四川省阆中中学2026届高三上学期1月月考数学试卷（Word版附解析）

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写
在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷（选择题 共 58 分）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，有一项是符
合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接根据集合间的并集定义计算可得结果。
【详解】由 ，解得 ，因为 ，所以 ，
故选：C.
2. （ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数的乘法运算求解.
【详解】 ，
故选:D.
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3. 已知 ， ， 是空间中的三条直线，且 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据空间中垂直和平行的性质及充分条件、必要条件、充要条件的定义分析判断即可.
【详解】若 ， ，则 ， 可以异面、平行或相交，故由 推不出 ，
若 ， ，根据平行线的性质，则 ，
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B.
4. 以抛物线 的焦点为圆心，且与 的准线相切的圆截直线 所得弦长为（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据抛物线方程，求得焦点和准线，再求满足题意的圆方程，利用弦长公式，即可求得结果.
【详解】抛物线 的焦点为 ，准线为 ，
故圆的圆心为 ，半径 .
又点 到直线 的距离 ，
故弦长 .
故选：D
5. 已知平面向量 ， ，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据向量垂直求出 m，再根据向量数量积公式求出两向量夹角的余弦，从而确定夹角的大小．
【详解】已知 ，则 ，
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∵ ，∴ ，解得 ，
∴ ．
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，∴ ．
故选：C．
6. 已知 ，则 的最小值为（ ）
A. 3 B. 2 C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】利用基本不等式求得 ，再根据对数的运算即可求得最小值.
【详解】因为 ， ，所以 ， ，当且仅当
时取等号，
故选：D.
7. 存在函数 满足，对任意 都有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
分析】取特殊值，排除 ABD，对于 C，可通过求 判断.
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【详解】对于 A，令 ，则 ；令 ，则 .
显然对于实数 ，有两个 的值（ 和 ）与其对应，不符合函数的定义，所以 A 错误.
对于 B，令 ，则 ；令 ，则 .
显然对于实数 ，有两个 的值（ 和 ）与其对应，不符合函数的定义，所以 B 错误.
对于 C，令 ，则 ，且 .
由 ，得 .
所以存在函数 满足题意.所以 C 正确.
对于 D，令 ，则 ；令 ，则 .
显然对于实数 ，有两个 的值与其对应，不符合函数的定义，所以 D 错误.
故选：C.
8. 已知三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上， 是边长为 的正三角形， 为球 的直径，
且 ，则此棱锥的体积为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】根据题意作出图形：
设球心为 O，过 ABC 三点的小圆的圆心为 O1，则 OO1⊥平面 ABC，
延长 CO1 交球于点 D，则 SD⊥平面 ABC．∵CO1= ，
∴ ，
∴高 SD=2OO1= ，∵△ABC 是边长为 1 的正三角形，∴S△ABC= ，
∴ ．
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考点：棱锥与外接球，体积．
【名师点睛】本题考查棱锥与外接球问题，首先我们要熟记一些特殊的几何体与外接球（内切球）的关系，
如正方体（长方体）的外接球（内切球）球心是对角线的交点，正棱锥的外接球（内切球）球心在棱锥的
高上，对一般棱锥来讲，外接球球心到名顶点距离相等，当问题难以考虑时，可减少点的个数，如先考虑
到三个顶点的距离相等的点是三角形的外心，球心一定在过此点与此平面垂直的直线上．如直角三角形斜
边中点到三顶点距离相等等等．
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求. 全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知点 、 分别为双曲线 的左、右焦点，点 为 上一动点，则下列说法正确的是（
）
A. 双曲线 的离心率为
B. 若 ，则 面积为
C. 若 ，则 的周长为
D. 若直线 ： 与双曲线 无交点，则直线 的斜率的取值范围为
【答案】AC
【解析】
【分析】根据双曲线的定义、标准方程、几何性质逐项计算判断即可.
【详解】对于 A：因为双曲线方程为 ，所以 .
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所以双曲线的离心率为 ，A 正确；
对于 B：不妨设点 在双曲线右支上，则根据双曲线的定义， ①，
因为 ，则根据勾股定理得 ②，
由①式取平方减去②式，可得 ，即得 ，
则 的面积为 ，B 错误；
对于 C：因为 ，所以点 在双曲线右支上，因 ，
建立解得 ，所以 的周长为 ，C 正确；
对于 D：因为双曲线方程为 ，则其渐近线方程为 .
因为直线 ： 与双曲线 无交点，则当 时， ；当 时， ；
故直线 的斜率的取值范围为 ，故 D 错误.
故选：AC.
10. 甲、乙两人参加环保知识竞赛活动，活动共设三轮，在每轮活动中，甲、乙各回答一题，若一方答对且
另一方答错，则答对的一方获胜，否则本轮平局.已知每轮中甲答对的概率为 ，乙答对的概率为 ，且每
轮活动中甲、乙答对与否互不影响，各轮活动也互不影响，则以下说法正确的是（ ）
A. 每轮活动中，甲获胜的概率为
B. 每轮活动中，平局的概率为
C. 甲至少获胜两轮的概率为
D. 甲胜一轮且乙胜两轮的概率为
【答案】AC
【解析】
【分析】根据古典概型和独立事件的概率知识进行计算即可.
