重庆市松树桥中学2026届高三上学期第四次质量检测数学试题（Word版附解析）

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【时间：120 分钟 满分：150 分】
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1. 设集合 ， ，则 （ ）
A B. C. D.
2. 已知复数 ，则|z|＝（ ）
A 3 B. 4 C. 5 D. 6
3. 在 中，若 ， ，对角线的交点为 O，则 （ ）
A. B. C. D.
4. 在 中，“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 已知 为等差数列， ，则 （ ）
A. 32 B. 27 C. 22 D. 17
6. 甲、乙、丙、丁、戊、己 6 人站成一排拍合照，要求甲必须站在中间两个位置之一，且乙、丙 2 人相邻，
则不同 排队方法共有（ ）
A. 24 种 B. 48 种 C. 72 种 D. 96 种
7. 已知长方体 的外接球表面积为 ，且 ，则该长方体的体积的最大值为（
）
A. B. C. 3 D.
8. 已知圆 ，圆 ．若圆 上存在点 ，过点 作圆 的两条切
线，切点为 ， ，使得 ，则 的取值范围（ ）
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A. B. C. D.
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 下列说法正确的有（ ）
A. 设随机变量 服从正态分布 ，若 ，则
B. 若样本数据 ， ，…， 的方差为 4，则数据 ， ，…， 的方差为 16
C. 抛掷一枚质地均匀的硬币两次则事件“第一次正面朝上”与事件“第二次反面朝上”互斥
D. 若事件 A 与事件 B 相互独立， ， ，则
10. 关于 的展开式，下列结论正确的是（ ）
A. 所有项的二项式系数和为 64 B. 所有项的系数和为 0
C. 常数项为 D. 系数最大的项为第 3 项
11. 若数列 满足：存在 ，使得 对任意 成立，则称 是“受限数列”， 的
最小值称为 的“受限上界”.记 的前 项和为 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则 是受限数列
B. 若等差数列 满足 ， ，则 是受限数列
C. 若 ，则 是受限数列，其受限上界为 3
D. 若 ， 都是受限数列，则 也是受限数列
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12 若随机变量 ，则 ______．
13. 若双曲线 的离心率为 2，则此双曲线的渐近线方程___________.
14. 若函数 ，为奇函数，则参数 a 的值为___________．
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 函数 的部分图象如图所示.
（1）求 的解析式及其单调增区间；
（2）若 ，求不等式 的解集.
16. 某校组织“一带一路”答题抽奖活动，凡答对一道题目可抽奖一次.设置甲、乙、丙三个抽奖箱，每次
从其中一个抽奖箱中抽取一张奖券.已知甲箱每次抽取中奖的概率为 ，乙箱和丙箱每次抽取中奖的概率均
为 ，中奖与否互不影响.
（1）已知一位同学答对了三道题目，有两种抽奖方案供选择：
方案一：从甲、乙、丙中各抽取一次，中奖三次获得价值 50 元的学习用品，中奖两次获得价值 30 元的学
习用品，其他情况没有奖励.
方案二：从甲中抽取三次，中奖三次获得价值 70 元的学习用品，中奖两次获得价值 40 元的学习用品，其
他情况没有奖励；
通过计算获得学习用品价值的期望，判断该同学选择哪个方案比较合适？
（2）若一位同学答对了一道题目.他等可能的选择甲、乙、丙三个抽奖箱中的一个抽奖.已知该同学抽取中
奖，求该同学选择乙抽奖箱的概率.
17. 如图，四棱锥 ， 平面 ABCD， ， ， ．若
E 点满足 ，平面 交线段 PD 于 F 点．
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（1）求证： ；
（2）若平面 与平面 夹角的余弦值为 ，求 D 点到平面 的距离．
18. 已知点 在圆 上，作 垂直于 轴，垂足为 ，点 为 中点．
（1）求动点 的轨迹 的方程；
（2）直线 与 轴交于点 ，与 交于 、 两个相异点，且 ，求 的取值范围．
19. 已知函数 .
（1）求 的极值；
（2）若当 时， ，求实数 的取值范围；
（3）设实数 ， 满足 ，证明：