吉林省松原市重点高中2025-2026学年高二上学期期末考试 数学（含答案）

这是一份吉林省松原市重点高中2025-2026学年高二上学期期末考试 数学（含答案），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．在等差数列中，，则（ ）
A．5B．6C．10D．15
2．如果直线的一个方向向量是，则其倾斜角等于（ ）
A．B．C．D．
3．已知等差数列，的前项和分别为，，若，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知向量，，则（ ）
A．B．C．D．
5．求圆的圆心到的距离（ ）
A．B．2C．D．
6．设椭圆和双曲线的离心率分别为，，若则（ ）
A．B．C．D．
7．抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（ ）
A．B．2C．D．
8．如图，，是平面上的两点，且，图中的一系列圆是圆心分别为，的两组同心圆，每组同心圆的半径分别是1，2，3，…，A，B，C，D，E是图中两组同心圆的部分公共点.若点A在以，为焦点的椭圆M上，则（ ）
A．点B和C都在椭圆M上B．点C和D都在椭圆M上
C．点D和E都在椭圆M上D．点E和B都在椭圆M上
二、多选题
9．已知双曲线C：，下列对双曲线C判断正确的是（ ）
A．实轴长是虚轴长的2倍B．焦距为4
C．离心率为D．渐近线方程为
10．记首项为3的数列的前项和为，且，则（ ）
A．B．是递增数列
C．D．
11．设圆锥曲线的两个焦点分别为，，若曲线上存在点满足，则曲线的离心率等于（ ）
A．B．C．D．2
三、填空题
12．直线：与直线：平行，则 ．
13．两个正数、的等差中项是，等比中项是，且，则椭圆的离心率为 .
14．体现中华传统文化的油纸伞至今已有多年的历史；如图，是一把撑开后摆放在地面上的油纸伞，该伞伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为，当阳光与地面夹角为时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为，则 .

四、解答题
15．已知数列为等差数列，其前n项和为，若，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，求的最小值．
16．如图，在四棱锥中，底面，四边形为平行四边形，其中，，，且，点为的中点．
(1)证明：平面．
(2)求点到平面的距离．
(3)求平面与平面所成角的余弦值．
17．已知数列是等差数列，是等比数列，且，，，，
(1)求数列，的通项公式；
(2)令，求数列的前n项和.
18．已知双曲线的离心率为2，顶点到渐近线的距离为．
(1)求的方程；
(2)若直线交于两点，为坐标原点，且的面积为，求的值．
19．人脸识别技术已融入我们日常生活，小区门禁刷脸即可开门，手机支付凭人脸验证完成交易，机场安检通过它实现旅客快速身份核验，让便捷与安全并存.它通过计算机分析人脸图像或视频，提取面部轮廓、五官间距等关键特征，在这一过程中，判别不同样本间的相似度是核心环节，其主要实现方式为距离测试，目前常用的测量方式主要有3种.设，，则欧几里得距离；曼哈顿距离；余弦距离，其中（为坐标原点）.
(1)若点，，求，之间的欧几里得距离，曼哈顿距离和余弦距离；
(2)若点，，求的最大值；
(3)已知点，曲线，问曲线上是否存在点使得，若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
1．C
利用等差中项的性质可得出的值，进而利用等差中项的性质可求得的值.
【详解】由等差中项的性质可得，解得，
所以.
故选：C
2．A
根据方向向量得到斜率，进而求出倾斜角.
【详解】直线的一个方向向量是，故斜率为，
设直线的倾斜角为，则，故.
故选：A.
3．D
利用等差数列的性质结合求和公式对合理变形为，再结合代入求解即可.
【详解】因为等差数列，的前项和分别为，，
所以我们对进行变形，得到，
因为，所以，即，故D正确.
故选：D
4．B
根据空间向量线性运算的坐标表示，结合空间向量的几何意义计算即可求解.
【详解】由题意知，
所以.
故选：B
5．C
【详解】由题意得，即，
则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为，
故选:C．
6．C
根据椭圆与双曲线离心率公式计算即可.
【详解】由，得，
所以，又，所以.
故选：C.
7．A
写出抛物线的焦点坐标和双曲线的渐近线方程，由点到直线的距离计算．
【详解】抛物线的焦点坐标是，双曲线的渐近线方程是，
所求距离为．
故选：A．
8．C
由点A在椭圆上及椭圆定义求得，即可根据定义逐个判断其它点是否在椭圆上.
【详解】由同心圆及点A在以，为焦点的椭圆M上得，故椭圆中，
∵，，，.
故点D和E都在椭圆M上.
故选：C
9．BD
根据双曲线的标准方程求出a、b、c，可以求出实轴长、虚轴长、焦距、离心率、渐近线方程，对四个选项一一验证即可.
【详解】∵双曲线C：∴..∴∴.∴双曲线的实轴长是，虚轴长是，A错误；焦距为.B正确；离心率为，C错误：渐近线方程为，D正确.
故选：BD
10．ACD
将递推公式变形可得，根据首项为3，依次代入可求得，，，进而可判断选项A；由前四项可发现数列的周期性，可判断选项B；利用数列的周期性可判断选项C，D.
【详解】由题意可得，所以，，故A正确；
易得数列是以3为周期的周期数列，无单调性，故B错误；
，故C正确；
，故D正确.
故选：ACD.
11．AC
根据圆锥曲线定义及离心率计算公式，分情况考虑计算即可.
【详解】设，由已知，得，，且，
若圆锥曲线为椭圆，则，此时离心率；
若圆锥曲线为双曲线，则，离心率；
故曲线Γ的离心率等于或．
故选：AC．
12．
根据两直线平行的公式求解即可.
【详解】∵直线：与直线：平行，且当，即时两直线不平行，
∴，解得.
故答案为：．
13．
根据已知条件可得出关于、的方程组，解出、的值，可得出的值，由此可得出该椭圆的离心率的值.
【详解】因为两个正数、的等差中项是，等比中项是，且，
则，解得，
所以，故.
故答案为：
14．/
将问题转化为三角形中已知两角一边求另一边的问题，利用正弦定理即可求得椭圆的长半轴长，另外由平行投影的性质可知椭圆的短轴即为圆的直径，即可得解.
【详解】设椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为、、，
则，如图，为伞沿所在圆的直径，为椭圆的左右顶点，

