吉林省顶级名校2025-2026学年高一上学期12月月考试题 数学（含答案）

这是一份吉林省顶级名校2025-2026学年高一上学期12月月考试题 数学（含答案），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．命题，的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
2．函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
3．函数过定点（ ）
A．B．C．D．
4．下列函数是偶函数且在上单调递增的为（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数，若，则（ ）
A．B．C．1D．2
6．已知向量，，，若，则实数（ ）
A．2B．1C．D．
7．已知向量满足，，则
A．4B．3C．2D．0
8．在△ABC中，csC=，AC=4，BC=3，则csB=（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．下列命题中，不正确的是（ ）
A．若为单位向量，且，则
B．若，，则
C．
D．若平面内有四点，则必有
10．如图，平行四边形的对角线，交于点O，且，点F是上靠近点D的四等分点，则（ ）
A．B．
C．D．
11．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则有两解
C．若为钝角三角形，则
D．若，则面积的最大值为
三、填空题
12．已知函数（，且）的图象恒过定点，则的坐标为 .
13．设函数，若互不相等的实数，，满足，则的取值范围是 .
14．已知，，，则这三个数从小到大的顺序是 .
四、解答题
15．已知集合，集合．
(1)若，求的取值范围；
(2)若非空，求的取值范围．
16．按要求完成下列各小题.
(1)计算：；
(2)已知，求.
(3)计算
17．文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40,50)，[50,60)，，[90,100]得到如图所示的频率分布直方图.

(1)求频率分布直方图中的值及样本成绩的第75百分位数；
(2)求样本成绩的众数，中位数和平均数；
(3)已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩合并后的平均数和方差.
18．已知函数．
(1)求函数的解析式及对称中心；
(2)若，且，求的值．
(3)在锐角中，角、、分别为、、三边所对的角，若，求周长的取值范围．
19．若函数在区间上的值域恰为，则称区间为的一个“倒域区间”．已知定义在上的奇函数，当时，．
(1)求的解析式；
(2)若关于x的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；
(3)求函数在内的“倒域区间”．
1．A
根据题意，利用全称量词命题与存在量词命题的关系，准确改写，即可求解.
【详解】因为存在量词命题的否定为全称量词命题，
可得命题，的否定是：，.
故选：A
2．C
由对数式的真数大于0，分式的分母不为0，列不等式组求解即可.
【详解】要使函数有意义，则，即，解得且，
∴函数的定义域为.
故选：C.
3．C
利用对数函数恒过定点，整体代入即可求得.
【详解】由于函数恒过点，令，则，，
故函数恒过定点，
故选：C.
4．B
根据选项，逐个判断奇偶性和单调性，然后可得答案．
【详解】对于A，的定义域为，，则为奇函数，不合题意；
对于B，的定义域为，，则为偶函数，
在上，为增函数，符合题意；
对于C，的定义域为，故既不是奇函数又不是偶函数，不合题意；
对于D，的定义域为，故既不是奇函数又不是偶函数，不合题意．
故选：B．
5．A
根据分段函数解析式计算即可.
【详解】，，解得.
故选：A.
6．C
先写出的坐标，再由可求得参数.
【详解】∵向量．
∴，
∵，
∴，解得．
故选：C．
7．B
【详解】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果.
详解：因为
所以选B.
8．A
【详解】在中，，，
根据余弦定理：
可得 ，即
由
故.
故选：A.
9．ABC
【详解】对于A，，与同向或反向，或，A错误；
对于B，若，则，，但与可能不共线，B错误；
对于C，，C错误；
对于D，，，D正确.
故选：ABC.
10．AC
根据图形中的几何性质，利用向量的线性运算，可得答案.
【详解】由，则，所以，易知，所以，
由点F是上靠近点D的四等分点，则，
.
故选：AC.
11．ABD
由正弦定理可判断A；由可判断B；由大边对大角结合余弦定理可判断C；由余弦定理与基本不等式可判断D.
