2023年内蒙古呼伦贝尔市、兴安盟中考数学试卷（Word版附解析）

这是一份2023年内蒙古呼伦贝尔市、兴安盟中考数学试卷（Word版附解析），共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）﹣5的倒数是（ ）
A．15B．-15C．﹣5D．5
2．（3分）由大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．3+23=26B．（﹣a2）3＝a6
C．12a+1a=23aD．13ab÷b3a=1b2
4．（3分）将一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点C在FD的延长线上，且AB∥FC，则∠CBD的度数为（ ）
A．10°B．15°C．20°D．25°
5．（3分）不等式x﹣1＜5的正整数解的个数有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
6．（3分）下列命题正确的是（ ）
A．“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是必然事件
B．3.14精确到十分位
C．点（﹣2，﹣3）关于x轴的对称点坐标是（﹣2，3）
D．甲、乙两人参加环保知识竞赛，他们的平均成绩相同，方差分别是S甲2＝2.25，S乙2＝1.81，则甲成绩比乙的稳定
7．（3分）某校举行篮球赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分．某队在12场比赛中得20分．设该队胜x场，负y场，则根据题意，列出关于x、y的二元一次方程组正确的是（ ）
A．x+y=20x+2y=12B．x+y=12x+2y=20
C．x+y=202x+y=12D．x+y=122x+y=20
8．（3分）若实数m，n是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，且m＜n，则点（m，n）所在象限为（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
9．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝120°，顺次连接菱形ABCD各边中点E、F、G、H，则四边形EFGH的周长为（ ）
A．4+23B．6+23C．4+43D．6+43
10．（3分）如图，直线y＝ax+b（a≠0）与双曲线y=kx（k≠0）交于点A（﹣2，4）和点B（m，﹣2），则不等式0＜ax+b＜kx的解集是（ ）
A．﹣2＜x＜4B．﹣2＜x＜0
C．x＜﹣2或0＜x＜4D．﹣2＜x＜0或x＞4
11．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，以点A为圆心，以AB的长为半径画弧交AC于点D，连接BD，再分别以点B，D为圆心，大于12BD的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BD于点M，交BC于点E，连接DE，则S△BDE：S△CDE是（ ）
A．1：2B．1：3C．2：5D．3：8
12．（3分）将矩形纸板剪掉一个小矩形后剩余部分如图1所示，动点P从点A出发，沿路径A→B→C→D→E→F匀速运动，速度为1cm/s，点P到达终点F后停止运动，△APF的面积S（cm2）（S≠0）与点P运动的时间t（s）的关系如图2所示，根据图象获取了以下的信息：
①AF＝5cm；
②a＝6；
③点P从点E运动到点F需要10s；
④矩形纸板裁剪前后周长均为34cm．
其中正确信息的个数有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
二、填空题（本题5个小题，每小题3分，共15分）
13．（3分）分解因式：x3﹣4x＝ ．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点B坐标（8，4），连接OB，将OB绕点O逆时针旋转90°，得到OB'，则点B′的坐标为 ．
15．（3分）实数m在数轴上对应点的位置如图所示，化简：(m-2)2= ．
16．（3分）如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以点A为圆心，AB为半径画弧BF，得到扇形BAF（阴影部分）．若扇形BAF正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是 ．
17．（3分）观察下列各式：
S1=1+112+122=1+11×2，S2=1+122+132=1+12×3，S3=1+132+142=1+13×4 …
请利用你所发现的规律，计算：S1+S2+…+S50＝ ．
三、解答题（本题4个小题，每小题6分，共24分）
18．（6分）计算：|8-2|+（π﹣2023）0+（-12）﹣2﹣2cs60°．