【详解】对于 A：由于在每轮活动中，甲、乙各回答一题，若一方答对且另一方答错，则答对的一方获胜，
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所以每轮活动中，甲获胜的概率为 ，所以 A 正确；
对于 B：由于在每轮活动中，甲、乙各回答一题，若一方答对且另一方答错，则答对的一方获胜，否则本
轮平局，
所以每轮活动中，平局的概率为 ，B 错误；
对于 C：由 A 可知每轮活动中，甲获胜的概率为 ，所以三轮活动中甲至少获胜两轮的概率为
，C 正确；
对于 D：由于每轮活动中，甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ，
所以三轮活动中，甲胜一轮且乙胜两轮的概率为 ，D 错误；
故选：AC.
11. 在棱长为 2 的正方体 中， ，则（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，且 ， ，则直线 与 所成角的最小角为
C. 若 ，则点 所在的平面截正方体所得的截面面积为
D. 若 ，则直线 和直线 所成角的取值范围为
【答案】AC
【解析】
【分析】由题可得 ， .对于 A，由
数量积运算知识可判断选项正误；对于 B，直线 与 BD 所成角的余弦值可表示为 ，然后
由题意及换元可判断选项正误；对于 C，取 中点分别为 ，由题可得 平面 ，
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据此可得截面面积；对于 D，直线 与 AP 夹角余弦值的表达式为： ，
然后令 ，结合题意可判断选项正误.
【详解】对于 A，由题 ，
，
， .
则 ，故 A 正确；
对于 B， ， ，
，
则 ，
因 ，则 .
令 ，则 ，
易得函数 在 上单调递增，则 ，
从而 ，即直线 与 BD 所成角的最小值为 ，故 B 错误；
对于 C，设 ，因 ，
则 四点共面，即 平面 .取 中点分别为 ，
因 ，则 平面 .由题可得 ，
则对应截面面积为： ，故 C 正确；
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对于 D， ，
，
， ， .
则 .
设 ，则 .
当 ，则 ；
当 ， .
因 ，则 .
从而 ，设直线 与 夹角为 ，则
又空间中两直线夹角范围为 ，则 .
注意到 ， ， 在 上单调递减，
则 ，其中 满足 ， ，从而 D 错误．
故选：AC
第Ⅱ卷（非选择题 共 92 分）
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三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. _______
【答案】8
【解析】
【分析】利用对数的运算性质和指数幂的运算性质计算即得.
【详解】 .
故答案为：8.
13. 已知 是等比数列 的前 项和， ， ，则 _______
【答案】
【解析】
【分析】先根据题设条件求出公比，再根据等比数列的性质可求 .
【详解】设等比数列的公比为 ，
因为 为等比数列，故 ，
而
，
故答案为： .
14. 在斜三角形 中，内角 所对的边分别为 ，已知 ，且 的面积 ，
则 的最小值为_______
【答案】
【解析】
【分析】由题可得 ，由题设及正弦定理可得 ，然后由三角函数
知识结合整体思想可得答案.
【详解】因 ，则 ，
则 .
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由正弦定理， .
因 ，则 .又 ，
则 ，从而
令 ，则 .
当且仅当 时取等号.
故答案为： .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数 的最小正周期为 ，且 ．
（1）求函数 的解析式；
（2）函数 的图象是由函数 的图象向左平移 个单位长度得到，若
，求 的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据正切型函数的周期和定点求 ，即可得函数解析式；
（ 2） 根 据 三 角 函 数 图 像 变 换 可 得 ， 结 合 ， 分 析 可 得
，运算求解即可.
【小问 1 详解】
因为 ，且 ，解得 ，
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又因为 ，则 ，
解得 ，
且 ，可得 ，
所以 .
【小问 2 详解】
由题意可知： ，
因为 ，
由 ，即 ，
可知 ，解得 ，
且 ，所以 的最小值为 ．
16. 已知函数 的导函数为 ，函数 与 的图象关于直线 对称.
（1）若数列 的前 项和 ，求 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意知 ，根据 可求得数列 的通项公式；
（2）由函数 与 的图象关于直线 对称，知点列 在 的图象上，所以
；通过求 ，求得 ，进而求得数列 的通项公式，利用裂项相消求和法可求得
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.
【小问 1 详解】
由题意知 .
当 时， ；
当 时， ，
所以
故 .
【小问 2 详解】
，即点 在 的图象上，
因为 与 的图象关于直线 对称，所以点 在 的图象上，
即 ，所以 .
又 ，所以 .
所以 ，
于是
即 .
17. 如图，在三棱柱 中， 为等腰直角三角形， ，
， ， 为棱 的中点， 为棱 上的一点.
（1）求证： 平面 ；
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（2）若平面 与平面 的夹角的余弦值为 ，求线段 的长.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先得到 ， ，得到线面垂直，故 ，再得到 ，由三线
合一得到 ，得 平面 ，然后可得结论；
（2）先证明出面面垂直，再建立空间直角坐标系，设 ，表示出点 的坐标，然后求出平面
的法向量，根据面面角的余弦值列方程求解可得.
