2022-2023学年广东省广州市番禺区八年级上学期期末数学试卷（含答案）

这是一份2022-2023学年广东省广州市番禺区八年级上学期期末数学试卷（含答案），共25页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）如图，∠A＝40°，∠CBD是△ABC的外角，∠C＝60°，则∠CBD的大小是（ ）
A．180°B．120°C．100°D．80°
2．（3分）若分式的值大于零，则x的取值范围是（ ）
A．x＞1B．x＜0C．x＜1D．x＞0
3．（3分）如图图形中，作△ABC的边BC上的高，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．b3•b3＝2b3B．（a5）2＝a7
C．（xy）3÷（xy）2＝xyD．（﹣2a）2＝﹣4a2
5．（3分）若长度分别为a、3、5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（ ）
A．2B．3C．8D．9
6．（3分）如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．AD＝DCB．∠BAD＝∠CAEC．AB＝AED．∠ABC＝∠AED
7．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠B＝60°，若BD＝1，则AD＝（ ）
A．2B．C．3D．
8．（3分）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证等式（ ）
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2
B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
D．（a+2b）（a﹣2b）＝a2﹣ab﹣2b2
9．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（ ）
A．7.5B．12C．8D．6
10．（3分）如图，梯形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，以下说法：①∠CDE＝60°；②DE⊥AE；③AD＜CD+AB；④S△ADE＝，其中正确的是（ ）
A．①②④B．③④C．①②③D．②④
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分．）
11．（3分）计算：（x﹣1y2）3＝ ．
12．（3分）若（x﹣1）（x+2）＝x2+ax﹣2，则a＝ ．
13．（3分）点P（﹣1，2）关于y轴对称的点的坐标是 ．
14．（3分）等腰三角形的一个角100°，它的另外两个角的度数分别为 ．
15．（3分）如图三角形纸片中，AB＝8cm，BC＝6cm，AC＝5cm，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长为 cm．
16．（3分）观察以下等式：
第1个等式：（2×1+1）2＝（2×2+1）2﹣（2×2）2
第2个等式：（2×2+1）2＝（3×4+1）2﹣（3×4）2
第3个等式：（2×3+1）2＝（4×6+1）2﹣（4×6）2
第4个等式：（2×4+1）2＝（5×8+1）2﹣（5×8）2
……
按照以上规律，第5个等式是： ，第n个等式（用含n的式子表示）是： ．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（8分）因式分解
（1）4a2﹣9；
（2）3ax2+6axy+3ay2．
18．（8分）如图，已知AB＝DC，∠A＝∠D，AC与DB相交于点O．
（1）求证：△AOB≌△DOC．
（2）若∠BOC＝120°，求∠OBC的大小．
19．（8分）如图所示，牧马人从A地出发，到一条直的河流l边的C处饮马，然后到达B地．牧马人到河边的什么地点饮马，可以使所走的路程最短？请用尺规作图，在图中找出路程最短的饮马点C，并用轴对称的性质说明理由．
20．（8分）（1）计算：
①（x﹣8y）（x﹣y）；
②（2x）3•（﹣5xy2）；
③．
（2）先化简，再求值：（2x+3y）2﹣（2x+y）（2x﹣y），其中，y＝﹣1．
21．（8分）如图，△ACD、△BCE都是等边三角形，BD分别与AE、AC相交于点M、N．
（1）证明：BD＝AE；
（2）求∠AMN的度数．
22．（8分）（1）解分式方程：；
（2）已知（a≠0，b≠0，且a≠b）．
①化简H；
②若数轴上点A、B表示的数分别为a，b，且AB＝2，求H的值．
