−5或y=−x2+8x−12;
(3)当Q在M左侧时,过Q作QH⊥PM于H,如图,
∵点P、Q的横坐标分别是k、k+1,
∴yP=−k2−2k+3,yQ=−(k+1)2−2(k+1)+3=−k2−4k,
∴P(k,−k2−2k+3),Q(k+1,−k2−4k),
∵点M与点P关于该抛物线的对称轴对称,而抛物线对称轴为直线x=−1,
∴M(−k−2,−k2−2k+3),
QH=|−k2−4k−(−k2−2k+3)|=|−2k−3|,MH=|(−2−k)−(k+1)|=|−2k−3|,
∴QH=MH,
∴△QHM是等腰直角三角形,
∴∠HMQ=45°,即∠PMQ=45°,
当Q在M右侧时,如图,
同理可得△QHM是等腰直角三角形,∠HMQ=45°,
∴∠PMQ=180°−∠QMH=135°,
综上所述,∠PMQ的度数是45°或135°.
【解析】(1)根据二次函数上的三个点的坐标列方程组即可求得a、b、c的值,进而求得二次函数表达式及顶点坐标;
(2)将二次函数y=−x2−2x+3的图象向右平移m(m>0)个单位得y=−(x−m+1)2+4新图象的对称轴为直线x=m−1,由−1
本题考查二次函数综合应用,涉及待定系数法,抛物线的平移变换,等腰直角三角形的判定等知识,掌握数形结合的思想是解题的关键.
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