安徽省2026届高三数学上学期12月学情检测试题含解析

这是一份安徽省2026届高三数学上学期12月学情检测试题含解析，共17页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数的模的公式进行计算即可.
【详解】由题意得．
故选：A．
2. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析】先解分式不等式，再应用并集定义计算求解.
【详解】由题意得，，又，
则．
故选：B．
3. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据奇函数的定义和函数解析式进行计算即可.
【详解】由题意得，因为函数是定义在上的奇函数，当时，，
所以，所以．
故选：D．
4. 如图，在平行六面体中，点是线段上的一点，且，设，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据空间向量线性运算法则以为基底先表示出，再由化简得到.
【详解】因为，
又，所以，
所以
．
故选：C．
5. 已知、为两条不重合直线，、为两个不重合平面，下列条件中，的充分条件是（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
【答案】B
【解析】
【分析】根据线面关系、面面位置关系结合充分条件的定义判断可得出结论.
【详解】对于A选项，因为，，，则与可能平行，也可能相交，因此A中条件不是的充分条件；
对于B选项，因为，，所以，结合，知，因此B中条件是的充分条件；
对于C选项，由，知或，结合，
知与可能平行，也可能相交，因此C中条件不是的充分条件；
对于D选项，由，知或，结合，知，
所以D中条件不是的充分条件．
故选：B．
6. 设等差数列的公差为，若恒成立，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据等差数列的通项公式化简不等式，然后根据二次函数的性质求出结果即可.
【详解】由得，展开整理得，即，
上式可看作关于的一元二次不等式，则，
解得或．
故选：C．
7. 葫芦曲线在数学中被明确为一种类似横放葫芦轴截面的曲线，其方程通常表示为，其中为不超过的最大整数．该曲线的显著特征是振幅随间隔周期性变化，导致曲线上、下波动的幅度逐渐减小，形成类似葫芦“腰部收窄、两端膨大”的形状．如图，葫芦曲线的底脐、腰、嘴的对应点分别为，其上肚、下肚到轴心线（轴）的距离分别为3，2，若点E，F到轴心线的距离分别为，则点与的横坐标之差为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据点在曲线上得出参数进而得出解析式，再代入得出点的坐标计算求解.
【详解】由题意得，点和在曲线上，
则，解得，
所以．
当时，，令，则，得，
则，解得，即；
当时，，令，则，得，
则，解得，即，
所以点与的横坐标之差为．
故选:A．
8. 在底面边长为2的正三棱柱中，D，E分别是和的中点，若，则该三棱柱外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量的线性运算求出，然后根据向量夹角的余弦公式求出的值，进而根据正弦定理求出三棱柱外接球的半径，从而求出表面积.
【详解】设侧棱长为，则
，
由，得（负值舍去）．
底面三角形外接圆半径为，
设外接球半径为，则，所以外接球的表面积为．
故选：D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得零分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若四点共面，为该平面外一点，且，则
B. 若为空间的一组基底，则也是空间的一组基底
C. 已知向量，则在上的投影向量为
D. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用共面向量的推论计算判断A；利用空间向量基底的意义判断B；求出投影向量判断C;利用空间位置关系的向量证明判断D；.
【详解】若A，B，C，D四点共面，为该平面外一点，且，则，故A正确；
假设不是空间的一组基底，
不妨设，
又因为为空间的一个基底，所以，
矛盾，故是空间的一组基底，故B正确；
，，则在上的投影向量为，
故C正确；
因，所以，则，故D错误．
故选：ABC．
10. 已知函数，则（ ）
A. 当时，若，且，则
B. 当时，若，则
C. 当时，对任意，恒有
D. 当在上有且仅有两个单调区间，则正数的取值范围为
【答案】AC
【解析】
【分析】根据余弦函数的周期、三角函数的二倍角公式、对称性、单调区间等逐项计算判断即可.
【详解】当时，的最小正周期，当，即取最小值，相邻最小值间距离是一个周期，所以，故A正确；
当时，，由，得，
所以，即，所以，故B错误；
当时，，令，解得，
则函数的图象关于直线对称，所以，故C正确；
当时，，由有且仅有两个单调区间，则，解得，故D错误．
故选：AC．
11. 已知数列是等差数列，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据等差数列的通项公式、前项和公式、基本不等式的性质等逐项判断计算即可.
【详解】由，得，则，解得，
所以是以1为首项，2为公差的等差数列，所以，则，故A正确；
，即，故B错误；
因为，所以，当且仅当时，等号成立，故C正确；
当时，所以，所以，则．
令，所以，则在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以在恒成立．
令，则，即，亦即，
所以，故D正确．
故选：ACD．
第II卷（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知曲线在点处的切线为，则实数的值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】对函数求导，根据斜率和函数值进行计算即可.
