四川省阆中中学2022-2023学年高三数学（理）下学期4月月考试题（Word版附解析）

四川省阆中中学校2023年春高2020级4月月考

数学（理科）试题

（满分：150分，时间：120分钟）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知复数，则复数z的实部与虚部之和是（    ）

A.  B.  C. 4 D. 6

【答案】D

【解析】

【分析】根据复数运算律化简后根据定义分别判断实部和虚部计算即可.

【详解】因为．所以复数z的实部与虚部分别是4和2，

故复数z的实部与虚部之和是．

故选:D.

2. 已知集合，，且，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】先求出集合，再利用集合间的包含关系列出不等式组，求出的取值范围即可．

【详解】解：由，，解得，

所以，

集合，

因为，所以，解得．

故选：C．

3. 在中，“”是“”的（    ）

A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】结合正弦函数的性质由，可得，再根据充分条件和必要条件的定义判断即可.

【详解】在中，，

由，可得，

所以“”是“”的必要不充分条件.

故选：B.

4. 阆中是中国历史文化名城，世界优秀旅游城市目的地，每年都会在这里举行“阆马”比赛，选手们沿着美丽的嘉陵江比赛，在阆苑古城中穿越，领略千年古城的魅力.小王为参加“阆马”比赛，每天坚持健身运动.依据小王2022年1月至2022年11月期间每月跑步的里程（单位：十公里）数据，整理并绘制成拆线图，根据该拆线图，下列结论正确的是（  ）

A. 月跑步里程逐月增加

B. 月跑步里程的极差小于15

C. 月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数

D. 1月至5月的月跑步里程的方差相对于6月至11月的月跑步里程的方差更大

【答案】C

【解析】

【分析】根据折线图数据，根据变化趋势即可判断A；根据折线图中的极值即可求得极差可判断B；根据中位数的定义即可求得中位数判断C；根据数据的集中趋势特点即可判断D.

【详解】对于A，由折线图的变化趋势可知，月跑步里程不是逐月增加的，故选项A错误;

对于B，由折线图可知，月跑步里程的最小值出现在2月为5，最大值出现在10月为25，极差为20，大于15，故选项B错误;

对于C，月跑步里程从小到大排列为: 2月，8月，3月，4月，1月，5月，7月，6月，11月，9月，10月，则5月对应的里程为中位数，故C正确;

对于D，由折线图的变化趋势可知，1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小，所以1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月的月跑步里程的方差更小，故选项D错误.

故选：C.

5. 函数在区间上的图象大致为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据函数奇偶性排除B、D，再取特值排除C.

【详解】对于函数，

∵，

故为奇函数，图象关于原点对称，B、D错误；

又∵，且，

故，C错误；

故选：A.

6. 已知为正方形，其内切圆与各边分别切于,连接,现向正方形内随机抛掷一枚豆子（豆子大小忽略不计），记事件A:豆子落在圆内；事件B:豆子落在四边形外，则

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【详解】分析：设正方形边长为,分别求解圆和正方形的面积，得到在圆内且在正方形内的面积，即可求解.

详解：设正方形边长为,则圆的半径为其面积为

设正方形边长为,则 其面积为

则在圆内且在正方形内的面积为

故

故选C．

点睛：本题考查条件概率的计算，其中设正方形边长和正方形得到在圆内且在正方形内的面积是解题的关键.

7. 在中，，且，，动点M在线段AB上移动，则的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由题意可知为等腰直角三角形，由，可得是中点，设，则,由向量的四则运算可得，由二次函数的性质求出的最小值即可.

详解】解：如图所示：

由题意可知为等腰直角三角形，

又因为，

所以，

由，可得是中点，

又因为动点M在线段AB上，

设，则,

所以,

所以，

又因为，

所以当时，.

故选：B.

8. 下面关于函数的叙述中，正确的是（    ）

①的最小正周期为                     

②的对称中心为

③的单调增区间为      

④的对称轴为

A. ①③ B. ②③④ C. ②④ D. ①③④

【答案】D

【解析】

【分析】先利用三角恒等变换化简函数式，再逐一判定即可.

【详解】 ，

①，函数的最小正周期，①正确；

的定义域关于原点对称且为偶函数，

的对称轴为

∴②错误，④正确；

当，即时，单调递增，③正确.

故选：D

9. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上（异于顶点），（点为坐标原点），过点作直线的垂线与轴交于点，则（    ）

A. 6 B.  C. 4 D.

【答案】A

【解析】

【分析】设，由，得为的中点, 表示的方程，求出点的坐标，结合抛物线的定义求得结果.

【详解】法一：依题意，设，由，得为的中点且，

则，易得直线的垂线的方程为.

令，得，故，由抛物线的定义易知，

故，

故选:A.

法二：特殊值法.不妨设，则，则，易得直线的垂线的方程为.令，得，故，又，故.

故选:A.