19．（6分）先化简，再求值：（2x+y）2+（x﹣y）（x+y）﹣5x（x﹣y），其中x=6-1，y=6+1．
20．（6分）如图，A，B两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形，转盘A上的数字分别是﹣6，﹣1，5，转盘B上的数字分别是6，﹣7，4（两个转盘除表面数字不同外，其他完全相同）．小聪和小明同时转动A，B两个转盘，使之旋转（规定：指针恰好停留在分界线上，则重新转一次）．
（1）转动转盘，转盘A指针指向正数的概率是 ；
（2）若同时转动两个转盘，转盘A指针所指的数字记为a，转盘B指针所指的数字记为b，若a+b＞0，则小聪获胜；若a+b＜0，则小明获胜；请用列表法或树状图法说明这个游戏是否公平．
21．（6分）某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD．如图所示，一架水平飞行的无人机在A处测得河流左岸C处的俯角为α，无人机沿水平线AF方向继续飞行12米至B处，测得河流右岸D处的俯角为30°，线段AM＝243米为无人机距地面的铅直高度，点M，C，D在同一条直线上，其中tanα＝2．求河流的宽度CD（结果精确到1米，参考数据：3≈1.7）．
四、（本题7分）
22．（7分）为了激发学生的航天兴趣，某校举行了太空科普知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下5组，A组：75≤x＜80，B组：80≤x＜85，C组：85≤x＜90，D组：90≤x＜95，E组：95≤x≤100，并绘制了如图不完整的统计图表．请结合统计图表，解答如下问题：
（1）本次调查的样本容量为 ，学生成绩统计表中m＝ ；
（2）所抽取学生成绩的中位数落在 组；
（3）求出扇形统计图中“E”所在扇形的圆心角度数；
（4）若成绩在90分及以上为优秀，学校共有2000名学生，估计该校成绩优秀的学生有多少名？
学生成绩统计表
五、（本题7分）
23．（7分）如图，AB是⊙O的直径，E为⊙O上的一点，点C是AE的中点，连接BC，过点C的直线垂直于BE的延长线于点D，交BA的延长线于点P．
（1）求证：PC为⊙O的切线；
（2）若PC＝22BO，PB＝10，求BE的长．
六、（本题9分）
24．（9分）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽礼盒的进价比肉粽礼盒的进价每盒便宜10元，某商家用2500元购进的肉粽和用2000元购进的豆沙粽盒数相同．
（1）求每盒肉粽和每盒豆沙粽的进价；
（2）商家计划只购买豆沙粽礼盒销售，经调查了解到有A，B两个厂家可供选择，两个厂家针对价格相同的豆沙粽礼盒给出了不同的优惠方案：
A厂家：一律打8折出售．
B厂家：若一次性购买礼盒数量超过25盒，超过的部分打7折．
该商家计划购买豆沙粽礼盒x盒，设去A厂家购买应付y1元，去B厂家购买应付y2元，其函数图象如图所示：
①分别求出y1，y2与x之间的函数关系；
②若该商家只在一个厂家购买，怎样买划算？
七、（本题9分）
25．（9分）已知正方形ABCD，E是对角线AC上一点．
（1）如图1，连接BE，DE．求证：△ABE≌△ADE；
（2）如图2，F是DE延长线上一点，DF交AB于点G，BF⊥BE．判断△FBG的形状并说明理由；
（3）在第（2）题的条件下，BE＝BF＝2．求AEAB的值．
八、（本题13分）
26．（13分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的交点分别为A和B（1，0）（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，3），点P是直线AC上方抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，过点P做x轴平行线交AC于点E，过点P做y轴平行线交x轴于点D，求PE+PD的最大值及点P的坐标；
（3）如图2，设点M为抛物线对称轴上一动点，当点P，点M运动时，在坐标轴上确定点N，使四边形PMCN为矩形，求出所有符合条件的点N的坐标．
2023年内蒙古呼伦贝尔市、兴安盟中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（下列各题的四个选项中只有一个正确．共12小题，每小题3分，共36分）
1．（2023·呼伦贝尔市、兴安盟）﹣5的倒数是（ ）
A．15B．-15C．﹣5D．5
【解析】∵（﹣5）×（-15）＝1，∴﹣5的倒数是-15．故选：B．
2．（2023·呼伦贝尔市、兴安盟）由大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（ ）
A．B．C．D．
【解析】从正方体搭成的几何体左侧观察得到的平面图形即是左视图．
只有B选项符合条件．故选：B．
3．（2023·呼伦贝尔市、兴安盟）下列运算正确的是（ ）
