吉林省四所名校2025-2026学年高一上学期12月联考试题 数学(含答案）

这是一份吉林省四所名校2025-2026学年高一上学期12月联考试题 数学(含答案），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．化为弧度是（ ）
A．B．C．D．
2．设集合，，则集合（ ）
A．B．C．D．
3．函数的单调递增区间是（ ）
A．B．C．D．
4．方程的零点所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
5．关于的不等式的解集是，那么（ ）
A．B．C．D．
6．下列命题中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
7．函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
8．为R上的偶函数，当时，成立，，，c=则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．下列说法正确的有（ ）
A．命题，则命题的否定是：
B．，则的最大值为1
C．定义在上的函数为奇函数的充分条件是
D．“且”是“”的充分不必要条件
10．已知函数，则（ ）
A．不等式解集为
B．的图图像关于轴对称
C．是上的递增函数
D．的值域为
11．函数的定义域为R且，恒成立，当时，且，下列说法正确的是（）
A．是偶函数
B．
C．的解集为
D．
三、填空题
12．设，则 .
13．已知函数且的图像过定点，若角的终边过点，则 .
14．已知函数，若关于的方程有四个不等实根.则实数a的取值范围为 .
四、解答题
15．如图，单位圆与轴正半轴的交点为点，点在圆上，且点在第一象限，点在第二象限．

(1)当圆心角所对的弧长为，求图中阴影部分的面积；
(2)设，当点的横坐标为时，求及的值．
16．已知函数，且为常数．
(1)当时，求的解集；
(2)当，恒有，求实数的取值范围．
17．已知幂函数在上单调递增.
(1)求函数的解析式；
(2)若，求实数的取值范围；
(3)若正数，满足，求的最小值.
18．已知函数是定义域在上的偶函数.
(1)求实数的值；
(2)解不等式；
(3)若函数在上的最小值为，求的值.
19．已知．
(1)求证：；
(2)判断的单调性，并用单调性的定义证明；
(3)当时，恒成立，求实数m的取值范围．
1．B
本题考查的是角度制与弧度制的互相转化.
【详解】,故选：B.
2．C
解指数不等式化简集合，再根据交集的定义计算可得.
【详解】因为，又，即，解得，
所以，
所以.
故选：C
3．B
求出函数的定义域，是由和复合而成，求出二次函数的单调性以及对数函数的单调性，由复合函数的单调性即可求解.
【详解】由可得或，
所以的定义域为，
设，
则是由和复合而成，
因为对称轴为，开口向上，
所以在上单调递减，在上单调递增，
而单调递减，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的单调递增区间是.
故选:B.
4．B
分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出结论.
【详解】令，因为函数、在上均为增函数，
所以，函数在上为增函数，
因为，，，则，
所以，方程的零点所在的区间为.
故选：B.
5．B
分析可知、为关于的方程的两根，结合韦达定理可得出、的值，结合对数的运算性质可得出的值.
【详解】由题意可知，、为关于的方程的两根，
由韦达定理可得，解得，故.
故选：B.
6．D
根据不等式的性质，逐一判断即可.
【详解】选项A，若，只有当时，，当时，，故A错误；
选项B，若，则，或，或，故B错误；
选项C，若，当时，，故C错误；
选项D，若，则，则，故D正确.
故选：D.
7．B
采用排除法，根据函数奇偶性可排除D，根据且时，可排除A，C.
【详解】记，函数的定义域是，
，所以函数为偶函数，其图像关于轴对称，故D错误；
当且时，，，即，图像在轴下方，故A，C错误．
故选：B.
8．C
根据给定条件确定函数在上单调性，利用指数、对数函数单调性可得，再结合偶函数性质比较大小.
【详解】由当时，成立，得函数在上单调递减，
由，得；；，
因此，则，
由为R上的偶函数，得，
所以，即.
故选：C
9．AD
特称命题的否定需要特称改全称，结果变否定，判断A选项；举反例即可判断B选项；充分必要条件的判定：，则是的充分条件；，则是的必要条件条件；判断C，D选项.
【详解】A选项：命题，则命题的否定是，A选项正确；
B选项：举例，满足，但是该函数最大值为0，并不是1，故B错误；
C选项：在0处函数值为0的函数不一定是奇函数，例如，所以充分性不成立，C选项错误；
D选项：当且时，成立，满足充分条件；
当时，且不成立，例如，，故不是且的必要条件；
所以“且”是“”的充分不必要条件，D选项正确.
故选：AD.