23．（8分）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交AB于点F，交BC的延长线于点E．
（1）求证：AC∥FD；
（2）∠B与∠CAE的大小是否相等？若相等，请给予证明；若不相等，请说明理由．
24．（8分）（Ⅰ）列方程解应用题：两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工一个月完成总工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成，哪个队的施工速度快？
（Ⅱ）编应用题：
联系你的生活实际，编一道关于分式方程的应用题，并列出方程求出答案．
25．（8分）如图，△ABC是等边三角形．
（1）点P是AB边上一动点．
①当点P移动到AB中点时，延长CB至E，使BE＝BP，连接PE，PC．求证：PE＝PC；
②在点P运动过程中，以CP为边在CP上方作等边△CPD，连接AD，CD，当AP＞BP时，求∠ADP的取值范围；
（2）AH是△ABC的高，记AH长为a，动点M在AH上运动，在CM上方以CM为边作等边△CMN，在点M运动过程中，求点N所经过的路径长．
2022-2023学年广东省广州市番禺区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（3分）如图，∠A＝40°，∠CBD是△ABC的外角，∠C＝60°，则∠CBD的大小是（ ）
A．180°B．120°C．100°D．80°
【分析】根据三角形外角的性质，即可求解．
【解答】解：∵∠A＝40°，∠CBD是△ABC的外角，∠C＝60°，
∴∠CBD＝∠A+∠C＝100°．
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
2．（3分）若分式的值大于零，则x的取值范围是（ ）
A．x＞1B．x＜0C．x＜1D．x＞0
【分析】根据题意可得x﹣1＞0，即可求解．
【解答】解：∵分式的值大于零，
∴x﹣1＞0，
解得：x＞1．
故选：A．
【点评】本题主要考查了分式的值，根据题意得到x﹣1＞0是解题的关键．
3．（3分）如图图形中，作△ABC的边BC上的高，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据三角形的高的概念判断即可．
【解答】解：A、图形中，AD是△ABC的BC边上的高，本选项符合题意；
B、图形中，不能表示△ABC的BC边上的高，本选项不符合题意；
C、图形中，不能表示△ABC的BC边上的高，本选项不符合题意；
D、图形中，不能表示△ABC的BC边上的高，本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．b3•b3＝2b3B．（a5）2＝a7
C．（xy）3÷（xy）2＝xyD．（﹣2a）2＝﹣4a2
【分析】根据同底数幂的乘法、除法，幂的乘方，积的乘方，逐一进行计算，判断即可．
【解答】解：A、b3⋅b3＝b6，选项错误，不符合题意；
B、（a5）2＝a10，选项错误，不符合题意；
C、（xy）3÷（xy）2＝xy，选项正确，符合题意；
D、（﹣2a）2＝4a2，选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查同底数幂的乘法、除法，幂的乘方和积的乘方．熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．
5．（3分）若长度分别为a、3、5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（ ）
A．2B．3C．8D．9
【分析】根据三角形三边关系求出a的取值范围，选择再此范围内的选项即可．
【解答】解：由三角形三边关系可得：5﹣3＜a＜5+3，
即2＜a＜8，
因为2＜3＜8．
故选：B．
【点评】本题考查三角形的三边关系，熟记两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是关键．
6．（3分）如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．AD＝DCB．∠BAD＝∠CAEC．AB＝AED．∠ABC＝∠AED
【分析】根据全等三角形的性质，逐项判断即可求解．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴AD＝AB，故A、C选项错误，不符合题意；
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，故B选项正确，符合题意．