A．3+23=26B．（﹣a2）3＝a6
C．12a+1a=23aD．13ab÷b3a=1b2
【解析】A．3+23=33≠26，故该选项不正确，不符合题意；
B．（﹣a2）3＝﹣a6≠a6，故该选项不正确，不符合题意；
C．12a+1a=12a+22a=32a≠23a，故该选项不正确，不符合题意；
D.13ab÷b3a=13ab×3ab=1b2，故该选项正确，符合题意；故选：D．
4．（2023·呼伦贝尔市、兴安盟）将一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点C在FD的延长线上，且AB∥FC，则∠CBD的度数为（ ）
A．10°B．15°C．20°D．25°
【解析】∵AB∥FC，∴∠ABD＝∠EDF＝45°，
又∵∠CBD＝∠ABD﹣∠ABC，∴∠CBD＝45°﹣30°＝15°，故选：B．
5．（2023·呼伦贝尔市、兴安盟）不等式x﹣1＜5的正整数解的个数有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【解析】x﹣1＜5，即x＜5+1，又知5≈2.236，即x＜5+1≈3.236，
故正整数解为3，2，1．故选：A．
6．（2023·呼伦贝尔市、兴安盟）下列命题正确的是（ ）
A．“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是必然事件
B．3.14精确到十分位
C．点（﹣2，﹣3）关于x轴的对称点坐标是（﹣2，3）
D．甲、乙两人参加环保知识竞赛，他们的平均成绩相同，方差分别是S甲2＝2.25，S乙2＝1.81，则甲成绩比乙的稳定
【解析】A、“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是随机事件，故本选项命题错误，不符合题意；
B、3.14精确到百分位，故本选项命题错误，不符合题意；
C、点（﹣2，﹣3）关于x轴的对称点坐标是（﹣2，3），命题正确，符合题意；
D、甲、乙两人参加环保知识竞赛，他们的平均成绩相同，方差分别是S甲2＝2.25，S乙2＝1.81，则乙成绩比甲的稳定，故本选项命题错误，不符合题意；
故选：C．
7．（2023·呼伦贝尔市、兴安盟）某校举行篮球赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分．某队在12场比赛中得20分．设该队胜x场，负y场，则根据题意，列出关于x、y的二元一次方程组正确的是（ ）
A．x+y=20x+2y=12B．x+y=12x+2y=20
C．x+y=202x+y=12D．x+y=122x+y=20
【解析】由题意可得，x+y=122x+y=20．故选：D．
8．（2023·呼伦贝尔市、兴安盟）若实数m，n是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，且m＜n，则点（m，n）所在象限为（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解析】由题意，∵m，n是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，
∴m+n＝2＞0，mn＝﹣3＜0．∴m，n异号，且m，n中绝对值较大的为正．
又m＜n，∴m＜0，n＞0．∴（m，n）在第二象限．故选：B．
9．（2023·呼伦贝尔市、兴安盟）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝120°，顺次连接菱形ABCD各边中点E、F、G、H，则四边形EFGH的周长为（ ）
A．4+23B．6+23C．4+43D．6+43
【解析】连接AC、BD交于O，
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，∴∠ABC＝60°，
∵AB＝BC，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝4，
∵∠AOB＝90°，∴∠ABO＝30°，BO＝OD＝23，∴BD＝43，
∵点E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边的中点，
∴EF＝GH=12AC＝2，FG＝EH=12BD＝23，
∴四边形EFGH的周长为：2+2+23+23=4+43．故选：C．
10．（2023·呼伦贝尔市、兴安盟）如图，直线y＝ax+b（a≠0）与双曲线y=kx（k≠0）交于点A（﹣2，4）和点B（m，﹣2），则不等式0＜ax+b＜kx的解集是（ ）
A．﹣2＜x＜4B．﹣2＜x＜0
C．x＜﹣2或0＜x＜4D．﹣2＜x＜0或x＞4
【解析】∵A（﹣2，4）在反比例函数图象上，∴k＝xy＝﹣2×4＝﹣8，
∴反比例函数解析式为：y=-8x，
又∵B（m，﹣2）在y=-8x图象上，∴m＝4，∴B（4，﹣2），
