重庆市松树桥中学2024-2025学年高二上学期第一次质量检测数学试题（Word版附解析）

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1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上
2．回答选择照时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选除其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．
1. 已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用直线的斜率和直线倾斜角的关系进行求解即可.
【详解】由直线的倾斜角为，
则直线的斜率，
故选：C.
2. 已知空间向量，且，则（ ）
A. 10B. 6C. 4D.
【答案】C
【解析】
【分析】运用空间向量平行的坐标结论计算.
【详解】因为，所以,
即，则.
故选：C.
3. 设是直线的方向向量，是平面的法向量，则（ ）
A. 或B. 或
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】依题意可得，即可，即可判断.
【详解】因为是直线的方向向量，是平面的法向量，
所以，所以，
所以或.
故选：A
4. 已知，，三点不共线，是平面外任意一点，若由确定的一点与，，三点共面，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据点与，，三点共面，可得，从而可得答案.
【详解】因为，，三点不共线，点与，，三点共面，
又，
所以，解得.
故选：A.
5. 已知三点共线，则（ ）
A. B. 6C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据三点共线列方程，从而求得的值.
【详解】由题可得，即，解得．
故选：B
6. 如图，在平行六面体中，点E，F分别为AB，的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定的几何体，利用空间向量的基底表示向量.
【详解】在平行六面体中，点E，F分别为AB，的中点，
则.
故选：A
7. 已知，，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用向量模的计算公式即可得出．
【详解】，
∴
，
当且仅当时取等号．
∴的最小值为．
故选：D.
8. 如图所示，正方体的棱长为1，点分别为的中点，则下列说法正确的是（ ）
A. 直线与直线垂直B. 直线与平面平行
C. 三棱锥的体积为D. 直线BC与平面所成的角为
【答案】B
【解析】
【分析】A选项根据正方体的性质判断；对于B，D利用空间向量判断，对于C，利用体积公式求解即可.
【详解】A选项：为正方体，所以，直线与直线不垂直，所以直线与直线不垂直，故A错误；
如图建立空间直角坐标系，则，
对于B，设平面的法向量为，则，
令，则，
因为，所以，所以，
因为在平面外，所以直线与平面平行，所以B正确，
对于C， ，所以三棱锥的体积为，所以C错误，
对于D，，直线BC与平面所成角为，，所以D错误，
故选：B.
二、多项选择题，本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分部分选对的得2分有选错的得0分．
9. 如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】利用斜率与倾斜角的定义，结合图象判断即可得.
【详解】由图可得，，故A、D正确.
故选：AD.
10. 已知是空间的一组基底，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 若，则
C. 在上的投影向量为D. 一定能构成空间的一组基底
【答案】BCD
【解析】
【分析】A选项，与共线，与共线，根据基底概念得到不共线，故A错误；B选项，假设x，y，z不全为0，推出矛盾，故假设不成立，B正确；C选项，根据投影向量的公式得到C正确；D选项，设，得到方程组，无解，故不共面，一定能构成基底.
【详解】A选项，与共线，与共线，
为一组基底，故不共线，故不可能成立，故A不正确；
B选项，是空间的一组基底，故三个向量不共面且两两共面不共线，
假设x，y，z不全为0，不妨设，，此时有，故，矛盾；
不妨设，此时，故共线，矛盾；
若三者均不为0，即，此时共面，矛盾，
综上，假设不成立，故，B正确．
C选项，在上的投影向量为，C正确．
D选项，设，则，
即，无解，
故不共面，一定能构成空间的一组基底，D正确．
故选：BCD．
11. 如图，边长为1的正方形所在平面与正方形在平面互相垂直，动点分别在正方形对角线和上移动，且，则下列结论中正确的有（ ）
A. ，使
B. 线段存在最小值，最小值
C. 直线与平面所成的角恒为45°
D. ，都存在过且与平面平行的平面
【答案】AD
【解析】
【分析】利用向量的线性运算可得，结合向量的模的计算可判断B的正误，结合向量夹角的计算可判断C的正误，结合共面向量可判断D的正误.
【详解】因为四边形正方形，故，
而平面平面，平面平面，
平面，故平面，而平面，
故.
设，则，其中，
由题设可得，
，
对于A，当即时，，故A正确；
对于B， ，
故，当且仅当即时等号成立，故，故B错误；
对于C，由B的分析可得，
而平面的法向量为且，
故，此值不是常数，
故直线与平面所成的角不恒为定值，故C错误；
对于D，由B的分析可得，故为共面向量，
而平面，故平面，故D正确；
故选：AD
三、填空题．本题共3小题．每小题5分，共15分
12. 点关于平面对称点是___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据关于什么对称什么不变来得答案.
【详解】点关于平面对称点是
故答案为：
13. 已知空间直角坐标系中的三点、、，则点A到直线BC的距离为______．
【答案】##
【解析】
【分析】求出直线的方向向量，再利用点到直线距离公式计算即得.
【详解】依题意，，
所以点A到直线BC的距离.
故答案：
14. 在正三棱锥中，是的中心，，则______________．
【答案】16
【解析】
【分析】选择为空间向量的基底，表示向量，再计算数量积即可.
【详解】如图：
首先：，.
又.
所以.
故答案为：16
四、解答题本小题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15. 已知直线l经过两点，同当m取何值时；
（1）直线l与x轴平行？
（2）直线l斜率不存在；
（3）直线的倾斜角为锐角？
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】根据直线斜率的定义以及公式，解得直线位置关系，可得答案.
【小问1详解】
若直线l与x轴平行，则直线l的斜率，所以．
【小问2详解】
若直线l与y轴平行，则直线l的斜率不存在，所以.
【小问3详解】
由题意可知，直线l的斜率，即，解得．
16. 如图，在平行六面体中，，.