∵△ABC≌△ADE，
∴∠ABC＝∠ADE，故D选项错误，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应角相等，对应边相等是解题的关键．
7．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠B＝60°，若BD＝1，则AD＝（ ）
A．2B．C．3D．
【分析】利用30°所对的直角边是斜边的一半，BC＝2BD，AB＝2BC，分别求出BC，AB，利用AD＝AB﹣BD，进行计算即可得解．
【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠B＝60°，
∴∠CDB＝90°，∠A＝∠DCB＝90°﹣∠B＝30°，
∴BC＝2BD＝2，AB＝2BC＝4，
∴AD＝4﹣1＝3；
故选：C．
【点评】本题考查含30°角直角三角形．熟练掌握30°角所对的直角边是斜边的一半，是解题的关键．
8．（3分）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证等式（ ）
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2
B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
D．（a+2b）（a﹣2b）＝a2﹣ab﹣2b2
【分析】根据两个正方形及长方形面积的计算公式即可得到答案．
【解答】解：根据图甲可得阴影面积为a2﹣b2，
根据图乙可得阴影面积为（a+b）（a﹣b），
∴可以验证等式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故选：C．
【点评】此题考查了平方差公式与几何图形，正确理解并计算两个阴影部分的面积是解题的关键．
9．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（ ）
A．7.5B．12C．8D．6
【分析】过点D作DE⊥BC，交BC于点E，利用角平分线的性质，得到DA＝DE，利用，进行计算即可．
【解答】解：过点D作DE⊥BC，交BC于点E，
∵∠A＝90°，
∴DA⊥AB，
∵BD平分∠ABC，
∴DA＝DE＝3，
∴．
故选：A．
【点评】本题考查角平分线的性质．熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，是解题的关键．
10．（3分）如图，梯形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，以下说法：①∠CDE＝60°；②DE⊥AE；③AD＜CD+AB；④S△ADE＝，其中正确的是（ ）
A．①②④B．③④C．①②③D．②④
【分析】过点E作EF⊥AD于点F，证明△DEF≌△DEC（AAS），得到EF＝EC，∠FED＝∠CED，DF＝CD，再证明Rt△AEF≌Rt△AEB（HL），得到AF＝AB，∠AEF＝∠AEB，由此判断③错误；根据∠FED+∠CED+∠AEF+∠AEB＝180°判断②正确；根据全等三角形的性质及S△DEF+S△DEC+S△AEF+S△AEB＝S梯形ABCD，得到，由此判断④正确；题中无条件证明∠CDE＝60°，故①错误．
【解答】解：过点E作EF⊥AD于点F，则∠DFE＝90°，
∵E是BC的中点，
∴EB＝EC，
∵∠B＝∠C＝90°，
∴∠DFE＝∠C，
∵DE平分∠ADC，
∴∠FDE＝∠CDE，
又∵DE＝DE，
∴△DEF≌△DEC（AAS），
∴EF＝EC＝EB，∠FED＝∠CED，DF＝CD，
∵∠AFE＝∠B＝90°，AE＝AE，
∴Rt△AEF≌Rt△AEB（HL），
∴AF＝AB，∠AEF＝∠AEB，
∴AD＝DF+AF＝CD+AB，故③错误；
∵∠FED+∠CED+∠AEF+∠AEB＝180°，
∴∠FED+∠AEF＝90°，即∠AED＝90°，
∴DE⊥AE，故②正确；
∵S△DEF＝S△DEC，S△AEF＝S△AEB，S△DEF+S△DEC+S△AEF+S△AEB＝S梯形ABCD，
∴，即，
故④正确；
题中无条件证明∠CDE＝60°，故①错误；
正确的有②④
故选：D．
【点评】此题考查了全等三角形的判定和性质，正确引出辅助线及掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分．）
11．（3分）计算：（x﹣1y2）3＝ ．
【分析】根据积的乘方计算法则去括号，再根据负整数指数幂定义将负指数化为正指数即可．
【解答】解：（x﹣1y2）3＝，
故答案为：．
【点评】此题考查了积的乘方计算法则，负整数指数幂定义，熟记各计算法则是解题的关键．