∵点A（﹣2，4）、B（4，﹣2）在一次函数y＝ax+b的图象上，
∴-2a+b=44a+b=-2，解得a=-1b=2，一次函数解析式为：y＝﹣x+2．
由图象可知，不等式0＜ax+b＜kx的解集﹣2＜x＜0．故选：B．
11．（2023·呼伦贝尔市、兴安盟）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，以点A为圆心，以AB的长为半径画弧交AC于点D，连接BD，再分别以点B，D为圆心，大于12BD的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BD于点M，交BC于点E，连接DE，则S△BDE：S△CDE是（ ）
A．1：2B．1：3C．2：5D．3：8
【解析】∵∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，∴AB：AC＝sinC＝1：2，
由题意得：AP平分∠BAC，∴AB：AC＝BE：CE＝1：2，∴S△BDE：S△CDE＝1：2，
故选：A．
12．（2023·呼伦贝尔市、兴安盟）将矩形纸板剪掉一个小矩形后剩余部分如图1所示，动点P从点A出发，沿路径A→B→C→D→E→F匀速运动，速度为1cm/s，点P到达终点F后停止运动，△APF的面积S（cm2）（S≠0）与点P运动的时间t（s）的关系如图2所示，根据图象获取了以下的信息：
①AF＝5cm；②a＝6；③点P从点E运动到点F需要10s；
④矩形纸板裁剪前后周长均为34cm．
其中正确信息的个数有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【解析】①由图象可知，当点P运动到点B处时，△PAF的面积是5，12×AF×AP=5，AF＝5，AB＝2，正确；③由图象可知当点P运动到点D处时，三角形面积是25，12AF•EF＝25，EF＝10，正确；
②由图象可知，当点P从点C到点D处，用时是8秒，BC段运动时长13﹣10＝3秒，a＝2+3＝5，错误；
④DE＝AF+BC＝5+3＝8，EF＝10，周长＝18×2＝36，错误．正确①③，故选：C．
二、填空题（本题5个小题，每小题3分，共15分）
13．（2023·呼伦贝尔市、兴安盟）分解因式：x3﹣4x＝ x（x+2）（x﹣2） ．
【解析】x3﹣4x，＝x（x2﹣4）＝x（x+2）（x﹣2）．
14．（2023·呼伦贝尔市、兴安盟）如图，在平面直角坐标系中，点B坐标（8，4），连接OB，将OB绕点O逆时针旋转90°，得到OB'，则点B′的坐标为 （﹣4，8） ．
【解析】分别过点B、B′向x轴作垂线，垂足分别为M、N．
（方法一）∵∠BOB′＝90°，∴∠BOM+∠B′ON＝90°．
又∵∠BOM+∠OBM＝90°，∴∠B′ON＝∠OBM．
在Rt△OMB和Rt△B′NO中，∠OMB=∠B'NO∠OBM=∠B'ONOB=B'O，
∴Rt△OMB≌Rt△B′NO（AAS），∴B′N＝OM＝8，ON＝BM＝4，
∴点B′的坐标为（﹣4，8）．
（方法二）根据题意，得OB′＝OB=OM2+BM2=82+42=45．
sin∠BOM＝sin（90°﹣∠B′ON）＝cs∠B′ON=BMOB=445=55，
cs∠BOM＝cs（90°﹣∠B′ON）＝sin∠B′ON=OMOB=845=255．
∴ON＝OB′•cs∠B′ON＝45×55=4，B′N＝OB′•sin∠B′ON＝45×255=8．
∴点B′的坐标为（﹣4，8）．
15．（2023·呼伦贝尔市、兴安盟）实数m在数轴上对应点的位置如图所示，化简：(m-2)2= 2﹣m ．
【解析】由数轴可知：1＜m＜2，∴m﹣2＜0，∴(m-2)2=|m﹣2|＝2﹣m．
16．（2023·呼伦贝尔市、兴安盟）如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以点A为圆心，AB为半径画弧BF，得到扇形BAF（阴影部分）．若扇形BAF正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是 23 ．
【解析】∵正六边形的外角和为360°，∴每一个外角的度数为360°÷6＝60°，
∴正六边形的每个内角为180°﹣60°＝120°．
设这个圆锥底面圆的半径是r，根据题意得，2πr=120π×2180，解得，r=23．
17．（2023·呼伦贝尔市、兴安盟）观察下列各式：
S1=1+112+122=1+11×2，S2=1+122+132=1+12×3，S3=1+132+142=1+13×4 …
请利用你所发现的规律，计算：S1+S2+…+S50＝ 505051 ．
【解析】S1+S2+…+S50＝1+11×2+1+12×3+1+13×4+...+1+150×51
＝（1+1+1+...+1）+（11×2+12×3+13×4+...+150×51）
＝1×50+（1-12+12-13+13-14+...+150-151）
＝50+（1-151）＝50+5051＝505051.