10. 已知函数的定义域为，满足为奇函数且，当时，若则（    ）

A. 10 B. -10 C.  D. -

【答案】A

【解析】

【分析】根据函数的奇偶性与对称性得函数的周期，再根据已知区间内的解析式求得的值，最后利用周期性即可求得的值.

【详解】由为奇函数可得：，即①，则关于点对称，令，则；

由②，得的图象关于直线对称；

由①②可得：，即，所以，故，所以函数的周期；

所以，即，

联立，解得，故.所以.

故选：A.

11. 已知函数在区间上单调，且满足.若函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由得出函数的对称中心，结合已知的单调区间，限定的范围，由函数在区间上恰有5个零点，再得到的一个范围，取两个范围的交集即可.

【详解】区间上单调，，

的对称中心为，且，

，即，即，.

又的对称中心为，，

在区间上恰有5个零点，相邻两个零点之间的距离为，五个零点之间即，六个零点之间即，只需即可，即，

又，.

故选：B.

12. 设，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由指数式的取值范围可得且，通过构造函数证明不成立，可得到正确选项.

【详解】因为，所以，所以，，所以，所以，若，则，设在上单调递增，所以，即，不合题意.

故选：A.

【点睛】关键点点睛：本题关键点在于，由，，构造函数，通过单调性证明若则存在矛盾.

二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知，则________

【答案】

【解析】

【分析】首先求出，再根据二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得.

【详解】由可得，

故.

故答案为：

14. 电影《中国乒乓之绝地反击》讲述了1992年至1995年期间，戴敏佳从国外回来担任主帅决心有一番作为，龚枫、白民和、黄昭、侯卓翔、董帅五名运动员在戴敏佳的带领下，在天津世锦赛绝地反击的故事.影片中主人公的奋斗历程和顽强拼搏、为国争光的精神激励我们奋勇前行！该影片于2023年1月14日正式上映．在《中国乒乓之绝地反击》上映当天，一对夫妇带着他们的两个小孩一起去观看该影片，订购的4张电影票恰好在同一排且连在一起，为安全起见，影院要求每个小孩要有家长相邻陪坐，则不同的坐法共有__________种．

【答案】16

【解析】

【分析】根据间接法用无要求的全部的安排方法数减去不符合的排法数即可得答案.

【详解】根据题意，将两名家长、孩子全排列，有种排法，

其中两个孩子相邻且在两端的情况有种，

则每个小孩子要有家长相邻陪坐的排法有种.

故答案为：16.

15. 如图，在正四棱台中，，，若半径为r的球O与该正四棱台的各个面均相切，则该球的表面积______．

【答案】

【解析】

【分析】作出正棱台以及球的截面图，作辅助线结合圆的切线性质，求得球的半径，即可求得答案.

【详解】设球O与上底面、下底面分别切于点，与面，面分别切于点，

作出其截面如图所示，则，，

于是，

过点M作于点H，则，

由勾股定理可得︰,

所以，

所以该球的表面积，

故答案为：

16. 已知双曲线的左、右焦点分别为的渐近线与圆在第一象限的交点为M，线段与C交于点N，O为坐标原点．若，则C的离心率为__________．

【答案】

【解析】

【分析】由可知 N是的中点，求出N的坐标，带入双曲线的方程化简即可.

【详解】的渐近线为：，焦点，

∵渐近线与圆在第一象限的交点为M

联立可得

，所以N是的中点，，

因为N在双曲线上，化简得：

所以离心率为，

故答案为：

三､解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题 （共60分）

17. 已知公差不为0的等差数列的前项和为，，且，，成等比数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）设数列的公差为，由可得，而由可得，解方程即可求出，再由等差数列的通项公式即可得出答案；    

（2）由等差数列的前项和公式求出，即可求出，再由裂项相消法和分组求和法求数列的前项和.

【小问1详解】

由条件知，故.

设数列的公差为，则.

因成等比数列，所以，     

即，解得，              

所以.

【小问2详解】

由（1）知，所以

，

故

.

18. “稻草很轻，但是他迎着风仍然坚韧，这就是生命的力量，意志的力量”“当你为未来付出踏踏实实努力的时候，那些你觉得看不到的人和遇不到的风景都终将在你生命里出现”……当读到这些话时，你会切身体会到读书破万卷给予我们的力量．为了解某普通高中学生的阅读时间，从该校随机抽取了名学生进行调查，得到了这名学生一周的平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．

（1）求的值；

（2）为进一步了解这名学生阅读时间的分配情况，从周平均阅读时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了人，现从这人中随机抽取人，记周平均阅读时间在内的学生人数为，求的分布列和数学期望；

（3）以样本频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取名学生，用表示这名学生中恰有名学生周平均阅读时间在内的概率，其中．当最大时，写出的值．

【答案】（1）   

（2）分布列见解析；数学期望   

（3）

【解析】

【分析】（1）根据频率和为，可构造方程求得的值；

（2）根据分层抽样原则可确定人中，周平均阅读时间在，，的人数，则可确定所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学期望公式可求得期望值；

（3）根据频率分布直方图可求得周平均阅读时间在内的概率，利用二项分布概率公式可表示出，由此可确定结果.

