重庆市巴蜀中学2025-2026学年高二上学期期中数学试卷（Word版附解析）

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注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚.
2．每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效.
3．考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存.满分 150 分，考试用时 120 分钟.
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. 已知抛物线方程为 ，则焦点到 轴的距离为（ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据抛物线的方程，求出焦点，即可得出焦点到 轴的距离.
【详解】因为抛物线方程为 ，
所以抛物线焦点为 ，
所以焦点到 轴的距离为 .
故选：C
2. 已知数列 中， ， ，则 （ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由递推关系式可知数列 是周期为 3 的周期数列，根据周期性可得结果.
【详解】由 ， ，则 ， ，
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可得 ，
，
得到数列 是周期为 3 的周期数列，则 .
故选：D
3 已知直线 与直线 平行，则实数 （ ）
A. B. 1 C. 或 1 D.
【答案】C
【解析】
【分析】由直线平行的充要条件列式运算即可求解.
详解】已知直线 与直线 平行，
则当且仅当 ，解得 或 .
故选：C.
4. 设椭圆 的左、右焦点分别为 、 ， 是 上的点， 轴，
，则椭圆 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设 ，根据条件可得 ，再利用条件可得 ，即
可求解.
【详解】因为 ，不妨设 ，则 ，
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整理得到 ，所以 ，又 ，所以 ，
整理得到 ，所以 ，解得 或 （舍），
故选：B.
5. 若 是空间的一个基底，则也可以作为该空间基底的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用空间向量的基底的概念结合空间向量的共面定理一一判定即可.
【详解】对于 A 项，易知 ，则 A 项中向量共面，不符合；
对于 B 项，易知 ，则 B 项中向量共面，不符合；
对于 D 项，易知 ，则 D 项中向量共面，不符合；
对于 C 项，易知 不共面，即 C 正确.
故选：C
6. 已知圆 关于直线 对称，圆
，则圆 与圆 的位置关系是（ ）
A. 内含 B. 相交 C. 外切 D. 外离
【答案】B
【解析】
【分析】先将圆 化为标准方程，求出圆心和半径，再利用给定条件求解出参数，最后利用圆与圆的位置
关系判断即可.
【详解】 圆 ， ，
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故圆 的圆心为 ，半径 且 ，
而 的圆心为 ，半径 ，
圆 关于直线 对称， 直线 经过圆 的圆心，
故 ，解得 ， 圆 的圆心为 ，半径 ，
由两点间距离公式，可得 ，
又 ， 圆 与圆 的位置关系是相交，
故选： .
7. 已知抛物线 焦点为 F，A、B 是抛物线上异于原点 O 的两点，且 ，则
的最小值为（ ）
A. 21 B. 13 C. 10 D. 9
【答案】A
【解析】
【分析】分别设直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，通过联立方程求解出 ， 点的
坐标，利用抛物线的定义表示出待求式，并利用均值不等式求解最小值.
【详解】由于 A、B 是抛物线上异于原点 O 的两点，且 ，
设直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
则 ，得： ，解得： 或 .
由此可得： .
同理 ，得： ，解得： 或 .
由此可得： .
根据抛物线的定义可得：
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，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 的最小值为 .
故选：A
8. 已知直线 l 过双曲线 的左焦点 F，与 C 的左、右两支分别交于 A、B 两点，且 P 为线段
中点，设 O 为坐标原点，若 是以 为底边的等腰三角形，则直线 l 的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由点差法得 ，由条件知直线 的倾斜角为 倾斜角的两倍，代入两直线的斜率关
系式 即可求得 的斜率.
【详解】如图，设 ，
由 均在 上， 为 的中点，
得 ，则 ，
∴ ，
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∴ ，设直线 的倾斜角为 ，则 ，不妨设 为锐角，
∵ 是以 为底边的等腰三角形，∴直线 的倾斜角为 ，则 .
∴ ，
∴ ，解得 ，
∴由对称性知直线 的斜率为 .