三、解答题（本题4个小题，每小题6分，共24分）
18．（2023·呼伦贝尔市、兴安盟）计算：|8-2|+（π﹣2023）0+（-12）﹣2﹣2cs60°．
解：原式＝22-2+1+4﹣2×12＝22-2+1+4﹣1＝22+2．
19．（2023·呼伦贝尔市、兴安盟）先化简，再求值：（2x+y）2+（x﹣y）（x+y）﹣5x（x﹣y），其中x=6-1，y=6+1．
解：原式＝4x2+4xy+y2+x2﹣y2﹣5x2+5xy＝9xy，
当x=6-1，y=6-1时，原式＝9（6-1）（6+1）＝9×（6﹣1）＝45．
20．（2023·呼伦贝尔市、兴安盟）如图，A，B两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形，转盘A上的数字分别是﹣6，﹣1，5，转盘B上的数字分别是6，﹣7，4（两个转盘除表面数字不同外，其他完全相同）．小聪和小明同时转动A，B两个转盘，使之旋转（规定：指针恰好停留在分界线上，则重新转一次）．
（1）转动转盘，转盘A指针指向正数的概率是 13 ；
（2）若同时转动两个转盘，转盘A指针所指的数字记为a，转盘B指针所指的数字记为b，若a+b＞0，则小聪获胜；若a+b＜0，则小明获胜；请用列表法或树状图法说明这个游戏是否公平．
解：（1）∵A带指针的转盘被分成三个面积相等的扇形，转盘上的数字分别是﹣6，﹣1，5，其中正数有1个，
∴P（转动转盘，转盘A指针指向正数）=13，故答案为：13；
（2）列表如下：
一共有9种等可能的结果，其中a+b＞0有4种可能的结果，a+b＜0有4种等可能的结果，∴P（小聪获胜）=49，P（小明获胜）=49，
∵P（小聪获胜）＝P（小明获胜），∴这个游戏公平．
21．（2023·呼伦贝尔市、兴安盟）某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD．如图所示，一架水平飞行的无人机在A处测得河流左岸C处的俯角为α，无人机沿水平线AF方向继续飞行12米至B处，测得河流右岸D处的俯角为30°，线段AM＝243米为无人机距地面的铅直高度，点M，C，D在同一条直线上，其中tanα＝2．求河流的宽度CD（结果精确到1米，参考数据：3≈1.7）．
解：过点B作BE⊥MD于点E．则四边形AMEB是矩形．
∴BE＝AM＝243，ME＝AB＝12米，
∵AF∥MD，∴∠ACM＝α．
在Rt△AMC中，∠AMC＝90°，∴tanα=AMMC=2，∴243MC=2，∴MC＝123米，
在Rt△BDE中，∠BED＝90°，∠DBE＝90°﹣30°＝60°，
∴tan∠DBE=DEBE，∴tan60°=DE243=3，∴DE＝243×3=72（米），
CD＝DE﹣CE＝DE﹣（MC﹣ME）＝72﹣（123-12）＝84﹣123≈84﹣12×1.7＝84﹣20.4＝64（米）．
答：河流的宽度CD约为64米．
四、（本题7分）
22．（2023·呼伦贝尔市、兴安盟）为了激发学生的航天兴趣，某校举行了太空科普知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下5组，A组：75≤x＜80，B组：80≤x＜85，C组：85≤x＜90，D组：90≤x＜95，E组：95≤x≤100，并绘制了如图不完整的统计图表．请结合统计图表，解答如下问题：
（1）本次调查的样本容量为 400 ，学生成绩统计表中m＝ 176 ；
（2）所抽取学生成绩的中位数落在 C 组；
（3）求出扇形统计图中“E”所在扇形的圆心角度数；
（4）若成绩在90分及以上为优秀，学校共有2000名学生，估计该校成绩优秀的学生有多少名？
学生成绩统计表
解：（1）本次调查的样本容量为144÷36%＝400（人），学生成绩统计表中m＝400×44%＝176，
故答案为：400，176；
（2）∵B组的人数为176人，
