安徽省2025_2026学年高一数学上学期12月学情检测试题人教A版含解析

这是一份安徽省2025_2026学年高一数学上学期12月学情检测试题人教A版含解析，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试卷分第 I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分 150 分，考试时间 120 分钟.请
在答题卡上作答.
第 I 卷（选择题 共 58 分）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 角的终边在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】把 变成 0 到 360 度内的角即可判断.
【详解】因为 ，所以 角的终边在第三象限.
故选：C.
2. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据对数型复合函数定义域、绝对值不等式的求法可分别求得集合 ，由交集定义可得结果.
【详解】 ，
，
，即 .
故选：B.
3. 已知幂函数 在 上单调递增，则 （ ）
A. 4 B. C. D. 4 或
【答案】A
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【解析】
【分析】根据幂函数的定义结合单调性分析求解即可.
【详解】因为函数 是幂函数，
则 ，解得 或 ，
又因为幂函数 在 上单调递增，则
所以 .
故选：A.
4. 已知 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则 （ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】D
【解析】
【分析】由条件可知 ，代入指定解析式得 ，
【详解】 是定义在 上的奇函数， ， 时， ，
所以 ， .
故选：D
5. 已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据对数以及指数的单调性即可求解.
【详解】由于 ， ， ，
故 ，
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故选：D
6. 已知函数 在 上不具有单调性，则实数 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题函数为二次函数，在 上不具有单调性，则对称轴在区间中间，列不等式进行求解．
【详解】函数 图象的对称轴为 ，
因为函数 在区间 上不具有单调性，
所以 ，解得 ．
故实数 的取值范围为 ．
故选：B.
7. Deepseek（深度求索）是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点.在神经网络
优化中，指数衰减的学习率模型为 ，其中 表示每一轮优化时使用的学习率， 表示初始学习
率， 表示衰减系数， 表示训练迭代轮数， 表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学
习率为 0.8，衰减速度为 30，且当训练迭代轮数为 10 时，学习率衰减为 0.4，则学习率衰减到 0.3 以下（不
含 0.3）所需的训练迭代轮数至少为（ ）
（参考数据： ， ）
A. 14 B. 15 C. 16 D. 17
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条件列方程，可得 ，再由 ，结合指对数关系和对数函数的性
质求解即可．
【详解】由于 ，所以 ，
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依题意 ，则 ，
则 ,由 ，
两边同时取对数可得 ， ， ，
，
即 ，所以所需的训练迭代轮数至少为 15 次．
故选：B
8. 若 ，且 ，则下列不等式一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】令 ，得到 为递减函数，化简得到 和
，转换为 ，转化为 ，结合 的单调
性，即可求解.
【详解】令 ，因为 和 在 上都是递减函数，
所以 在 上是递减函数，
又由 ，
因为
又因为 ，则 ，所以 ，
因为 ，所以 ，即
因为 在 上是递减函数，可得 ，所以一定成立的是 .
故选：A.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每个小题给出的四个选项中，有多项是
符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得零分.
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9. 下列说法正确的是（ ）
A. 第三象限的角一定大于第二象限的角
B. 终边在 轴负半轴上的角的集合为
C. 若 是第三象限角，则 是第二或第四象限角
D. 函数 的零点是
【答案】BC
【解析】
【分析】利用赋值法可判断 A；根据角的终边可直接得到角的集合，判断 B 选项；根据象限角的范围求得
的范围，结合象限角的范围判断 C 选项；求得函数的零点判断 D 选项.
【详解】对于 A， 是第三象限角， 是第二象限角，但 ，故 A 错误；
对于 B，终边在 轴负半轴上的角的集合为 ，故 B 正确；
对于 C，若 是第三象限角，则 ，则 ，
当 时， ，所以 是第四象限角，
当 时， ，所以 是第二象限角，故 C 选项正确；
对于 D，令 ，得 ，解得 ，
所以函数 零点是 .故 D 选项错误.
故选：BC.