故选：C
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知直线 与圆 交于 、 两点，则（ ）
A. 直线 l 过定点 B. 的最大值为 8
C. 的最小值为 D. 使得弦长 为整数的直线 l 有 4 条
【答案】ABC
【解析】
【分析】通过整理直线方程，即可求得定点坐标，判断 A 选项；直线与圆的交点弦中最长的是直径，判断
B 选项；当圆心与定点所在直线与直线 垂直时，弦长最小，由弦长为 求得最小值，判断 C 选项；
由 B、C 选项可知弦长 的取值范围，然后写出可能取到的整数集，分别求出对应直线即可判断 D 选项
.
【详解】直线 ，∴直线 过定点 ，A 选项正确；
当直线经过圆心 时， 的值最大，此时 ，B 选项正确；
圆心 ，则 ，当 时，圆心到直线 的距离最大，
此时 ，即 ，C 选项正确；
∴ ，∵弦长 为整数，∴ ，
当 时，直线经过点 及 ，有且只有一条，
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当 时，圆心到直线 的距离 ，又∵ ，
∴ ，∴ ，∴ ，
∵ ，即方程 存在两个根，
∴这样的直线由 2 条，故使得弦长 为整数的直线 l 有 3 条，D 选项错误；
故选：ABC
10. 已知等差数列 的前 n 项和为 ， ，则（ ）
A. B.
C. 使 的 n 的最大值为 25 D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据等差数列前 项和公式可得 ，结合等差数列的通项公式即可判断 AB；令
，解出 的值，可得不等式 的解集，即可判断 C；令 可得 恒为负，
， 恒为正，开绝对值即可求解.
【详解】设等差数列 的公差为 ，则 ，
又 ，所以 ，解得 ，
则 ，故 AB 正确；
令 即 ，解得 或 （舍去），
所以不等式 的解集为 ，
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又 ，所以 的最大值为 26，故 C 错误；
令 ，
则 恒为负， ， 恒为正，
所以
.故 D 正确.
故选；ABD
11. 已知 P 为抛物线 上一点，F 为 C 的焦点，直线 l 的方程为 ，则下列说法正确的
有（ ）
A. 若 ，则 的最小值为 4
B. 点 P 到直线 l 的距离的最小值为
C. 若存在点 P，使得过点 P 可作两条垂直 直线与圆 相切，则 r 的取值范围为
D. 过直线 l 上一点 Q 作抛物线的两条切线，切点分别为 M、N，则 面积的最小值为 32
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用抛物线的定义，结合几何法可判断 A，利用点到直线的距离公式，结合二次函数可判断 B，利
用切线问题转化为到圆心的距离问题，再结合二次函数可判断 C，利用导数求切线，再得切点弦，最后可
求弦长和点到直线的距离来得到面积的函数关系求最小值，即可判断 D.
【详解】
由 可得： ，过点 作准线的垂线，垂足为 ，
则 ，故 A 正确；
设抛物线 上的动点 ，则由点到直线的距离公式可得：
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，故 B 错误；
设存在点 P，使得过点 P 可作两条垂直的直线与圆 相切，
则 ，即 ，
从而把问题转化为抛物线上存在点 P 到点 的距离为 ，又设 ，
则 ，
即 ，故 C 正确；
设切点 ，由 求导得： ，
所以切线 方程为： ，
同理切线 方程为： ，
由于切线 与切线 相交于点 ,所以有：
与 成立
由于切点 满足直线方程
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即直线 方程为： ，因为 ，
所以直线 方程化为： ，由它与抛物线 联立，
消 得： ，
由此可得 ，
由点 到直线 距离公式得：
，
所以 的面积为
，故 D 正确；
故选：ACD.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 请写出满足下列两个条件的一个双曲线的标准方程_____________
①实轴长为 ； ②渐近线方程为
【答案】 或
【解析】
【分析】根据题意可求出 ，然后在根据渐近线方程求出 ，由于题目没有告诉双曲线的焦点在 轴上还是
轴上，所以需要分类讨论.
【详解】当双曲线焦点在 轴上时，由题意可知 ，
所以 ，此时双曲线标准方程为 .
当双曲线焦点在 轴上时，由题意可知 ，
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所以 ，此时双曲线标准方程为 .