【小问1详解】

，.

【小问2详解】

由频率分布直方图可得：周平均阅读时间在，，三组的频率之比为，

人中，周平均阅读时间在的人数为人；在的人数为人；在的人数为人；

则所有可能的取值为，

；；；；

的分布列为：

数学期望.

【小问3详解】

用频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取名学生，周平均阅读时间在内的概率；

则，

若最大，则最大，当时，取得最大值.

19. 如图甲所示的正方形中，对角线分别交于点，将正方形沿折叠使得与重合，构成如图乙所示的三棱柱

（1）若点在棱上，且，证明：∥平面；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）过作交于，证明四边形平行四边形后可证得线面平行；

（2）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角．

【小问1详解】

在三棱柱中过作交于，连接，则，

所以四点共面，且平面平面，

因为，所以，

又是正方形，所以，，，

又，则，

所以四边形平行四边形，，

又平面，平面，所以平面；

【小问2详解】

由（1）知，所以，而与都垂直，

则分别以为轴建立空间直角坐标系，如图，

由得，，，

所以，，

设平面的一个法向量是，

由，取得，

又，则，，

设平面的一个法向量是，

由，取得，

设二面角的平面角为，

则，

由图可知二面角的平面角为钝角，

所以二面角的余弦值是．

20. 已知椭圆的左、右顶点分别为A，B．直线l与C相切，且与圆交于M，N两点，M在N的左侧．

（1）若，求l的斜率；

（2）记直线的斜率分别为，证明：为定值．

【答案】（1）；   

（2）证明过程见解析.

【解析】

【分析】（1）根据圆弦长公式，结合点到直线距离公式、椭圆切线的性质进行求解即可；

（2）根据直线斜率公式，结合一元二次方程根与系数关系进行求解即可.

【小问1详解】

当直线l不存在斜率时，方程为，显然与圆也相切，不符合题意，

设直线l的斜率为，方程为，与椭圆方程联立，得，

因为直线l与C相切，所以有，

圆的圆心坐标为，半径为，

圆心到直线的距离为，

因为，所以有；

【小问2详解】

，

由，

设，

则有，，

，

把，代入上式，得

，而，

所以.

【点睛】关键点睛：利用一元二次方程根与系数关系，结合椭圆切线的性质进行求解是解题的关键.

21. 已知函数（自然对数的底数）在点处的切线方程为.

（1）求、的值；

（2）试判断函数在区间内零点的个数？说明你的理由.

【答案】（1），   

（2）有两个零点，理由见解析

【解析】

【分析】（1） 由切点符合切线方程，以及切线的斜率等于函数在切点处的导数值，列方程组，解出、的值；

（2）由（1）得出函数的解析式，将在区间内零点的个数，转为在区间内零点的个数，对求导，判断出单调性和极值，得出零点个数．

【小问1详解】

的定义域为.

，，，

∵在点处的切线方程为，切线的斜率为.

，解得，.

【小问2详解】

由（1）知，.

∴（为自然对数的底数）.

在区间内有两个零点.理由如下：

∵总成立，∴在区间内零点的个数等价于在区间内零点的个数，

∵，.

又∵，由，得.

当时，得，得，即，在上单调递减.

当时，得，得，即，在上单调递增.

∴在处取得极小值，也是最小值.

.

综上所述，在区间和区间内各有唯一零点，即在区间内有两个零点.

∴函数在区间内有两个零点.

（二）选考题，共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写.

22. 在直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数，）.以直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.在极坐标系中，曲线S的极坐标方程为.

（1）若，在极坐标系中，直线经过点，求的值；

（2）若，直线与曲线S交于A、B两点，求的最小值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据点的极坐标求出点的直角坐标，再将和点的直角坐标代入直线的参数方程即可得解；

（2）先将曲线的极坐标方程化为普通方程，再分和两种情况讨论求出直线所过的定点，再根据当Р为AB的中点时最小，结合圆的弦长公式即可得解.

【小问1详解】

设点的直角坐标为，

因为点的极坐标为.

∴，，

∴当时，得解之，得

∴；

【小问2详解】

将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为，

∴曲线S是以为圆心，半径的圆，

当时，若，化直线的参数方程为普通方程：，

直线过定点，

若，直线的普通方程为：，直线也过点，

∴直线恒过定点，

∵，

∴点Р在圆C内，

∴当Р为AB的中点时最小，

这时，，

∴.

23. 已知函数

（1）求函数的最小值；

（2）若为正实数，且，求最小值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由绝对值的定义去掉绝对值符号后得函数的单调性，从而得最小值；

（2）结合（1）得出，然后利用柯西不等式可得最小值．

【小问1详解】

，

在上单调递减，在上单调递增，

所以；

【小问2详解】

由已知得当时，则由得：

即：

则由柯西不等式得：

所以，当且仅当时等号成立.

所以的最小值为