10. 已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 当 时， 的单调增区间为
B. 的图象关于直线 对称
C. 若 的定义域为 R，则实数 的取值范围
D. 若 的值域为 R，则实数 的取值范围
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【答案】ABC
【解析】
【分析】利用复合函数的单调性可判定 A 项，利用抽象函数的对称性性质可判定 B 项，根据二次函数恒能
成立可判定 C、D 项
【详解】对于 A 项，当 时， ，
令 得 或 ，
而由二次函数的单调性可知 的单调递增区间为 ，
根据复合函数同增异减的性质知 的单调增区间为 ，故 A 正确；
对于 B 项，易知 ，
所以 的图象关于直线 对称，故 B 正确；
对于 C 项，若 的定义域为 R，则 在 R 上恒成立，
所以 ，即 ，故 C 正确；
对于 D 项，若 的值域为 R，则 在 R 上有解，即 ，
解得 ，故 D 错误.
故选：ABC
11. 已知定义在实数集上的函数 满足 ，且当 时， ，则下列说法
正确的是（ ）
A. 可以是
B. 是偶函数
C. 在区间 上的最小值为
D. 不等式 的解集为
【答案】BD
【解析】
【分析】根据定义域判断 A，利用赋值法结合偶函数的定义判断 B 正确.判断出函数的单调性后可判断 C 错
误，根据单调性和偶函数结合对数函数的单调性求出不等式的解后判断 D.
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【详解】对于选项 A:不满足定义域是全体实数,故 A 错误.
对于选项 B: 令 ,则有 ，故 .
令 ,则 ，故 .
令 ,有 ，故 是偶函数，故 B 正确.
对于选项 C:令 ,则有 ,
当 时, ,所以 ,即 在 单调递增,
而 为偶函数，故 在 上单调递增,
故当 ,则 在 单调递减,所以最小值应为 .故 C 错误.
对于选项 D:因为 是偶函数,所以 ,
从而有 或 ,解得 或 .故 D 正确.
故选：BD.
第Ⅱ卷（非选择题 共 92 分）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知 ， ，则 __________.
【答案】
【解析】
【分析】根据指数与对数的运算性质来求解即可.
【详解】因为 ， ，
所以： ，因此 ，
所以： ，
，
所以： .
故答案为： .
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13. “数折聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句.如图，假设这把折扇是从一个大圆中剪下一个扇
形 ，再在该扇形内剪下一个同心小扇形 （作为扇骨留白)，形成扇环形状的扇面 .当扇子
扇形的圆心角为弧度 时，扇面看上去形状较为美观.已知 ，弧 的长为 ，则此
扇面的面积为__________ .（结果保留 ）
【答案】
【解析】
【分析】首先根据弧长公式计算扇形 的半径 ，再利用扇形面积公式计算扇形 和扇形 的
面积，最后相减即可.
【详解】在扇形 中，弧 的长为 cm，圆心角 ，
由弧长公式 得： ，
解得： ，
由扇形面积公式 得：
扇形 的面积为： ，
扇形 的面积为： ，
所以扇面的面积为： ，
故答案为： .
14. 已知正数 ， 满足 ，则 的最大值是__________.
【答案】 ##
【解析】
【分析】通过 “变量替换（比值法）” 将二元问题转化为一元函数的最值问题，然后由“判别式法”求得最大
值.
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【详解】设 ，即 ，
则 ，
∵关于 的二次三项式 的判别式 ，即 恒成立，
∴ ，
则 ， ，
∴ ，
令 ，则 ，方程一定存在正根，
则 ，
即 ，解得 ，
当 时，方程整理为 即 ，符合题意，
∴ 的最大值为 .
故答案为： .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答题应写出文字说明、证明过程或验算步骤.
15. 已知函数 .
（1）判断 的单调性，并用定义证明；
（2）求使不等式 成立的 的取值集合.
【答案】（1）函数 单调递增，证明见解析.
（2）
【解析】
【分析】（1）根据函数单调性的定义进行证明即可.
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（2）先求出 解，然后根据函数的单调性求出不等式的解集即可.
【小问 1 详解】
函数 单调递增，证明：
设 ，则 .
因为 ，所以 ，所以 .
所以函数 单调递增.
小问 2 详解】
令 ，则 ，化简得 ，解得 .
由（1）知函数 单调递增，所以要使得不等式 成立，
则 ，所以使不等式 成立的 的取值集合为 .
16. 已知集合 ，集合 .
