吉林省松原市2023-2024学年高二下学期期末测试数学试卷(含答案)

这是一份吉林省松原市2023-2024学年高二下学期期末测试数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．( )
A.6B.7C.8D.9
2．已知,,且,则( )
A.B.C.D.
3．设的个位数为,则( )
A.269B.270C.279D.286
4．泊松分布的概率分布列为,其中e为自然对数的底数,是泊松分布的均值.若随机变量服从二项分布,当n很大且p很小时,二项分布近似于泊松分布,其中,即.现已知某种元件的次品率为0.01,抽检100个该种元件,则次品率不超过1%的概率约为（参考数据:）( )
A.37%B.74%C.90%D.99%
5．设等比数列的前n项和为,且,则的公比q为( )
A.1或B.1或3C.或D.或3
6．某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流,每所中学至少派1名教师,则不同的分配方法有( )
A.80种B.90种C.120种D.150种
7．若直线l是曲线与的公切线,则直线的方程为( )
A.B.C.D.
8．已知,则( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列结论不正确的是( )
A.两个变量x,y的线性相关系数r决定两变量相关程度的强弱,且相关系数越小,相关性越强
B.若两个变量x,y的线性相关系数,则x与y之间不具有线性相关性
C.在一组样本数据中,先剔除部分异常数据,再根据最小二乘法求得线性回归方程为,这样相关系数r变大
D.在一组样本数据的散点图中,若所有样本点都在直线上,则这组样本数据的样本相关系数为0.8
10．若函数在区间上有极值,则a的取值可能为( )
A.B.C.D.
11．袋中共有5个除颜色外完全相同的球,其中有3个红球和2个白球,每次随机取1个,有放回地取球,则下列说法正确的是( )
A.若规定摸到3次红球即停止取球,则恰好取4次停止取球的概率为
B.若进行了10次取球,记X为取到红球的次数,则
C.若规定摸到3次红球即停止取球,则在恰好取4次停止取球的条件下,第1次摸到红球的概率为
D.若进行了10次取球,恰好取到次红球的概率为,则当时,最大
三、填空题
12．已知一系列样本点满足,,由最小二乘法得到与的回归方程,现用决定系数来判断拟合效果（越接近1,拟合效果越好）,若,则________.（参考公式:决定系数）
13．设是等差数列的前n项和,且数列是公差为1的等差数列,则的通项公式为________.
14．已知函数,若方程有两个不同的根,则a的取值范围是________.若在上单调递增,则a的取值范围是________.
四、解答题
15．设a,,依次是等比数列的前3项,其中a为正数.
（1）求;
（2）求数列的前n项和.
16．某校为了解学生阅读文学名著的情况，随机抽取了校内200名学生，调查他们一年时间内的文学名著阅读的达标情况，所得数据如下表：
(1)根据上述数据，依据小概率值的独立性检验，能否认为阅读达标情况与性别有关联?
(2)从阅读不达标的学生中按男、女生人数比例用分层随机抽样的方法抽取6人进行座谈，再从这6人中任选2人，记这2人中女生的人数为X，求X的分布列和数学期望.
附：，其中.
17．已知函数.
（1）求的单调区间;
（2）当时,求在上的最小值与最大值.
18．某校为激发学生对天文、航天、数字科技三类知识的兴趣，举行了一次知识竞赛（三类题目知识题量占比分别为，，）.甲回答这三类问题中每道题的正确率分别为，，.
（1）若甲在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率.
（2）知识竞赛规则：随机从题库中抽取2n道题目，答对题目数不少于n道，即可以获得奖励.若以获得奖励的概率为依据，甲在和之中选其一，则应选择哪个？
19．罗尔中值定理是微分学中的一条重要定理,根据它可以推出拉格朗日中值定理和柯西中值定理,它们被称为微分学的三大中值定理.罗尔中值定理的描述如下:如果函数满足三个条件①在闭区间上的图象是连续不断的,②在开区间内是可导函数,③,那么在内至少存在一点,使得等式成立.
（1）设方程有一个正根,证明:方程必有一个小于的正根.
（2）设函数是定义在上的连续且可导函数,且.证明:对于,方程在内至少有两个不同的解.
（3）设函数.证明:函数在区间内至少存在一个零点.
参考答案
1．答案：D
解析：.
故选:D
2．答案：A
解析：因为,则,可知,
又因为,所以.
故选:A.
3．答案：C
解析：因为7,,,,,,,的个位数分别为7,9,3,1,7,9,3,1,
所以数列是周期为4的周期数列,
所以.
故选:C.
4．答案：B
解析：由题意知,,则,所以.
因为,,
所以次品率不超过1%的概率约为.
故选:B
5．答案：D
解析：由,可得,
则,故,
解得或.