10．ACD
化去绝对值再利用指数函数的单调性解不等式可判断A；判断函数的奇偶性可判断B；根据复合函数单调性判断C；通过求含指数函数的复合函数的值域判断D.
【详解】
对于A，由得，即，解得.故A正确；
对于B，因为，所以函数是奇函数，其图像关于原点对称，不关于y轴对称，故B不正确；
对于C，因为函数是增函数，因为，所以函数是减函数，
因此函数是增函数，故C正确；
对于D，由，所以函数的值域为，故D正确.
故选：ACD.
11．BD
根据奇函数的定义，结合条件判断A；应用赋值法，求得，判断B；根据单调性的定义，判断函数的单调性，再求解不等式判断C；根据奇函数的性质求和判断D.
【详解】对A选项：令，可得，所以，
令，则，所以为奇函数，所以A错误；
对B选项：令，则，令，则，
所以，所以B正确；
对C选项：设，而，
又，所以，所以，即，
所以在上单调递增，且，
由，可得，
所以，得到，即不等式解集为，所以C错误；
对D选项：因为为奇函数，所以，
所以，
又，故成立.所以D正确.
故选：BD
12．
代入求值，计算出，再次代入得到答案.
【详解】，故.
故答案为：
13．/
先利用指数函数定义求出定点坐标，再利用正弦函数定义可得.
【详解】因为函数过定点，由指数函数性质可知点横坐标为3，
代入可得，由正弦函数定义可知.
故答案为：.
14．
先利用图像的对称、平移等变换作出的图像，再令，，必有两个不同的零点、，而由、与共有四个交点，分类讨论可得到a的取值范围.
【详解】根据题意，得
当时，，令，则
当时，，故与的图像关于原点对称；
当时，，
因为是由的图像向右平移一个单位，再向下平移一个单位得到，
故的图像是由保留轴上方的图像，再将轴下方的图像往上翻折得到；
综上，作出的图像如下：
令，，由可得，
又因为关于的方程有四个不等实根，
则函数必有两个不同的零点、，且、与共有四个交点，不妨设，
①若，则，由韦达定理可得，解得，满足题意；
②若，则，则，解得；
③若，则，则，无解.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
15．(1)；
(2)，.
（1）设圆心角，应用扇形面积公式计算求解即可；
（2）先由已知得，进而得出，即可求解.
【详解】（1）设圆心角为，弧长为l，弓形的面积为S．
因为，圆O的半径为，所以，
所以，，
所以图中阴影部分的面积为．
（2）因为， 的横坐标为，
所以的纵坐标为，
则，
所以，.
16．(1)
(2)
（1）令，则，解得；
（2）换元得到在上恒成立，参变分离得到在上恒成立，由函数单调性求出的最小值，得到.
【详解】（1）时，，
令，则，，解得，
故，解得，故不等式的解集为；
（2），
，令，则在上恒成立，
故在上恒成立，
其中在上单调递增，故当时，取得最小值，最小值为2，
故.
17．(1)
(2)
(3)
（1）根据幂函数的定义域和单调性，求出值；即可得出函数的解析式；
（2）根据函数的单调性化简不等式，从而求得的取值范围；
（3）巧用“1”的代换结合基本不等式求解.
【详解】（1）因为是幂函数
则，或.
时，函数在上单调递减
时，函数在区间上单调递增，符合题意
故.
（2）由（1）得，
因为是R上的单调增函数，
由，得.
解得；
（3）由（1）知，即，
，
.
当且仅当，即时等号成立,
的最小值为.
18．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为函数是定义域在上的偶函数，
所以，即，
则恒成立，故；
（2）由，故，
当时，，由在上单调递增，
故在上单调递增，
又为偶函数，故在上单调递减，
故由可得，
即，所以，
则
，
解得或或，
所以不等式的解集为；
（3），
，
令，由，则，
，
当时，，
解得，不满足，舍去；
当时，，解得，
因为，故符合题意；
综上，.
19．(1)证明见解析；
(2)在R上单调递增，证明见解析；
(3).
【详解】（1）由题意可知；
，
故.
（2）由题意得，其定义域为R，
在R上单调递增，
证明：任取，不妨设，
，
因为，故，
又，故，即得，
故在R上单调递增；
（3）由题意知的定义域为R，，即为奇函数；
可化为，
即，即，
令，因为，故，则，
由于在R上单调递增，可得，
结合题意可得对于恒成立，
而，，
结合对勾函数在上单调递增，可得，
即，故.