（1）若 且 ，求 的取值范围；
（2）若 ，且“ ， ”是真命题，求 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意结合属于和不属于关系列式求解即可；
（2）根据 ，可得 ，分析可知 ，结合包含关系列式求解即可.
【小问 1 详解】
因为集合 ，且 且 ，
则 ，解得 ，
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所以 的取值范围为 .
【小问 2 详解】
由题意可知：集合 ，
因为 ，则 ，解得 ，
又因为“ ， ”是真命题，可知 ，
则 ，解得 ，
所以 的取值范围为 .
17. 2025 年 8 月 8 日至 12 日，由中国电子学会、世界机器人合作组织共同主办的 2025 世界机器人大会在北
京经济技术开发区北人亦创国际会展中心举行.现如今，机器人产业正处于规模化、产业化前夜.某科技企业
为抓住“机器人时代”带来的机遇，决定开发生产一大型电子设备，该设备分为 ， 两种型号，两种型号
均能满足需求.目前研发设备已经耗费资金 3 亿元，现在准备投入资金进行生产经市场调查与预测，生产 型
该设备的毛利润 （亿元）与投入的资金成正比，比例系数 ；生产 型该设备的毛利润 （亿元）
与投入的资金 （亿元）的函数关系为 ，其图象如图所示.
（1）求 与 的函数关系式；
（2）现在公司准备投入 20 亿元资金同时生产 ， 两种型号，设投入 亿元生产 型号，用 表示公
司所获净利润，当 为多少时，可以获得最大净利润？并求出最大净利润.
（净利润= 型毛利润+ 型毛利润 研发耗费资金）
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【答案】（1）
（2） 时，可以获得最大净利润 亿元.
【解析】
【分析】（1）由函数图象知图象经过的点坐标，将点坐标代入函数解析式，即可求得参数，即可求得解析
式；
（2）由题意写出 与 的函数关系式，由净利润公式写出表达式，通过换元将函数转变为二次函数，由二
次函数的对称轴求得最大值；
【小问 1 详解】
由函数图象可知，函数图象经过 ，
∴ ，解得 ，
∴
【小问 2 详解】
由题意可知 ，
则 ，
设 ，则 ，
∴函数 ，
函数 开口向下，且对称轴为 ，
则 ，
当 ，即 时，函数 取最大值 .
即当投入 亿元生产 型号时，可以获得最大净利润 亿元.
18. 已知函数 .
（1）判断 的奇偶性，并加以证明；
第 12页/共 15页
（2）若 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1）奇函数，证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据函数的奇偶性定义进行解答即可.
（2）将不等式进行化简，根据对数函数 性质求出解集即可.
小问 1 详解】
为奇函数.证明：
要使函数 有意义，则 ，解得 .
所以 的定义域为 ，关于原点对称.
而 ，所以 为奇函数.
【小问 2 详解】
由（1）知 为奇函数，所以 .
由 可得 .
函数 在 上都意识递减，
则 在定义域 上是减函数，所以需满足 ，
解得 .
19. 已知函数 .
（1）若实数 ， 满足 ，求关于 的不等式 的解集；
（2）若 ，求函数 在 上的最小值 的解析式；
（3）若 ， 对 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；
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（2） ；
（3）
【解析】
【分析】（1）含参数分类讨论解不等式计算即可；
（2）利用二次函数的性质，分类讨论 b 的范围计算即可；
（3）根据指数函数、二次函数、对勾函数的单调性结合换元法计算即可.
【小问 1 详解】
由 得 ，
若 ，则 ；
若 ，则不等式解集为 ；
若 ，则不等式解集为 ；
若 ，则不等式解集为 或 ；
综上所述： 时，不等式解集为 ， 时，不等式解集为 ，
时，不等式解集为 ， 时，不等式解集为 或 ；
【小问 2 详解】
若 ，即 ，
易知 在 上单调递增，在 上单调递减，
若 ，即 时，则 ，
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若 ，即 时，则 ，
若 ，即 时，则 ，
综上 ；
【小问 3 详解】
若 ，即 ，
所以 ，
令 ，易知 时， ，设 ，
由对勾函数的性质知 在 上单调递增，所以 ，
故 对 恒成立等价于
对 恒成立，
由二次函数的性质可知 ，所以 ,
即