由题意可得，则，阳光照射方向与地面的夹角为，即，
则，
，
在中，，即，即，
解得，而，
故.
故答案为：
15．(1)
(2)
（1）利用等差数列的通项公式与求和公式的性质计算基本量即可；
（2）先计算，得出的通项，由等差数列的定义判定为等差数列，再根据求和公式计算，结合二次函数的性质求最值即可.
【详解】（1）设的公差为d，由，得，
又，所以，得，
则；
（2）由上可知，
所以，则，
即是以为首项，为公差的等差数列，
则，
由二次函数的性质可知或时，取得最小值.
16．(1)证明见解析
(2)
(3)
（1）根据线面平行的判定定理证明即可.
（2）建立空间直角坐标系，求出相关向量，进而得到平面的法向量，利用向量法求点到平面的距离公式求解即可.
（3）求出相关平面的法向量，利用向量法求二面角公式求解即可.
【详解】（1）连接，交于，连接.
因为中，为对角线交点，所以为的中点，
又是中点，所以，
又平面，所以平面，
所以平面.
（2）在中，，，，
由余弦定理得，
则，所以.
又底面，，平面，所以，.
所以以为原点，以,,所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，
设平面法向量为，则，
即，令，则，，所以．
所以点到平面的距离．
（3）由（2）得，.
设平面的法向量为，
则，即，令，则，，所以.
所以平面与平面所成锐二面角余弦值为
．
17．(1)
(2)
（1）计算出公比、公差即可求解；
（2）由裂项相消法即可求解.
【详解】（1）设公比为，公差为，
所以，解得，所以，
所以，所以，解得，
所以；
（2）因为，
所以数列的前n项和.
18．(1)
(2)或
（1）由离心率及顶点到渐近线的距离列方程即可求；
（2）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理及弦长公式，点到直线距离公式求解面积即可.
【详解】（1）记的半焦距为，由题得的离心率，①
由对称性不妨设的顶点为，渐近线方程为，则，②
又，③
联立①②③解得，，，
所以的方程为．
（2）设，
由得，
所以，
解得，且，
所以，，
所以．
又点到直线的距离，
所以的面积，
解得或，符合式，
所以或．
19．(1)，，
(2)
(3)存在，
【详解】（1）已知，，则由题意可得欧几里得距离为；
曼哈顿距离为；
因为，，
所以，
则余弦距离为.
（2）设，由题意得：，
由，
作出表示的图形，为如图所示的正方形，
其中，，，，
即点在正方形的边上运动，，，
结合图形，由可知，
当取最小值时，最大.
相应的有最大值.因此，点有如下两种可能：
①点为点时，，则：；
②点在线段上运动时，此时与方向相同，，
则.
因为，所以点在点时，有最大值，最大值为.

（3）设，则，，
，
，
，，即或.
联立，解得，，
联立，解得，，
，，，，则；
，则；
，则.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
D
B
C
C
A
C
BD
ACD
题号
11









答案
AC