（1）求体对角线的长度；
（2）求证：四边形为正方形.
【答案】（1）；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律求出.
（2）利用平行六面体的结构特征，结合已知及正方形的判断推理即得.
【小问1详解】
在平行六面体中，，
由，，
得，
所以.
【小问2详解】
在平行六面体中，，则四边形为平行四边形，
由，，得是等边三角形，即，则为菱形；
又，则，即，
所以四边形为正方形.
17. 如图，在多面体中，，，.侧面为矩形，平面，平面ABC，

（1）求直线与平面所成角的正弦值
（2）求直线到平面的距离.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可；
（2）利用空间向量点到面距离公式进行求解即可
【小问1详解】
因为侧面为矩形，
所以，
因为平面，平面，
所以，于是建立如图所示的空间直角坐标系，

，
，，，
设平面的法向量为，
，
直线与平面所成角的正弦值为；
【小问2详解】
因为侧面为矩形，
所以，而平面，平面，
所以平面，
因此直线到平面的距离就是点到平面的距离，设为，
即.
18. 如图，在四棱锥中，，，，三棱锥的体积为.
（1）求点到平面的距离；
（2）若，平面平面，点在线段上，，求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据等体积法求得点到平面的距离；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得平面与平面夹角的余弦值.
【小问1详解】
设点到平面距离为，
则，
由题可知，
所以，
所以点到平面的距离为.
【小问2详解】
取的中点，连接，因为，
又平面平面且交线为，平面，，
所以平面，由（1）知.
由题意可得，
所以，所以.
以点为坐标原点，为轴，为轴，过点作的平行线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，
依题意，
所以.
设平面的法向量为n1=x1,y1,z1，
则，故可设，
平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
19. 如图，已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别为AD，BC的中点，沿EF将四边形EFCD折起，使二面角的大小为60°，点M在线段AB上.
（1）若M为AB的中点，且直线MF与直线EA的交点为O，求OA的长，并证明直线平面EMC；
（2）是否存在点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为60°；若存在，求此时二面角的余弦值，若不存在，说明理由.
【答案】（1）；证明见解析；
（2）存在点，使得直线与平面所成的角为；此时二面角的余弦值为.
【解析】
【分析】（1）根据中位线性质可求得，由，结合线面平行判定定理可证得结论；
（2）由二面角平面角定义可知，取中点，由线面垂直的判定和勾股定理可知两两互相垂直，则以为坐标原点建立空间直角坐标系；设，利用线面角的向量求法可求得；利用二面角的向量求法可求得结果.
【小问1详解】
分别为中点，
，且，
又为中点，且，
易得，
连接，交于点，连接，
由题设，易知四边形为平行四边形，
为中点，
是的中点，
为中点，
，又平面，平面，
平面；
【小问2详解】
，
，，
又平面，平面，
即为二面角的平面角，
；
取中点，连接，如图，
，，
，
，
，
，
，，又平面，，
平面，
平面，
，
则以为坐标原点，方向为轴正方向建立空间直角坐标系如下图所示，
则，，，，
设，则，，，
设平面的法向量n1=x1,y1,z1，则，
令，则，，，
直线与平面所成的角为，
，解得或，
存在点，当或时，使得直线与平面所成的角为；
设平面的法向量，又，，
，
令，则，，；
当时，，；
当时，，；
综上所述：二面角的余弦值为.
【点睛】关键点点睛：本题第二步的关键在于证明三线互相垂直，建立空间直角坐标系，设出动点的坐标，熟练利用空间向量的坐标运算，求法向量，求二面角、线面角是解题的关键.