【知识清单】人教A版（2019）高中数学必修二第十章概率（含训练题+答案解析）

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第十章 概率 知识点一 随机试验与样本空间1 1.随机试验①对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示②研究具有以下特点的随机试验：试验可以在相同条件下重复进行；试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果2.样本空间把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间，一般地，用Ω表示样本空间，用ω表示样本点，如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间.重点题型一1.掷两枚骰子，所得点数之和记为X，那么X＝4表示的随机试验结果是(　　)A．一枚是3点，一枚是1点B．一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点C．两枚都是4点D．两枚都是2点2.在一个袋子中装有分别标注1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随机取出2个小球，则取出小球标注的数字之差的绝对值为2或4的事件包含的样本点个数为(　　)A．2 B．4 C．6 D．8知识点二 随机事件2随机事件、必然事件、不可能事件①一般地，随机试验中每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示，把样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为样本点，随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生②Ω作为自身的子集，包含了所有样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，称Ω为必然事件③空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，称为不可能事件重点题型二 1．下列事件中，随机事件的个数为(　　)①明天是阴天；②方程x2＋2x＋5＝0有两个不相等的实根；③明年长江武汉段的最高水位是29.8 m；④三角形中任意两边的和大于第三边．A．1 B．2 C．3 D．42．一个口袋中装有大小和形状都相同的一个白球和一个黑球，那么“从中任意摸一个球得到白球”，这个事件是(　　)A．随机事件 B．必然事件C．不可能事件 D．不能确定3．在10名学生中，男生有x名，现从这10名学生中任选6名去参加某项活动：①至少有1名女生；②5名男生，1名女生；③3名男生，3名女生．若要使①为必然事件、②为不可能事件、③为随机事件，则x为(　　)A．5 B．6C．3或4 D．5或6知识点三 事件的关系31.定义2含义：重点题型三1.对一箱产品进行随机抽查检验，如果查出2个次品就停止检查，最多检查3个产品．(1)写出该试验的样本空间Ω，并用样本点表示事件：A＝{有2个产品是次品}，B＝{至少有2个正品}；(2)用集合的形式表示事件A∪B；(3)试判断事件C＝{至少1个产品是正品}与事件B的关系．2.如果事件A，B互斥，那么(　　)A．A∪B是必然事件 B.eq \o(A,\s\up6(－))∪eq \o(B,\s\up6(－))是必然事件C.eq \o(A,\s\up6(－))与eq \o(B,\s\up6(－))一定互斥 D.eq \o(A,\s\up6(－))与eq \o(B,\s\up6(－))一定不互斥知识点四 事件的运算41.定义2.含义重点题型四1.在掷骰子的试验中，可以定义许多事件．例如，事件C1＝{出现1点}，事件C2＝{出现2点}，事件C3＝{出现3点}，事件C4＝{出现4点}，事件C5＝{出现5点}，事件C6＝{出现6点}，事件D1＝{出现的点数不大于1}，事件D2＝{出现的点数大于3}，事件D3＝{出现的点数小于5}，事件E＝{出现的点数小于7}，事件F＝{出现的点数为偶数}，事件G＝{出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题．(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件；(2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件．2.掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则(　C　)A．A⊆BB．A＝BC．A∪B表示向上的点数是1或2或3D．A∩B表示向上的点数是1或2或33.从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1～10各10张)中，任取一张．(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．判断上面给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．知识点五 古典概型5 1.概率：对随机事件发生可能性大小的度量（数值）称为事件的概率.事件A的概率用P（A）表示2.古典概型：（有限性与等可能性是判断古典概型的两个重要依据）定义：一般地，若试验E有如下特征：①有限性：样本空间的样本点只有有限个②等可能性：每个样本点发生的可能性相等.我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型3.计算公式应用公式的关键是分清样本空间中样本点的个数及事件A中包含的样本点的个数一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝kn=n（A）n（Ω），其中n（A）和n（Ω）分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点的个数.重点题型五1.(1)4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的所有样本点数为(　　)A．2 B．3 C．4 D．6(2)连续掷3枚硬币，观察这3枚硬币落在地面上时是正面朝上还是反面朝上．①写出这个试验的所有样本点；②求这个试验的样本点的总数；③“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含哪些样本点？2.口袋中有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，4个人按顺序依次从中摸出一球，求样本点的总数．3.袋中有大小相同的3个白球，2个红球，2个黄球，每个球有一个区别于其他球的编号，从中随机摸出一个球．(1)把每个球的编号看作一个样本点建立的概率模型是不是古典概型？(2)把球的颜色作为划分样本点的依据，有多少个样本点？以这些样本点建立的概率模型是不是古典概型？4.下列概率模型：①在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点；②某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环；③某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲；④一只使用中的灯泡的寿命长短；⑤中秋节前夕，某市工商部门调查辖区内某品牌的月饼质量，给该品牌月饼评“优”或“差”．其中属于古典概型的是___．5.从1,2,3,4,5这5个数字中任取三个不同的数字，求下列事件的概率：(1)事件A＝{三个数字中不含1或5}；(2)事件B＝{三个数字中含1或5}．