【小问 1 详解】
因为 ，所以侧面 为矩形，故 ，
又 ，即 ，且 ， 平面 ，
所以 平面 ，而 平面 ，故 ，连接 ，
又 ， ，故 为等边三角形，所以 ，
因为 是线段 的中点，故 ，且 ， 平面 ，
故 平面 ，因为 平面 ，故 ，
又 ，所以 平面 .
【小问 2 详解】
由（1）知， 平面 ，又 平面 ，故平面 平面 ，
以 为原点， ， 所在直线分别为 轴，
过点 C 在平面 内作垂直 的直线为 轴，建立空间直角坐标系，
由（1）知 为等边三角形，故 为等边三角形，且 轴，
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所以 ， ， ， ， ，
而 ,故 .
设 ， ， ，
则 ，解得 ，
故 ，
易得平面 的一个法向量为 ，
设平面 的法向量 ，则 ，
令 ，则 .
记平面 与平面 夹角为 ，
故 ，
整理得 ，解得 或 （舍去），
所以 .
18. 已知函数 .
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）证明：当 时，函数 有唯一的极值点α和唯一的零点β；
（3）对于（2）中的α与β，比较 与β的大小，并证明你的结论.
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【答案】（1） （2）证明见详解
（3） ，证明见详解
【解析】
【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求出切线的斜率，进而求出切线方程；
（2）利用导数讨论函数单调性，分 和 讨论，当 时利用二次导数讨论单调
性，结合端点函数值符号即可证明；
（3）根据（2）中结论，结合单调性，将问题转化为证明 ，然后构造函数
， ，利用导数讨论单调性，然后可证.
【小问 1 详解】
由题， ，则曲线在点 处的切线斜率 ，又 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 .
【小问 2 详解】
因为 ，
当 时， ，故 ，即 单调递减，
又 ， ，
所以函数 在 上只有一个零点（设为 ），无极值点；
当 时，令 ，则 ，
由于 和 在 上均单调递减，所以 在 上单调递减，
又 ， ，所以存在 ，使得 ，
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当 时， ， 单调递增，即 单调递增，
当 时， ， 单调递减，即 单调递减，
又 ， ， ，
所以当 时， 恒成立，且存在 ，使得 ，
即当 时， ，即 单调递增，
当 时， ，即 单调递减，所以 是 的极值点，
又 ， ，
所以当 时， 恒成立，此时 无零点；
综上，函数 有唯一的极值点 ，及唯一的零点 .
【小问 3 详解】
，证明如下：
由（2）， ， ，则 ，
由于 为 的极值点，所以 ，即 ，
所以 ，
令 ，则 ，所以 单调递增，
故 ，即 ，
所以 ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递减，所以 ，
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所以 ，又 在 上单调递减，故 .
19. 已知椭圆 的短轴长为 2，左、右焦点分别为 ，过点 的直线 l 与椭圆
C 交于 M，N 两点，其中 M，N 分别在 x 轴上方和下方，点 P、Q 分别是 和 的中点， 、 分别
是 和 的重心．
（1）若 ，求椭圆 C 的方程；
（2）在（1）的条件下，过点 并垂直于 x 轴的直线交椭圆 C 于点 B，椭圆上不同的两点 A，D 满足
成等差数列，求弦 AD 的中垂线的纵截距的取值范围；
（3）若 总成立，求实数 a 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由已知可知 ，将 代入椭圆方程，即可求解；
（2）设 , ， , ， 中点 , ，利用弦长公式，分别求出 ， ，再利用点差
法整体代入，根据点 在椭圆内部，即可求解；
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（3）根据重心性质及面积公式得 ，再结合 ，
构造不等式组求得 ，根据函数单调性可得 的范围，联立直线与椭圆方程，结
合韦达定理求解即可．
【小问 1 详解】
椭圆 短轴长为 2，则有 ，故椭圆 ，
将 代入椭圆方程得 ，解得 ，
所以椭圆 C 的方程为 ；
【小问 2 详解】
由题可得 ，进而可得 ， .
设 中点 ，由弦长公式
，
， ，
同理 ，代入 可得 ，
当 AD 斜率存在时 两式作差可得 ，
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，∴
弦 AD 的中垂线方程为 ，
当 时，纵截距 ，即 AD 的中垂线的纵截距.
在椭圆内， ，得 ，且 .
当 AD 斜率不存在时，AD 的中垂线为 轴，在 轴上的截距为 ．
综上所述 ，即弦 AD 的中垂线的纵截距的取值范围为 .
【小问 3 详解】
点 分别为 的重心，设 ，
设点 ，
则根据重心性质及面积公式得 ，
，
而 ，
∴ ，
,
，即 ，
则 ，令 ，
任取 ，有 ，
时， ， ， ，
，即 ；
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时， ， ， ，
，即 ；
则 在 上单调递增，在 上单调递减，
， ，
可得 ，即 ，
设直线 ，则联立椭圆方程得 ，
消元化简得， ，
，
，
对任意的 恒成立，
即 ，故实数 的取值范围为 .
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