∴所抽取学生成绩的中位数是第200个和第201个成绩的平均数，A，B组的人数和为：20+176＝196（人），C组人数为144人，∴所抽取学生成绩的中位数落在C组；
故答案为：C；
（3）∵n＝400﹣20﹣176﹣144﹣45＝15，∴360°×15400=13.5°，
答：扇形统计图中“E”所在扇形的圆心角度数13.5°；
（4）2000×45+15400=300（名）．
答：估计该校成绩优秀的学生有300名．
五、（本题7分）
23．（2023·呼伦贝尔市、兴安盟）如图，AB是⊙O的直径，E为⊙O上的一点，点C是AE的中点，连接BC，过点C的直线垂直于BE的延长线于点D，交BA的延长线于点P．
（1）求证：PC为⊙O的切线；
（2）若PC＝22BO，PB＝10，求BE的长．
（1）证明：连接OC，∵点C是AE的中点，∴∠ABC＝∠DBC，
∵OC＝OB，∴∠ABC＝∠OCB，∴∠DBC＝∠OCB，∴OC∥DB，
∵PD⊥BD，∴PD⊥CO，∴PC为⊙O的切线；
（2）解：连接AE，设OB＝OC＝r，
∵PC＝22BO＝22r，∴OP=r2+(22⋅r)2=3r，
∵PB＝10，∴3r+r＝10，即r=52．
∵OC∥DB，∴△PCO∽△PDB，∴OCBD=POPB，∴52BD=15210，∴BD=103，
∵AB是⊙O的直径，∴AE⊥BD，∴AE∥PD，∴BEBD=BABP，∴BE103=510，∴BE=53．
六、（本题9分）
24．（2023·呼伦贝尔市、兴安盟）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽礼盒的进价比肉粽礼盒的进价每盒便宜10元，某商家用2500元购进的肉粽和用2000元购进的豆沙粽盒数相同．
（1）求每盒肉粽和每盒豆沙粽的进价；
（2）商家计划只购买豆沙粽礼盒销售，经调查了解到有A，B两个厂家可供选择，两个厂家针对价格相同的豆沙粽礼盒给出了不同的优惠方案：
A厂家：一律打8折出售．
B厂家：若一次性购买礼盒数量超过25盒，超过的部分打7折．
该商家计划购买豆沙粽礼盒x盒，设去A厂家购买应付y1元，去B厂家购买应付y2元，其函数图象如图所示：
①分别求出y1，y2与x之间的函数关系；
②若该商家只在一个厂家购买，怎样买划算？
解：（1）设每盒肉粽和每盒豆沙粽的进价分别为x元和y元．
根据题意，得x-y=102500x=2000y，解得x=50y=40．
∴每盒肉粽和每盒豆沙粽的进价分别为50元40元．
（2）①根据题意，得：y1＝0.8×40x＝32x；
当x≤25时，y2＝40x；当x＞25时，y2＝25×40+0.7×40（x﹣25）＝28x+300．
综上，y1＝32x；y2=40x(x≤25)28x+300(x＞25)．
②设y1和y2两函数图象交点的横坐标为x，则32x＝28x+300，解得x＝75．
根据函数图象可知：
当x＜75时，y1＜y2；当x＝75时，y1＝y2；当x＞75时，y2＜y1．
∴该商家购买豆沙粽礼盒的数量若少于75盒，从A厂家购买比较划算；若等于75盒，从A和B两个厂家任选一家即可；若超过75盒，从B厂家购买比较划算．
七、（本题9分）
25．（2023·呼伦贝尔市、兴安盟）已知正方形ABCD，E是对角线AC上一点．
（1）如图1，连接BE，DE．求证：△ABE≌△ADE；
（2）如图2，F是DE延长线上一点，DF交AB于点G，BF⊥BE．判断△FBG的形状并说明理由；
（3）在第（2）题的条件下，BE＝BF＝2．求AEAB的值．
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝CB＝CD，∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴∠BAC＝∠BCA＝∠DAC＝∠DCA＝45°，
在△ABE和△ADE中，AB=AD∠BAE=∠DAEAE=AE，∴△ABE≌△ADE（SAS）．
（2）解：△FBG是等腰三角形，理由如下：