故答案为： 或
13. 如图所示，在直三棱柱 中， ， ，D 为棱 的中点，则
点 C 到平面 的距离是_____________
【答案】
【解析】
【分析】根据等体积法直接计算点到面的距离可得.
【详解】因直三棱柱 中，所以 平面 ， 平面 ，
所以 ，由勾股定理得 .
在等腰三角 形中， ，
底边 上的高为 ， .
设点 C 到平面 的距离为 ，则 .
又 ，
所以 .
故答案为： .
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14. 已知数列 满足 ， ，若存在正整数 m 使得
恒成立，则 _____________．
【答案】8
【解析】
【分析】利用和式求第 项通项公式，再求得 ，然后利用递推思想来判断数列的单调性，
最后可求解 .
【详解】由 可得：
且 ，
两式相减得： ，即 ，
当 时， ，满足上式，
所以 ， ，即 ，
由
当 时， ，当 时， ，
所以 ， .
故答案为：8
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知数列 为等差数列，其前 n 项和为 ，若 ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设数列 的前 n 项和为 ，求 的最小值．
【答案】（1）
（2）
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【解析】
【分析】（1）根据等差数列通项公式的基本量计算即可求解；
（2）设 ，由（1）可得 ，则 是以 为首项，以 1 为公差的等差数列，进而
，结合二次函数的图象与性质计算即可求解.
【小问 1 详解】
设等差数列 的公差为 ，
由 ，
所以 ，得 ，
故等差数列 的通项公式为 ，
【小问 2 详解】
由（1）知， ，
设 ，则 ，得 ，
所以数列 是以 为首项，以 1 为公差的等差数列，
所以 ，
是一条开口向上的抛物线，对称轴为 ，且 ，
所以当 或 14 时， 取到最小值-91.
16. 已知 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的面积．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
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【分析】（1）由同角三角函数基本关系及正弦定理余弦定理化简即可得证；
（2）由（ 1）和 可得 为钝角，由平方关系可得 ，将 代入
化简可得 ，由余弦定理计算可得 ，最后根据三角形面积公式计算即可求解.
【小问 1 详解】
因为 ，则 ，
所以 ，
由正弦定理及余弦定理化简可得
（ 为 外接圆半径），
化简可得 ，即 ；
【小问 2 详解】
由（1）可知 ，所以 ，
因为 ， 异号，所以 为钝角，
因为 ，所以 ，
由（1）可知 ，代入 ，可得 ，
因为 ，所以 ，即 ， ，
所以 .
17. 已知点 P 为圆 上 动点，过点 P 作 y 轴的垂线，垂足为 H，若 ．
（1）求动点 Q 的轨迹 的方程；
（2）若圆 O 与 x 轴的左、右交点分别为 M、N，过 M 的直线与轨迹 交于 A、B 两点，求 的内切圆
面积的最大值．
【答案】（1）
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（2）
【解析】
【分析】（1）设点 坐标为 ，借助 构造方程组，利用代入法求点 的轨迹 的方程；
（2）由题意知直线不垂直 轴，设过 的直线为 ，联立方程组，借助韦达定理和三角形面积
公式以及换元法结合基本不等式计算即可.
【小问 1 详解】
设 ，圆上动点 ，
过 作 轴垂线，垂足 的坐标为 ( 坐标与 相同， 坐标为 ).
由 ，向量坐标满足：
即： ，解得 .
因为 在圆 上，代入得：
即 ，
故：此为动点 的轨迹 的方程.
【小问 2 详解】
由题知圆 与 轴的交点为 （ 长度为 4），
设过 的直线为 ，与椭圆 联立，整理得：
由韦达定理得 ， ，
因为 ， ，
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所以 ，
令 ，则 ，面积 ，
由基本不等式 （当且仅当 时取等号），得 ，
所以当 （即 ）时，面积最大为 ，
因为直线 为 ，代入椭圆得 ，
所以 ，所以周长 ，
由三角形面积公式 ( 为周长， 为内切圆半径)，
因此 ，所以 ，
所以内切圆面积最大值为 .
