安徽省2026届高三数学上学期12月名校阶段检测试题含解析

这是一份安徽省2026届高三数学上学期12月名校阶段检测试题含解析，共20页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分等内容，欢迎下载使用。
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用补集的定义可求得集合.
【详解】已知全集，，则.
故选：B
2. 已知复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题知，进而得.
【详解】由题，，故，.
故选：D
3. 函数的图象的一个对称中心可以为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出的对称中心，再逐一验证即可.
【详解】令，则，
则的对称中心为，
当时，对称中心为，故A符合题意，
不存在，使得取到，故BCD不符合题意.
故选：A
4. 二项式的展开式中常数项为（ ）
A. 10B. C. 5D.
【答案】D
【解析】
【分析】由二项展开式的通项公式为，结合常数项求解即可．
【详解】根据题意二项展开式的通项公式为，
当，解得，
所以常数项为．
故选：D．
5. 在等差数列中，，则的前25项和为（ ）
A. 1150B. 575C. 550D. 275
【答案】B
【解析】
【分析】利用等差数列的通项公式和前项和公式进行求解即可.
【详解】设等差数列的公差为，
由，
所以的前25项和为，
故选：B
6. 已知随机事件相互独立，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据独立事件的乘法公式，结合条件概率公式进行求解即可.
【详解】因为随机事件相互独立，
所以，
由，
由，
由，
所以，
故选：A
7. 已知函数的最大值为，则（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】C
【解析】
【分析】先利用二倍角的三角函数公式化简函数表达式，然后确定的表达式，进而利用和差角和倍角的正切公式求解即可.
【详解】因为.
当时，取最大值为5.
此时，所以.
化简得.
由于，化简得，解得，
所以或.
因为，所以在第四象限，
所以在第二或第四象限，所以，所以.
故选：C.
8. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由对数的运算性质和换底公式得到可判断，构造函数，求导由其单调性得到，进而可判断，即可求解.
【详解】由，
则，
因为，
所以，
构造函数，
，即在单调递减，
当时，，
即当时，，
，
所以，
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知向量，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则在上的投影向量为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据向量平行时坐标的关系，代数计算，可判断A的正误；根据向量垂直时坐标的关系，代数计算，可判断B的正误；根据求模公式，结合条件，代数计算，可判断C的正误；根据投影向量的求法，代数计算，可判断D的正误.
【详解】选项A：若，则，即，故A错误；
选项B：若，则，解得，故B正确；
选项C：若，则，解得，即，故C正确；
选项D：若，则，
所以在上的投影向量为，故D正确.
故选：BCD
10. 如图，正四棱锥与正四棱锥的底面重合，且，为棱上一点，则（ ）
A. 平面B. 正四棱锥的体积为
C. 的最小值为D. 点到平面的距离为
【答案】AC
【解析】
【分析】A选项，由对称性可得四边形为菱形，故，从而得到线面平行；B选项，应用四棱锥体积公式计算求解；C选项，当为中点时，，此时最小，从而求出的最小值；D选项，等体积法计算三棱锥和三棱锥的体积求解.
【详解】A选项，连接，由对称性可知，平面，且相交于点，为和的中点，
又，故四边形为菱形，故，
又平面，平面，所以平面，A正确；
B选项，因为，所以 ，
正四棱锥的体积为，故B错误；
C选项， 在等边三角形中，，当为的中点时，，此时最小，，
同理，故若点为棱上的动点，则的最小值为，C正确；
D选项，，其中到平面的距离为，
设点到平面的距离为，则，
所以，则，D错误.
故选：AC
11. 设定义在上的奇函数的导函数为，对于，都有，当时，，则（ ）
A. 曲线关于轴对称B. 是周期函数
C. 当时，D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】选项A：由，两边求导可得答案；
选项B：由，得，从而证得是周期函数；
选项C：结合的奇偶性和周期性可判断；
选项D：结合的周期性即可求.
【详解】选项A：已知是奇函数，则，两边求导得：
即，
故是偶函数，曲线关于轴对称，选项A正确;
选项B：由，替换为得：
故，则的周期为4，
替换为得：，
故可设
又由，
设,
故，由是奇函数，得
易得，替换为得：
，
故，
故的周期为4,
故选项B正确；
选项C：当时，，
令，则，
由选项B知，且是奇函数，
得，
故，则：
，
故选项C错误；
选项D：由周期为4，即，替换为得：
则，由选项B知，
故，
又，
故，
由，得，则：
，故选项D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 某平台统计了“十一”期间在一款App上的购买电影票情况：
则“十一”期间App上的购票数据的分位数为__________．
【答案】
【解析】
【分析】先将这组数据从小到大排序，根据百分位数的定义即可确定答案．
【详解】将购票数量按照从小到大顺序排列为：1.9，2.1，2.5，4.0，4.8，5.5，6.5，7.8．
由于，则这组数据的第分位数是第5个数据，即4.8．
故答案为：4.8．
13. 已知函数，则关于不等式的解集是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据奇函数的定义，可得为奇函数，根据指数函数，一次函数的单调性，分析可得的单调性，根据条件，整理可得，根据一元二次不等式的解法，即可得答案.
【详解】因为，定义域为R，
所以，
所以为奇函数，
又，
因为，所以在R上单调递减，则在R上单调递增，
又R上单调递减，所以在R上单调递减，
因为，
所以，则，
即，解得，即解集为.
故答案为：
14. 已知数列满足，若对任意的正整数，都有，则的最大值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】令，分、两种情况分别构造数列，当，则求出，再分、两种情况，结合复合函数的性质求出的范围，结合恒成立可求.
