重庆市合川中学2025-2026学年高二上学期期末模拟考试数学试题（Word版附解析）

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考试时间：120 分钟；
一、单选题：本题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题意的.
1. 已知直线 的倾斜角为 ，则直线 的斜率为（ ）
A. B. C. D.
2. 双曲线 的渐近线方程是（ ）
A B. C. D.
3. 已知圆 ，圆 ，则圆 与圆 位置关系
是（ ）
A. 相交 B. 内含 C. 内切 D. 外切
4. 已知数列 满足 ，且 ，则 （ ）
A. B. C. D. 2
5. 已知椭圆 的一个焦点是 ，过原点的直线与 相交于点 ， ， 的面积是
，则 （ ）
A. B. C. D.
6. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．已知四棱锥
是阳马， 平面 ，且 ，若 ， ， ，则 （ ）
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A. B.
C. D.
7. 已知直线 l 与焦点为 F 的抛物线 相交于 M，N 两点，且 ，线段 的
中点 A 到抛物线 C 的准线的距离为 d，则 的最小值为（ ）
A. B. C. 3 D.
8. 函数 导函数 满足 ，且 ，则不等式 的解
集是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共 3 个小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知曲线 ．则下列说法中正确的是（ ）
A. 若 ，则 是单位圆
B. 若 ，则 是焦点在 轴上的椭圆
C. 若 ，则 是平行于 轴的两条直线
D. 若 ，则 是双曲线且渐近线方程为
10. 若函数 ，其导函数为偶函数，且其导函数 图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ）
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A. 在 与 处的瞬时增长率相同
B. 在 上不单调
C. 可能为奇函数
D.
11. 如图，在棱长为 6 正方体 中， ， 分别为棱 ， 的中点， 为线段
上的一个动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 三棱锥 体积为定值
B. 存在点 ，使平面 平面
C. 设直线 与平面 所成角为 ，则 最小值为
D. 平面 截正方体 所得截面的面积为
三、填空题：本题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 若点 P 是圆 上的动点，则点 P 到直线 的距离最大值为_________．
13. 已知等差数列 中，前 项和为 ，这 项中的偶数项之和为 ，且 ，则数列
的通项公式 ______.
14. 数列 的前 项和是 ，且 ，则 __________.
四、解答题：本题共 5 个小题，共 77 分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知数列满足 ，且对任意的 ，都有 .
（1）令 ，证明：数列 为等比数列；
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（2）求数列 的通项公式及数列 的前 项和 .
16. 如图，在直三棱柱 中，底面 是边长为 2 的正三角形， ，点 ， 分别在
线段 ， 上，且 ， .
（1）求证： 平面
（2）求直线 与平面 所成角正弦值.
17. 已知 的顶点 ， 边上的中线 所在的直线方程为 ， 边上的高
所在直线的方程为 ．
（1）求 的顶点 、 的坐标．
（2）若圆 经过不同的三点 、 、 ，且斜率为 的直线与圆 相切于点 ，求圆 的方程．
18. 若函数 ．
（1）求曲线 在点 处的切线的方程；
（2）判断方程 解的个数，并说明理由；
（3）当 ，设 ，求 的单调区间．
19. 已知双曲线 的右焦点为 ，离心率为 ．
（1）求 的标准方程；
（2）设 的右顶点为 ，过点 的直线 与 的右支交于 两点，记直线 的斜率分别为
，证明： 为定值；
（3）已知点 是 上任意一点，直线 ： 是 在点 处的切线，点 是 上异于
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点 的动点，且过点 与 （ 为坐标原点）平行的直线 交 于 两点，定义 为双曲线
在点 处的切割比，记为 ，求切割比 ．