12．（3分）若（x﹣1）（x+2）＝x2+ax﹣2，则a＝ 1 ．
【分析】利用多项式乘多项式的法则，计算出（x﹣1）（x+2），根据两个多项式相等，对应项对应相等，进行求解即可．
【解答】解：（x﹣1）（x+2）＝x2+x﹣2，
∵（x﹣1）（x+2）＝x2+ax﹣2，
∴x2+x﹣2＝x2+ax﹣2，
∴a＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查多项式乘多项式．熟练掌握多项式乘多项式法则，是解题的关键．
13．（3分）点P（﹣1，2）关于y轴对称的点的坐标是 （1，2） ．
【分析】根据关于y轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标不变；即可得出答案．
【解答】解：点P（﹣1，2）关于y轴对称的点的坐标是（1，2）．
故答案为：（1，2）．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称点的坐标，
注：关于y轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标不变；
关于x轴对称，纵坐标互为相反数，横坐标不变；
关于原点对称，横纵坐标都互为相反数．
14．（3分）等腰三角形的一个角100°，它的另外两个角的度数分别为 40°，40° ．
【分析】先判断出100°的角是顶角，再根据等腰三角形的两底角相等解答．
【解答】解：∵等腰三角形的一个角100°，
∴100°的角是顶角，
∴另两个角是（180°﹣100°）＝40°，
即40°，40°．
故答案为：40°，40°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，主要利用了等腰三角形两底角相等，需要注意100°的角只能是顶角．
15．（3分）如图三角形纸片中，AB＝8cm，BC＝6cm，AC＝5cm，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长为 7 cm．
【分析】先根据折叠的性质可得BE＝BC，DE＝CD，再求出AE的长，然后求出△ADE的周长＝AC+AE，即可得出答案．
【解答】解：由折叠的性质得：BE＝BC＝6cm，DE＝DC，
∴AE＝AB﹣BE＝AB﹣BC＝8﹣6＝2（cm），
∴△AED的周长＝AD+DE+AE＝AD+CD+AE＝AC+AE＝5+2＝7（cm），
故答案为：7．
【点评】本题考查了翻折变换的性质以及三角形周长；熟练掌握翻折变换的性质的解题的关键．
16．（3分）观察以下等式：
第1个等式：（2×1+1）2＝（2×2+1）2﹣（2×2）2
第2个等式：（2×2+1）2＝（3×4+1）2﹣（3×4）2
第3个等式：（2×3+1）2＝（4×6+1）2﹣（4×6）2
第4个等式：（2×4+1）2＝（5×8+1）2﹣（5×8）2
……
按照以上规律，第5个等式是： （2×5+1）2＝（6×10+1）2﹣（6×10）2 ，第n个等式（用含n的式子表示）是： （2×n+1）2＝[（n+1）×2n+1]2﹣[（n+1）×2n]2 ．
【分析】根据前四个等式，抽象概括出相同位置上的数字规律，即可得出结论．
【解答】解：第1个等式：（2×1+1）2＝[（1+1）×2×1+1]2﹣[（1+1）×2×1]2＝（2×2+1）2﹣（2×2）2；
第2个等式：（2×2+1）2＝[（2+1）×2×2+1]2﹣[（2+1）×2×2]2＝（3×4+1）2﹣（3×4）2；
第3个等式：（2×3+1）2＝[（3+1）×2×3+1]2﹣[（3+1）×2×3]2＝（4×6+1）2﹣（4×6）2；
第4个等式：（2×4+1）2＝[（4+1）×2×4+1]2﹣[（4+1）×2×4]2＝（5×8+1）2﹣（5×8）2；
……
∴第5个等式：（2×5+1）2＝[（5+1）×2×5+1]2﹣[（5+1）×2×5]2＝（6×10+1）2﹣（6×10）2，
∴第n个等式（用含n的式子表示）是：（2×n+1）2＝[（n+1）×2n+1]2﹣[（n+1）×2n]2；
故答案为：（2×5+1）2＝（6×10+1）2﹣（6×10）2，（2×n+1）2＝[（n+1）×2n+1]2﹣[（n+1）×2n]2．
【点评】本题考查数字规律探究．根据已知的等式，抽象概括出相应的数字规律，是解题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（8分）因式分解
（1）4a2﹣9；
（2）3ax2+6axy+3ay2．
【分析】（1）直接利用平方差公式分解因式得出答案；
