吉林省部分名校2022-2023学年高一上学期期中考试数学试题（含答案）

高一数学考试

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合，则（    ）

A．  B．

C．  D．

2．下列函数是幂函数的是（    ）

A． B．y＝x＋1 C． D．

3．“x＞7”是“x＞8”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．对于变量“气压”的每一个值，变量“水的沸点”都有唯一确定的值与之对应．对于变量“油面宽度”，至少存在一个值，使得变量“储油量”的值与之对应的值不唯一．根据这两条信息，给出下列四个结论：

①水的沸点是气压的函数；②水的沸点不是气压的函数；

③储油量是油面宽度的函数；④储油量不是油面宽度的函数．

其中正确结论的序号为（    ）

A．①④ B．①③ C．②④ D．②③

5．已知函数满足，，且，则（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

6．若，则的最小值为（    ）

A．16 B．20 C．24 D．25

7．若函数在上是增函数，则a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

8．已知函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．已知命题“存在，使得为偶函数”，则（    ）

A．该命题是全称量词命题 B．该命题是真命题

C．该命题是存在量词命题 D．该命题是假命题

10．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E在线段AD上，点F在线段AB上，且线段BF与线段DE的长度相等，设DE＝x，的面积为，则（    ）

A．函数的定义域为 B．

C．函数的定义域为 D．有最大值

11．已知集合，，若使成立的实数a的取值集合为M，则M的一个真子集可以是（    ）

A． B． C． D．

12．下列命题是真命题的是（    ）

A．若a＞b＞0，则 B．若，则的最大值为－1

C．若a＞0，b＞0，则 D．若，则的最小值为3

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．命题p：，的否定为______．

14．若为奇函数，当时，，则______．

15．若集合恰有8个整数元素，写出a的一个值：______．

16．如图所示，定义域和值域均为的函数的图象给人以“一波三折”的曲线之美．

（1）若在上有最大值，则a的取值范围是______；

（2）方程的解的个数为______．（本题第一空2分，第二空3分）

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）

已知集合，．

（1）若a＝b＝4，求，；

（2）若b＝3，且，求a的值．

18．（12分）

已知函数．

（1）求的解析式；

（2）若在上单调递减，求a的取值范围．

19．（12分）

已知是定义在上的偶函数．

（1）将所给的图补充完整；

（2）当时，讨论在上的值域．

20．（12分）

小张同学在求解“若ab＞0，求的最小值”这道题时，他的解答过程如下：

（第一步）因为ab＞0，所以a，b同号，所以，，，均为正数，

（第二步）所以，，

（第三步）所以，故的最小值为．

请你指出他在解答过程中存在的问题，并作出相应的修改．

21．（12分）

近几年，极端天气的天数较往年增加了许多，环境的保护越来越受到民众的关注，企业的节能减排被国家纳入了发展纲要中，这也为检测环境的仪器企业带来了发展机遇．某仪器公司的生产环境检测仪全年需要固定投入500万元，每生产x百台检测仪器还需要投入y万元，其中，，且每台检测仪售价2万元，且每年生产的检测仪器都可以售完．