【详解】求导得，因为曲线在点处的切线为，
则，所以，解得．
故答案为：.
13. 若，且恒成立，则的取值范围为___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据原等式先将表示出来，然后根据基本不等式的性质求出范围，进而求得的范围，从而得到结果.
【详解】因为，所以，
因为，所以，当且仅当时，即时等号成立，
所以，则．
故答案：.
14. 在棱长为2的正方体中，点为线段上的一个动点，则的最小值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据展开图结合图形特征计算求解.
【详解】因为平面，则展开使其与在同一平面，如图，
则最小值为，
因为是边长为等边三角形，是腰长为2的等腰三角形，
则为的中点，，所以的最小值为．
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程或验算步骤．
15. 如图，在四棱锥中，底面为梯形，，且，．
（1）求证：平面平面；
（2）求点到平面的距离．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）要证明面面垂直，需要证明一平面内的直线垂直于另一平面即可.
（2）建立空间直角坐标系，列出各个点的坐标，求出平面的法向量，然后即可求出点到平面的距离.
【小问1详解】
连接AC，由题意得，和均是边长为2的等边三角形，
取AD的中点，连接，，则，
因为，所以，所以．
因为平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面．
【小问2详解】
由（1）知，两两垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系，
其中，
则．
设平面的法向量为，则，
令，则，则平面的一个法向量为，
所以点到平面的距离．
16 已知正项数列满足：．
（1）求证：数列为等比数列；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）令，则，然后代入原式对原式进行化简，根据等比数列的定义即可证明.
（2）根据（1）的结果先求出，然后根据错位相减法进行求解计算即可.
【小问1详解】
令，则，
因为，
所以，
所以，
即．
由得，所以，所以，
又，所以数列是以2为首项、2为公比的等比数列．
【小问2详解】
由（1）知，所以，
则，
，
所以

所以．
17. 记内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
（1）求证：
①；
②；
（2）求角的最大值．
【答案】（1）① 证明见解析；②证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）（i）先化简原等式，然后由正弦定理得到，然后根据余弦定理进行化简即可.（ii）由（i）的结果利用正弦定理化简即可证明.
（2）先根据余弦定理列出的表达式，然后利用基本不等式结合三角函数的性质求解即可.
【小问1详解】
（i）由，得，
所以，由正弦定理得，
由余弦定理得，
所以．
（ii）由，得，
所以，
所以．
【小问2详解】
由（1）（i）的结论可得 ，在（1）（i）的证明中，已证得 ，
由基本不等式可得 ，故 ，即 （当且仅当时取等号），
所以 ，
因为，所以角的最大值为.
18. 如图，在三棱柱中，平面，D，E分别是的中点．
（1）求证：；
（2）求直线AC与平面所成角的正弦值；
（3）在棱上是否存在一点，使得平面PAB与平面的夹角为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）存在；
【解析】
【分析】（1）（2）根据给定条件，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz，利用空间位置的向量证明,再利用向量法求线面角的正弦值.
（3）假设在棱上存在点，则，，求出平面PAB的法向量，利用向量夹角公式求解即可.
【小问1详解】
在三棱柱中，平面ABC，又，则直线两两垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz，
则，
所以，
由，得，所以．
【小问2详解】
由（1）知，，
设平面的法向量为，则，
取，得平面的一个法向量为．
设直线AC与平面所成角为，
则，
即直线AC与平面所成角的正弦值为．
【小问3详解】
假设在棱上存在点，使得平面PAB与平面的夹角为，
设，则，又，
设平面PAB的法向量为，则，
取，得平面PAB的一个法向量为．
由（2）知，平面的一个法向量为，
若平面PAB与平面的夹角为，
则，
解得（负值舍去），此时，
综上，在棱上存在点，使得平面PAB与平面的夹角为，此时．
19. 已知函数．
（1）当时，求的极值；
（2）若存在两个不相等的实数，使得，求的取值范围；
（3）记函数的两个不同零点为，求证：．
【答案】（1）极小值为，无极大值
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求导，通过导函数的正负判断单调性即可；
（2）由题意可得函数在上不单调，进而得知在上有解，将问题转化为求的值域；
（3）将，两式作加减运算，再消去得到，再构造函数证明，得出，再利用基本不等式得到，然后构造函数，得出即可.
【小问1详解】
当时，，则，
令，解得，令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以的极小值为，无极大值．
【小问2详解】
因为存在，使得，
所以连续函数在上不单调，在上有极值．
由题意得，，
则在上有解，即在上有解．
记，则恒成立，
所以在上单调递减，所以，
故，则的取值范围为．
【小问3详解】
由题意得，①，②，
①+②得，③，②-①得，④，
由③④消去可得，
不妨设，记，令，
则，所以在上单调递增，
所以，则，即，
所以，
因为，
所以，即．
令，则在上单调递增．
又，所以，
即，