故选:D.
6．答案：D
解析：先对5个人先进行两种情况的分组,一是分为1,1,3,有种,二是分为1,2,2,共有种,
再分配,可得不同的分配方法有种.
故选:D.
7．答案：A
解析：由,得,由,得.
设直线l与曲线相切于点,
与曲线相切于点,
则,故.又,
解得,,所以直线l过点,斜率为1,
即直线l的方程为.
故选:A
8．答案：D
解析：对两边求导,
得.
令,得.
故选:D.
9．答案：ACD
解析：对于选项A:越大,x与y之间的线性相关性越强,所以A错误;
对于选项B:若,则样本数据不具有线性相关性,所以B正确;
对于选项C:去掉异常数据,则相关性变强,变大,所以C错误;
对于选项D:若所有样本点都在直线上,
则这组样本数据完全相关,且正相关,
所以这组样本数据的样本相关系数为1,所以D错误.
故选:ACD.
10．答案：BC
解析：由函数得,
因为函数在区间上有极值,
所以在区间上有异号零点,
即在区间上有异号零点,
所以函数与函数的图象有交点,
如图:
又,,,由图象可知,,所以,
结合选项知,a的取值可能为或.
故选:BC
11．答案：BCD
解析：每次取到红球的概率为,若规定摸到3次红球即停止,
则恰好取4次停止取球的概率为,故A错误;
,则,故B正确;
记恰好取4次停止取球为事件A,第1次摸到红球为事件B,
则,,所以,故C正确;
,当最大时,
即
所以即解得,
又,所以,当k为6时,最大,故D正确.
12．答案：0.96
解析：因为.
故答案为:0.96.
13．答案：
解析：设数列的公差为d,则,
可得.
因为数列是公差为1的等差数列,则,解得,
所以.
故答案为:2n.
14．答案：,
解析：函数的定义域为
方程有两个不同的根,等价于有两个不同的根,
即直线与函数的图象有两个交点.因为,
当,;当,,
所以在上单调递增,在上单调递减,
因为,当时,,
所以,故a的取值范围是;
若在上单调递增,
则在上恒成立,
令,则,
当时,恒成立,所以在上单调递增,
当时,;当时,
此时存在使得,在上单调递减,在上单调递增,
不满足题意;
当时,在上单调递增;符合题意
当时,令,令
易知在上单调递减,在上单调递增,
所以,所以,
综上,.
故答案为:;.
15．答案：（1）64
（2）见解析
解析：（1）依题意可得,
整理得,解得或1.
因为为正数,所以,
所以的前3项依次是1,4,16,所以.
（2）由（1）知,
所以,
所以
.
16．答案：(1)阅读达标情况与性别有关联
(2)分布列见解析，
解析：（1）零假设为：阅读达标情况与性别无关，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为阅读达标情况与性别有关联.
（2）由题可知抽取的女生人数为，抽取的男生人数为，
则的可能取值为0，1，2，
，，，
所以X的分布列如下：
故.
17．答案：（1）的单调递增区间为,单调递减区间为
（2）
解析：（1）.
令,得;
令,得;令,得.
所以的单调递增区间为,单调递减区间为.
（2）当时,,.
由（1）知,在处取得极大值,且极大值为.
当时,在上单调递增,
,.
当时,,
若,则,
因为,所以.
18．答案：(1)；
(2)选
解析：（1）设所选的题目为天文、航天、数字科技相关知识的题目分别为事件，，，
所选的题目回答正确为事件B，
则
，
所以该同学在该题库中任选一题作答，他回答正确的概率为；
（2）当时，X为甲答对题目的数量，则，
故当时，甲获奖励的概率，
当时，甲获奖励的情况可以分为如下情况：
①前10题答对题目的数量大于等于6，
②前10题答对题目的数量等于5，且最后2题至少答对1题，
③前10题答对题目的数量等于4，且最后2题全部答对，
故当时，甲获奖励的概率
，
，即，
所以甲应选.
19．答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
（3）证明见解析
解析：（1）证明:令函数,
显然在上连续,在内可导,
则,
由条件知,
由罗尔中值定理知,至少存在一点,使得,
即方程必有一个小于的正根.
（2）令,则.
由,得,所以.
因为,所以,
由罗尔中值定理知,至少存在一个,使得,
即.
同理,因为,由罗尔中值定理知,
至少存在一个,使得,所以.
故方程在内至少存在两个不同的解.
（3）证明:令,则.
由,得,
则,又因为是连续且可导函数,
由罗尔中值定理知,存在,使得,
则,所以.
故函数区间内至少存在一个零点..
阅读达标
阅读不达标
合计
女生
70
30
100
男生
40
60
100
合计
110
90
200
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
X
0
1
2
P