18. 如图，四棱锥 中， 平面 ，四边形 为直角梯形， ，
，且 ．
（1）若点 E 满足 ，求证： 平面 ；
（2）点 M 在线段 上，且 ，动点 Q 在平面 内，且满足 ．
（i）求三棱锥 的体积的最大值；
（ii）求直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；
（2）（i） ；（ii） .
【解析】
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【分析】（1）用空间向量 “线 面的法向量→线 面”；先建坐标系写坐标，再求平面 的法向量，
最后看直线 的向量和法向量垂直，就证出线面平行.
（2）（i）先找 的轨迹（圆），再用体积公式找最值；由 算出 在一个圆上，三棱锥体积由 Q
到 的距离决定，圆上这个距离最大是 2，代入体积公式就算出最大值.（ii）先求平面 的法向量，
把 Q 用三角函数表示（圆的参数式），代入线面角公式，再用三角函数的性质求出范围.
【小问 1 详解】
以 A 为原点，分别以 为 轴建立空间直角坐标系，
各点坐标： ， ， ， ， ，
由 ， ，得 ，
故
设平面 的法向量为 ， ， ，
则 ，取 ，得 ，即 ，
又因为 ，则 ，故 .
因为 平面 ，所以 平面 .
【小问 2 详解】
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（i）由 ，得 ( 在 x 轴上， )，
设 （在平面 ABCD 内），由 ，得： ，
平方化简得 ，即 的轨迹是以原点为圆心、半径为 2 的圆.
因为 （ 平面 ，为高），
所以 ( ， 是 Q 到 的距离).
所以三棱锥 的体积：
由 Q 的轨迹 ，得 ，故 的最大值为 4，因此：
.
故：三棱锥 的体积最大值为 .
（ii）由图知平面 的两个向量： ，
设平面 的法向量为 ，由法向量与平面内向量垂直得：
，则 ，取 ，得法向量 .
设 (由 参数化)，则 ，
则 ， ，
因为正弦函数的有界性 ，
，
所以线面角α的正弦值为：
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，代入化简得：
.
故：直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围为 .
19. 已知双曲线 的一条渐近线为 ，且过点 ，动点 P 在直
线 上．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）直线 l 过双曲线右焦点 F 且与双曲线右支交于 A、B 两点，求证：直线 、 、 的斜率成等差
数列；
（3）若过点 P 作双曲线的切线有两条，切点分别为 M、N，设直线 、 的夹角为 ，求 的取
值范围．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）通过渐近线方程及双曲线所过点的坐标构造方程组，通过解方程组求得 ， ，进而求解双
曲线方程；
（ 2） 设 ， ， ， 通 过 直 线 与 曲 线 联 立 ， 利 用 韦 达 定 理 求 得 ：
， ，通过验证： ，进而证明直线 、 、 的斜
率成等差数列；
（3）设过点 的切线方程为 ，设直线 、 的斜率分别为 ， ，通过联立方
程，利用韦达定理可得： ， .代入 中即可求得 的取值
范围.
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【小问 1 详解】
已知双曲线渐近线为 ，可得： ；
将点 代入双曲线方程中得： ，
由 ，解得： ， ，
所以双曲线方程为 .
【小问 2 详解】
如图，设 ， ， ， ，
则 ， ， ，
设 ，联立方程： ，
得： ，因为两交点均在右支，则 ，
，
， ，
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，
由此可得： ，因此得证：直线 、 、 的斜率成等差数列；
【小问 3 详解】
如图，设过点 的切线方程为 ，
设直线 、 的斜率分别为 ， ，
联立方程： ，
得： ，
由于直线与曲线相切，所以 ，即 ，
整理得： ，
当 时，方程 的其中一个根为 ，
此时切线与渐近线重合，不合题意；
当 时，方程 的其中一个根为 ，
此时切线与渐近线重合，不合题意；
又因为方程 的判别式 ，
故 的取值范围为 .
由此可得： 与 为方程 的两个根；
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即得： ， .
直线 、 的夹角为 ，
则 ，
由于 （当 时，最小值取等号）
得： ，
所以 的取值范围为 .
第 22页/共 22页