∵△ABE≌△ADE，∴∠ABE＝∠ADE，
∴∠ABC﹣∠ABE＝∠ADC﹣∠ADE，∴∠EBC＝∠EDC，
∵AB∥CD，∴∠FGB＝∠EDC，∴∠FGB＝∠EBC，
∵BF⊥BE，∴∠FBE＝90°，∴∠FBG＝∠EBC＝90°﹣∠ABE，
∴∠FGB＝∠FBG，∴BF＝GF，∴△FBG是等腰三角形．
（3）解：∵BE＝BF＝2，∠FBE＝90°，∴∠F＝∠BEF＝45°，
∴∠BAC＝∠F，∴∠AEG＝∠AGF﹣∠BAC＝∠AGF﹣∠F＝∠FBG，
∵∠AGE＝∠FGB，且∠FGB＝∠FBG，∴∠AGE＝∠AEG，∴AE＝AG，
∵EF=BE2+BF2=22+22=22，BF＝GF＝2，∴GE＝EF﹣GF＝22-2，
∵△ABE≌△ADE，∴BE＝DE＝2，
∵AG∥CD，∴△AGE∽△CDE，∴AGCD=GEDE=22-22=2-1，
∴AEAB=2-1，∴AEAB的值为2-1．
八、（本题13分）
26．（2023·呼伦贝尔市、兴安盟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的交点分别为A和B（1，0）（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，3），点P是直线AC上方抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，过点P做x轴平行线交AC于点E，过点P做y轴平行线交x轴于点D，求PE+PD的最大值及点P的坐标；
（3）如图2，设点M为抛物线对称轴上一动点，当点P，点M运动时，在坐标轴上确定点N，使四边形PMCN为矩形，求出所有符合条件的点N的坐标．
解：（1）把B（1，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c得：-1+b+c=0c=3，解得b=-2c=3，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）在y＝﹣x2﹣2x+3中，令y＝0得0＝﹣x2﹣2x+3，解得x＝﹣3或x＝1，∴A（﹣3，0），
由A（﹣3，0），C（0，3）得直线AC解析式为y＝x+3，
设P（t，﹣t2﹣2t+3），则D（t，0），E（﹣t2﹣2t，﹣t2﹣2t+3），
∴PD+PE＝﹣t2﹣2t+3+（﹣t2﹣2t）﹣t＝﹣2t2﹣5t+3＝﹣2（t+54）2+498，
∵﹣2＜0，∴当t=-54时，PD+PE取最大值498，此时P（-54，6316）；
（3）设M（﹣1，m），P（t，﹣t2﹣2t+3），
设PC的中点为K（12t，-12t2﹣t+3），
∵N点、M点的中点为K，∴N（t+1，﹣t2﹣2t+6﹣m），
∵N点在坐标轴上，∴t+1＝0或﹣t2﹣2t+6﹣m＝0，
当t＝﹣1时，此时PM∥y轴，
∵四边形PMCN是矩形，∴PM⊥MC，∴M（﹣1，3），∴N（0，4）；
当﹣t2﹣2t+6﹣m＝0时，N点在x轴上，如图，
过点P作PH⊥x轴交于H，
∵∠PNC＝90°，∴∠PNH+∠CNO＝90°，∠PNH+∠PHN＝90°，
∴∠CNO＝∠PHN，∴△PHN∽△NOC，
∴PHNO=HNCO，即-t2-2t+3-t-1=13，解得t=-5-1456或t=-5+1456，
∴P点在直线AC上方，∴﹣3＜t＜0，∴t=-5-1456，∴N（1-1456，0）；
综上所述：N点坐标为（0，4）或（1-1456，0）．
组别
成绩x
频数
A
75≤x＜80
20
B
80≤x＜85
m
C
85≤x＜90
144
D
90≤x＜95
45
E
95≤x≤100
n
﹣6
﹣1
5
6
0
5
11
﹣7
﹣13
﹣8
﹣2
4
﹣2
3
9
组别
成绩x
频数
A
75≤x＜80
20
B
80≤x＜85
m
C
85≤x＜90
144
D
90≤x＜95
45
E
95≤x≤100
n