（1）求该公司生产的环境检测仪的年利润（万元）关于年产量x（百台）的函数关系式；

（2）求该公司生产的环境检测仪年利润的最大值．

22．（12分）

已知函数．

（1）判断在上的单调性，并用定义加以证明；

（2）设函数，若，，，求a的取值范围．

高一数学考试参考答案

1．D 【解析】本题考查集合的补集，考查数学运算的核心素养．

因为，所以．

2．C 【解析】本题考查幂函数的概念．

函数叫做幂函数，其中x是自变量，是常数．

3．B 【解析】本题考查充分必要条件的判定，考查逻辑推理的核心素养．

若x＞7，则x＞8未必成立．若x＞8，则x＞7一定成立．故“x＞7”是“x＞8”的必要不充分条件．

4．A 【解析】本题考查函数的概念，考查数学抽象的核心素养．

根据函数的概念可知水的沸点是气压的函数，储油量不是油面宽度的函数．

5．C 【解析】本题考查函数的求值，考查数学运算的核心素养．

因为，所以，

．

6．D 【解析】本题考查基本不等式中“1”的活用，考查数学运算的核心素养．

因为，所以，，，

当且仅当即，时，等号成立，故的最小值为25．

7．A 【解析】本题考查分段函数的单调性，考查数学运算与直观想象的核心素养．

由题意可得解得．

8．A 【解析】本题考查一元二次不等式与二次函数的图象，考查数形结合的数学思想．

由二次函数的图象可知a＜0，，，所以b＝－2a，c＝a，

所以不等式可化为，即，

因为a＜0，所以．

9．BC 【解析】本题考查全称量词命题与存在量词命题的判定以及函数的奇偶性，考查逻辑推理的核心素养．

“存在”在逻辑中叫做存在量词，因此该命题是存在量词命题．当a＝0时，为偶函数，因此该命题是真命题．

10．BC 【解析】本题考查函数的三要素，考查数学建模的核心素养．

在边长为2的正方形ABCD中，因为BF＝DE＝x＞0，所以AF＝AE＝2－x＞0，

则0＜x＜2，，所以函数的定义域为，，没有最大值．

11．BC 【解析】本题考查集合与不等式的交汇，考查分类讨论的数学思想．

当a＋2＞2a－1，即a＜3时，，符合题意；

当，即时，解得，所以．所以．

故M的真子集可以是，．

12．ACD 【解析】本题考查不等式的性质与基本不等式，考查逻辑推理的核心素养．

对于A，因为a＞b＞0，，所以，故A正确．

对于B，因为，所以，故B错误．

对于C，因为a＞0，b＞0，，所以，故C正确．

对于D，因为，所以，所以，当且仅当，即，时，等号成立，故D正确．

13．， 【解析】本题考查命题的否定，考查逻辑推理的核心素养．

全称量词命题的否定是存在量词命题．

14．1 【解析】本题考查函数的奇偶性与函数的求值，考查数学运算的核心素养．

依题意可得．

15．7（答案不唯一，实数a满足即可） 【解析】本题考查集合整数元素问题，考查逻辑推理的核心素养以及学生对新问题勇于摸索探究的精神．

依题意可得，解得，则，．

所以集合的整数元素的最小值为3，从而最大值为10，所以，解得．

【注】本题如果考生将结果“7”写为“a＝7”不扣分，另外本题还可以对a进行多次调试后得到满足条件的一个a的值．

16．；4 【解析】本题考查函数的值与最值问题，考查直观想象、数学抽象与逻辑推理的核心素养．

由图可知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且．若在上有最大值，则，解得．

由，得或，由图可知，满足的自变量x有3个，且这3个数都小于5；满足的自变量x只有1个，且这个数大于5．故方程的解的个数为4．

17．解：（1）因为a＝b＝4，所以，所以，．

（2）因为，所以．当a＝1时，，满足题意；

当a＝4时，，满足题意；当a＝6或7时，，不满足题意．

综上，a的值为1或4．

评分细则：

【1】第（1）问中，未写，直接得出，，不扣分．

【2】第（2）问中，若考生这样作答：因为b＝3，，且1＋3＝4，4＋3＝7，6＋3＝9，7＋3＝10，所以a的值为1或4．不扣分．

18．解：（1）令x－2＝t，得x＝t＋2，

由，得,

故的解析式为．

（2）由（1）知的图象关于直线对称．

因为在上单调递减，所以，

解得，故a的取值范围是．

评分细则：

【1】第（1）问还可以用配凑法求解，过程如下：

因为，所以，

整理得的解析式为．

【2】第（2）问中，若考生未写“的图象关于直线对称”，直接得到，不扣分．

19．解：（1）补充完整的图如下图所示：

（2）由图可知，在上的图象为线段，设其对应的解析式为，

则解得所以．

当－3＜m＜－1时，在上单调递减，所以在上的最大值为4，最小值为，则在上的值域为．

当时，由图可知在上的值域为．

评分细则：

【1】第（1）问中，画图注意对称性，由两条线段组成，只画对了一条给2分．

【2】第（2）问，得到后，当－3＜m＜－1时，考生未说明“在上单调递减”，得到在上的值域为，不扣分．

20．解：第二步没有写不等式中等号的取等条件，·

事实上，两个不等式中的等号的取等条件不同，

导致第三步取不到的最小值．

修改如下：

（第二步）所以，

（第三步）当且仅当，即时，等号成立，

故的最小值为．

评分细则：

【1】如果考生指出问题时，表明两次使用了基本不等式，且取等条件不一致，则取不到，不扣分．

【2】在修改中，没有分第二步和第三步写，只要过程正确，就不扣分．

21．解：（1）当0＜x＜50时，，

当时，，

故

（2）当0＜x＜50时，，

所以当x＝31时，万元．

当时，，

因为，

当且仅当，即x＝60时，等号成立，

所以．

所以当x＝60时，，

所以当年产量为6000台时，年利润最大，且最大利润为5400万元．

评分细则：

【1】第（1）问，写的分段函数表达式时，没有写，扣1分．

【2】第（2）问，当0＜x＜50时，没有通过配方直接得到“当x＝31时，万元”，不扣分．

22．解：（1）在上单调递减．

证明：设，则

，

∵，∴，，，∴，

∴，，即，∴在上单调递减．

（2）由（1）知在上为增函数，

当时，，，

∴在上的值域为．

，

若，则，则．

依题意可得，则

解得，故a的取值范围为．

评分细则：

【1】第（1）问，如果只得到“在上单调递减”，给1分．

【2】第（2）问，得到“”和“”，但没有写“在上的值域为”，不扣分．最后得到“”，没有写“a的取值范围为”，不扣分．

【3】第（2）问求的值域还可以用如下的方法：

，

令，则，

∵，∴，则，即的值域为．