（2）首先提取公因式3a，再利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：（1）原式＝（2a+3）（2a﹣3）；
（2）原式＝3a（x2+2xy+y2）
＝3a（x+y）2．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式是解题关键．
18．（8分）如图，已知AB＝DC，∠A＝∠D，AC与DB相交于点O．
（1）求证：△AOB≌△DOC．
（2）若∠BOC＝120°，求∠OBC的大小．
【分析】（1）根据 AAS证明即可；
（2）根据（1）全等三角形的性质得到OB＝OC，推出∠OBC＝∠OCB，再根据三角形内角和定理求出∠OBC的大小．
【解答】（1）证明：△AOB和△DOC中，
，
∴△AOB≌△DOC（ AAS）；
（2）∵△AOB≌△DOC，
∴OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵∠BOC＝120°，
∴．
【点评】此题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，等腰三角形等边对等角的性质，熟记各知识点并应用是解题的关键．
19．（8分）如图所示，牧马人从A地出发，到一条直的河流l边的C处饮马，然后到达B地．牧马人到河边的什么地点饮马，可以使所走的路程最短？请用尺规作图，在图中找出路程最短的饮马点C，并用轴对称的性质说明理由．
【分析】过点B作直线l的对称点B'，连接AB'，与直线l的交点即为点C，此时所走的路程最短，取直线l上另一点C'，根据三角形三边关系证明得到牧马人到河边的点C处饮马，可以使所走的路程最短．
【解答】解：如图，过点B作直线l的对称点B'，连接AB'，与直线l的交点即为点C，此时所走的路程最短，
即AC+BC＝AC+B'C＝AB'，
取直线l上另一点C'，
根据轴对称得到AC'+BC'＝AC'+B'C'≥AB'，
∴牧马人到河边的点C处饮马，可以使所走的路程最短．
【点评】此题考查了最短路径问题，轴对称作图，三角形三边关系的应用，正确理解最短路径问题作图方法是解题的关键．
20．（8分）（1）计算：
①（x﹣8y）（x﹣y）；
②（2x）3•（﹣5xy2）；
③．
（2）先化简，再求值：（2x+3y）2﹣（2x+y）（2x﹣y），其中，y＝﹣1．
【分析】（1）①利用多项式乘以多项式法则计算，即可求解；②先计算乘方，再计算乘法，即可求解；③先计算乘方，再计算乘法，即可求解；
（2）先利用完全平方公式和平方差公式计算，再合并，然后把，y＝﹣1代入化简后的结果，即可求解．
【解答】解：（1）①（x﹣8y）（x﹣y）
＝x2﹣8xy﹣xy+8y2
＝x2﹣9xy+8y2；
②（2x）3⋅（﹣5xy2）
＝8x3⋅（﹣5xy2）
＝﹣40x4y2；
③
＝
＝；
（2）（2x+3y）2﹣（2x+y）（2x﹣y）
＝4x2+12xy+9y2﹣4x2+y2
＝12xy+10y2，
当，y＝﹣1时，
原式＝．
【点评】本题主要考查了整式的混合运算，分式的乘法运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
21．（8分）如图，△ACD、△BCE都是等边三角形，BD分别与AE、AC相交于点M、N．
（1）证明：BD＝AE；
（2）求∠AMN的度数．
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得AC＝DC，CE＝BC，∠ACD＝∠BCE＝60°，从而得到∠ACE＝∠BCD，可证得△ACE≌△DCB，即可求证；
（2）根据等边三角形的性质可得∠CAD＝∠ADC＝60°，再由△ACE≌△DCB，可得∠CAE＝∠CDB，从而得到∠ADM+∠DAM＝∠ADC+∠CAD＝120°，即可求解．
【解答】（1）证明：∵△ACD、△BCE都是等边三角形，
∴AC＝DC，CE＝BC，∠ACD＝∠BCE＝60°，
∴∠ACD+∠ACB＝∠BCE+∠ACB，
即∠ACE＝∠BCD，
在△ACE和△DCB中，
，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴BD＝AE；
（2）解：∵△ACD是等边三角形，
∴∠CAD＝∠ADC＝60°，
∵△ACE≌△DCB，
∴∠CAE＝∠CDB，
∴∠ADM+∠DAM＝∠ADM+∠CAD+∠CAM＝∠ADM+∠CAD+∠CDB＝∠ADC+∠CAD＝120°，
∴∠AMN＝180°﹣（∠ADM+∠DAM）＝60°．
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，证得△ACE≌△DCB是解题的关键．
22．（8分）（1）解分式方程：；