【详解】对于A选项，若，则，由正弦定理可得，
所以，故A正确；
对于B选项，，则，
所以有两解，故B正确；
对于C选项，当为钝角三角形，且C为钝角时，，
可得，若C不为钝角，则得不到，故C错误；
对于D选项，由余弦定理与基本不等式可得，
即，当且仅当时，等号成立，
所以，故D正确．
故选：ABD.
12．
根据指数型函数的性质求解即可.
【详解】由函数可知，当时，，
即函数的图象恒过点.
故答案为：.
13．
作出函数的图象，根据图象得出，，满足的条件和范围，再设，将问题代数式用表示，利用二次函数性质从而得出答案.
【详解】作出的图象如下图所示：
不妨设，
当时，，对称轴为，
当时，令，解得，
则，
令，则，，
，则，
则，
由图知，对称轴，则在上单调递增，
则其范围为
故答案为：.
14．
根据对数函数的性质并结合中间量1.5和1.6即可比较大小.
【详解】，
则，即，
，即，所以，
综上.
故答案为：.
15．(1)
(2)．
（1）由题可得，据此可得答案；
（2）注意到，又非空，即A不为空集，A中有元素在B中，据此可得答案.
【详解】（1）由已知有，
故的取值范围是．
（2）由已知，集合，非空，则，
解得，故的取值范围．
16．(1)
(2)1
(3)
（1）先根据诱导公式将各三角函数化为锐角三角函数，再代入特殊角的三角函数值计算.
（2）根据已知条件求出的值，再将所求式子化为关于的式子进行计算.
（3）先分别运用对于运算法则化简式子的各项，再计算结果.
【详解】（1）,,.
，
则.
.
然后将化简后的值代入原式计算：
.
（2）根据，，则，即.
然后将所求式子化为关于的式子：.
（3）根据对数换底公式，可得.
根据指数运算法则可得.
因为，所以.
根据，则.
根据，
又因为，所以.
又因为.
然后将化简后的值代入，原式.
17．(1)，第75百分位数为84；
(2)众数为75，中位数为75，平均数为74；
(3)平均数为62，方差为37.
（1）根据频率和为1求得，结合百分数定义求第75百分位数；
（2）根据直方图，及众数、中位数、平均数求法求值；
（3）根据已知求样本总均值，再由总方差公式求样本总方差.
【详解】（1）由每组小矩形的面积之和为1，得，解得，
成绩在内的频率为，在内的频率为，
显然第75百分位数，由，解得，
所以第75百分位数为84.
（2）由，得样本成绩的众数为75，
成绩落在[40,70)内的频率为，
成绩落在内的频率为，
故中位数在[70,80)内，由，得样本成绩的中位数为75，
由.
得样本成绩的平均数为74.
（3）由频率分布直方图知，成绩在的市民人数为，成绩在的市民人数为，
所以，
总方差为.
18．(1),对称中心为
(2)
(3)
（1）根据向量数量积的定义，二倍角公式及辅助角公式化简，再根据三角函数的性质求解即可；
（2）由得出，再根据两角差的正弦公式计算即可；
（3）由得出，根据正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式及辅助角公式，将转化为三角函数，根据为锐角三角形得出A的范围，结合三角函数的性质得出范围即可求解．
【详解】（1）.
令，则，，
函数的对称中心为，.
（2）由可知，，
化简得，
，，，
.
（3）由可得， 即，
又，则，则，所以.
由正弦定理有
所以
，
因为为锐角三角形，所以，解得.
所以，则，
所以，则，
所以的周长的取值范围为.
19．(1)
(2)
(3)
（1）根据奇函数的性质求解即可；
（2）整理方程，构造函数，结合二次函数的性质，可得答案；
（3）根据题目中的新定义，利用分类讨论，结合函数的单调性，建立方程，可得答案.
【详解】（1）当时，则，
由奇函数的定义可得，
所以.
（2）当时，方程，即，
设，
由题意知，解得，
则实数m的取值范围为.
（3）因为在区间上的值域恰为，
其中且，所以，则，
由题意，，
而在上单调递减，在上单调递增，
故当时，，所以，
则，所以，
则，解得，
所以在内的“倒域区间”为.