知识点六 概率的基本性质6性质1：对任意的事件A，都有P（A）≥0性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P（Ω）＝1，P（∅）＝0性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P（A∪B）＝P（A）＋P（B）性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P（B）＝1－P（A），P（A）＝1－P（B）性质5：如果A⊆B，那么P（A）≤P（B）性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P（A∪B）＝P（A）＋P（B）－P（A∩B）重点题型六1.某医院要派医生下乡义诊，派出医生的人数及其概率如下表所示：(1)求派出医生至多2人的概率；(2)求派出医生至少2人的概率．2.一盒中装有各色球12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球．从中随机取出1球，求：(1)取出1球是红球或黑球的概率；(2)取出的1球是红球或黑球或白球的概率．3.某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4.(1)求他乘火车或乘飞机去的概率；(2)求他不乘轮船去的概率．4.在数学考试中，小明的成绩(取整数)不低于90分的概率是0.18，在80～89分(包括89分)的概率是0.51，在70～79分(包括79分)的概率是0.15，在60～69分(包括69分)的概率是0.09，在60分以下的概率是0.07，计算：(1)小明在数学考试中成绩不低于70分的概率；(2)小明数学考试及格(60分及以上)的概率．知识点七 事件的相互独立性71.相互独立事件：对任意两个事件A与B，如果P（AB）＝P（A）P（B）成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立.2.相互独立事件的性质：如果事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B也相互独立.重点题型七1.根据资料统计，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.6，购买甲、乙两种保险相互独立，各车主间相互独立．(1)求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率；(2)求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率．2.甲、乙两人独立地破译某密码，他们能破译的概率分别为eq \f(1,3)和eq \f(1,4).求：(1)两人都能破译的概率；(2)两人都不能破译的概率；(3)恰有一人能破译的概率；(4)至多有一人能破译的概率．3.三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为eq \f(1,2)，eq \f(3,4)，eq \f(3,4)，将它们中的某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路，如图所示，求电路不发生故障的概率．知识点八 频率与概率81.频率的稳定性（频率是概率的估计值，概率是频率的稳定值）大量的试验证明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性.一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率f n（A）会逐渐稳定于事件A发生的概率P（A），我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此我们可以用频率f n（A）估计概率P（A）.2.随机模拟（1）随机数的产生应用计算器或计算机产生随机数时要特别注意遵照随机数产生的方法进行，切不可随意改变其步骤顺序和操作程序，否则会出现错误.①标号：把n个大小、形状相同的小球分别标上1，2，3，…，n②搅拌：放入一个袋中，把它们充分搅拌③摸取：从中摸出一个.这个球上的数就称为从1～n之间的随机整数，简称随机数.（2）伪随机数的产生①规则：依照确定的算法.②特点：具有周期性（周期很长）③性质：它们具有类似随机数的性质.计算机或计算器产生的随机数并不是真正的随机数，我们称为伪随机数.（3）产生随机数的常用方法：①用计算器产生；②用计算机产生；③抽签法.（4）随机模拟方法（蒙特卡洛方法）：利用计算机或计算器产生的随机数来做模拟试验，通过模拟试验得到的频率来估计概率，这种用计算机或计算器模拟试验的方法称为随机模拟方法或蒙特卡洛方法重点题型八1.某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：小时)进行了统计，统计结果如表所示：(1)求各组的频率；(2)根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1500小时的概率．2.有人对甲、乙两名网球运动员训练中一发成功次数做了统计，结果如下表：请根据以上表格中的数据回答下列问题：(1)分别计算出两位运动员一发成功的频率，完成表格；(2)根据(1)中计算的结果估计两位运动员一发成功的概率．3.天气预报说，在接下来的一个星期里，每天涨潮的概率为20%，请设计一个模拟试验计算下个星期恰有2天涨潮的概率．4.甲、乙两支篮球队进行一局比赛，甲获胜的概率为0.6，若采用三局两胜制举行一次比赛，现采用随机模拟的方法估计乙获胜的概率．先利用计算器或计算机生成0到9之间取整数值的随机数，用0,1,2,3,4,5表示甲获胜；6,7,8,9表示乙获胜，这样能体现甲获胜的概率为0.6.因为采用三局两胜制，所以每3个随机数作为一组．假设产生30组随机数．034　743　738　636　964　736　614　698　637　162332　616　804　560　111　410　959　774　246　762428　114　572　042　533　237　322　707　360　751据此估计乙获胜的概率约为____．定义表示法图示包含关系若事件A发生，事件B一定发生，称事件B包含事件A（或事件A包含于事件B）B⊇A（或A⊆B）互斥事件如果事件A与事件B不能同时发生，称事件A与事件B互斥（或互不相容）若A∩B＝∅，则A与B互斥对立事件如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为A若A∩B＝∅，且A∪B＝Ω，则A与B对立事件关系或运算含义符号表示包含A发生导致B发生A⊆B互斥（互不相容）A与B不能同时发生A∩B＝∅互为对立A与B有且仅有一个发生A∩B＝∅，A∪B＝Ω定义表示法图示并事件事件A发生事件B不发生；事件A不发生事件B发生；事件A和事件B同时发生事件A与事件B至少有一个发生，称这个事件为事件A与事件B的并事件（或和事件）A∪B（或A＋B）交事件事件A与事件B同时发生，称这样一个事件为事件A与事件B的交事件（或积事件）A∩B（或AB）事件关系或运算含义符号表示并事件（和事件）A与B至少一个发生A∪B或A＋B交事件（积事件）A与B同时发生A∩B或AB人数01234大于等于5概率0.10.160.30.20.20.04分组频数频率[500,900)48　[900,1100)121　[1100,1300)208　[1300,1500)223　[1500,1700)193　[1700,1900)165　[1900，＋∞)42　一发次数n102050100200500甲一发成功次数9174492179450一发成功的频率　　　　　　一发次数n102050100200500乙一发成功次数8194493177453一发成功的频率