【详解】令，因，，则且，
则，即，
则，即，
若，则，
因，则数列各项均为0，则，
则，即，符合题意；
若，则，
则数列是以为首项，为公比的等比数列，
则，则，
故，
对任意正整数，都有，即，即，
若，则，
因在上单调递增，在上单调递减，
则由复合函数单调性可知在上单调递减，
则，符合题意；
若，则，
因，则，
则，则，
综上可知，的取值范围为，故的最大值为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 设的内角的对边分别为，且．
（1）求的值；
（2）若面积为，求边上的高．
【答案】（1）
（2）1
【解析】
【分析】（1）由余弦定理即可直接求解；
（2）由三角形面积公式求得，再由余弦定理得到，再由即可求解.
【小问1详解】
由余弦定理，得；
【小问2详解】
由（1）得，
又，
所以，
由，得，
所以，解得，
故边上的高为．
16. 为研究甲、乙两种治疗方案的疗效，从选择甲、乙方案进行治疗的患者中随机抽取2000名得到如下列联表：
（1）根据小概率值的独立性检验，分析治疗效果与选择甲、乙方案是否有关联；
（2）在800名选择乙方案的患者中按效果是否明显用分层随机抽样的方法抽取8人，再从这8名患者中随机抽取4人，设表示4名患者中效果不明显的人数，求的分布列和数学期望．
附：．
【答案】（1）治疗效果与选择甲、乙方案有关联．
（2）分布列见解析，1
【解析】
【分析】（1）根据题意，由列联表代入的计算公式计算，再根据独立性检验内容即可得到结果；
（2）根据题意，由分层抽样的公式可得效果明显的患者中抽取名，从效果不明显的患者中抽取名，再由超几何分布的概率公式代入计算，即可得到分布列，从而得到期望.
【小问1详解】
零假设为：治疗效果与选择甲、乙方案无关联，
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，故治疗效果与选择甲、乙方案有关联．
【小问2详解】
根据分层随机抽样方法可知，从效果明显的患者中抽取名，从效果不明显的患者中抽取名，
的取值分别为0，1，2，
则，
所以的分布列为
．
17. 设为数列的前项和，且．
（1）证明：数列是等差数列；
（2）已知指数函数的图象经过点，记数列的前项和为，证明：．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）应用计算，再结合等差数列定义证明；
（2）方法一：结合错位相减法计算证明；方法二：证明单调递增，再结合错位相减法计算证明.
【小问1详解】
当时，，即，解得或（舍）．
由，得，
两式相减，得，
即，又，所以，即．
又，所以是首项为2，公差为1的等差数列．
【小问2详解】
方法一：由（1）知．
设（，且），
又的图象经过点，则，解得，所以．
所以．
，
，
两式相减，得
所以．
对，所以．
因为，所以，
综上所述，．
方法二：因为．
所以，即单调递增，所以．
由方法一知：．
对．所以．
综上所述，．
18. 如图，在四棱锥中，平面，平面平面，，，．
（1）证明：平面；
（2）点为线段上一点（与不重合）．
（i）若二面角的余弦值为，求的值；
（ii）若四点都在球的球面上，求球表面积的最小值．
【答案】（1）证明见解析
（2）（i）；（ii）．
【解析】
【分析】（1）要证明线面垂直，则需要证明该直线与平面内的两条相交直线即可证明，即证明.
（2）（i）建立空间直角坐标系，列出各个点的坐标，然后利用坐标求出平面的法向量坐标，根据二面角的余弦值求出结果即可；（ii）利用坐标法列出球表面积的表达式，利用二次函数的性质求出最小值.
【小问1详解】
证明：因为平面平面，所以．
在平面中，，所以，又，所以四边形为梯形．
取的中点，连接，易知为矩形，
，所以，则，
又，所以，则，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，所以，
因为平面，所以平面．
【小问2详解】
解：（i）由（1）可知平面平面，所以，又，
所以两两垂直，以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
设，则，
设平面的一个法向量为，
由得，
取，则，
由（1）得平面，所以为平面的一个法向量，记，
由题意得，
整理得，解得或（舍），故．
（ii）由（i）知，即．
设球的球心坐标为，半径为，则，
即，
，
所以．
因为，
所以当时，取得最小值，所以球表面积的最小值为．
19. 已知函数．
（1）求函数的图象在点处的切线方程；
（2）证明：对，有；
（3）证明：．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，根据点斜式直线方程求解即可；
（2）设，求导，利用导数证明不等式即可；
（3）设，利用导数可证，再利用累加法即可证明．
【小问1详解】
解：由，得，
由，得，
所以函数的图象在点处的切线方程为，
即切线方程为．
【小问2详解】
证明：设，
所以，且．
设，
因为函数在上都单调递减，所以在上单调递减，
又，所以，使得．
当时，，单调递增；当时，单调递减．
又，所以对任意的，
所以在上单调递增，所以．
所以对，有；
【小问3详解】
证明：设，则，
设，则，
因为函数在上都单调递减，所以在区间上单调递减，
因为，所以，使得，
当时，单调递增；当时，单调递减．
又．
所以，使得，
当时，单调递增；
当时，单调递减．
因为，
所以，即在区间上恒成立．
令，所以，
分别令，则，
所以．
对，所以，
所以
，
所以，
即得证．
日期
1日
2日
3日
4日
5日
6日
7日
8日
购票数量（单位：万张）
2.5
4.0
5.5
7.8
6.5
4.8
2.1
1.9
效果明显
效果不明显
合计
甲方案
1000
200
1200
乙方案
600
200
800
合计
1600
400
2000
0.1
0.01
0.001
2.706
6.635
10.828
0
1
2