（2）已知（a≠0，b≠0，且a≠b）．
①化简H；
②若数轴上点A、B表示的数分别为a，b，且AB＝2，求H的值．
【分析】（1）先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解；
（2）①先计算括号内的，再计算除法，即可求解；②根据题意可得a﹣b＝﹣2或2，再分别代入化简后的结果，即可求解．
【解答】解：（1），
去分母得：5x＝x+3，
解得：，
检验：当时，x（x+3）≠0，
所以原方程的解为；
（2）①＝＝；
②∵数轴上点A、B表示的数分别为a，b，且AB＝2，
∴a﹣b＝﹣2或2，
当a﹣b＝﹣2时，；
当a﹣b＝2时，；
∴H的值为±1．
【点评】本题主要考查了解分式方程，分式的化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
23．（8分）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交AB于点F，交BC的延长线于点E．
（1）求证：AC∥FD；
（2）∠B与∠CAE的大小是否相等？若相等，请给予证明；若不相等，请说明理由．
【分析】（1）根据角平分线定义得到∠CAD＝∠BAD，根据线段垂直平分线定义得到AF＝DF，推出∠FDA＝∠CAD，即可得到结论；
（2）根据线段垂直平分线的性质得到AE＝DE，推出∠ADE＝∠EAD，再根据∠ADE＝∠B+∠BAD，∠EAD＝∠CAD+∠CAE推出∠B＝∠CAE．
【解答】（1）证明：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠CAD＝∠BAD，
∵AD的垂直平分线交AB于点F，
∴AF＝DF，
∴∠FDA＝∠BAD，
∴∠FDA＝∠CAD，
∴AC∥FD；
（2）∠B＝∠CAE，理由如下：
∵AD的垂直平分线交AB于点F，交BC的延长线于点E．
∴AE＝DE，
∴∠ADE＝∠EAD，
∵∠ADE＝∠B+∠BAD，∠EAD＝∠CAD+∠CAE，∠CAD＝∠BAD，
∴∠B＝∠CAE．
【点评】此题考查了角平分线的定义，平行线的判定定理，线段垂直平分线的性质，三角形的外角性质定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
24．（8分）（Ⅰ）列方程解应用题：两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工一个月完成总工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成，哪个队的施工速度快？
（Ⅱ）编应用题：
联系你的生活实际，编一道关于分式方程的应用题，并列出方程求出答案．
【分析】（Ⅰ）设乙队的工作效率是x，列方程求出x即可；
（Ⅱ）应用题：甲、乙两人送外卖，甲比乙平均每小时多送2份，甲送30份外卖与乙送20份外卖所用时间相同，求甲平均每小时送外卖的份数．设甲平均每小时送外卖y份，根据题意列分式方程即可．
【解答】解：（Ⅰ）设乙队的工作效率是x，
依题意得方程：
，
解得x＝1，
∴乙队单独施工1个月可以完成总工程，
答：乙队的施工速度快；
（Ⅱ）应用题：甲、乙两人送外卖，甲比乙平均每小时多送2份，甲送30份外卖与乙送20份外卖所用时间相同，求甲平均每小时送外卖的份数．
设甲平均每小时送外卖y份，由题意得，
，
解得y＝6，
检验：当y＝6时，y（y﹣2）≠0，
∴y＝6是分式方程的解，且符合题意，
答：甲平均每小时送外卖6份．
【点评】此题考查了一元一次方程的实际应用，分式方程的实际应用，正确理解题意确定等量关系，由此列出方程是解题的关键．
25．（8分）如图，△ABC是等边三角形．
（1）点P是AB边上一动点．
①当点P移动到AB中点时，延长CB至E，使BE＝BP，连接PE，PC．求证：PE＝PC；
②在点P运动过程中，以CP为边在CP上方作等边△CPD，连接AD，CD，当AP＞BP时，求∠ADP的取值范围；
（2）AH是△ABC的高，记AH长为a，动点M在AH上运动，在CM上方以CM为边作等边△CMN，在点M运动过程中，求点N所经过的路径长．
【分析】（1）①根据等边三角形的定义得到∠ABC＝∠ACB＝60°，根据三线合一的性质求出∠ACP＝∠BCP＝30°，利用三角形外角性质求出∠E＝30°，由此得到结论；②当点P是AB中点时，证明△ACP≌△ACD（ SAS），求出∠ADP＝30°；当点D与点A重合时，∠ADP＝0°，根据AP＞BP，得到∠ADP的取值范围；
（2）取AC的中点E，连接NE，如图，证明△MCH≌△NCE（ ASA），得到MH＝NE，NE⊥AC，当点M与点A重合时，NE＝MH＝AH＝a，当点M与点H重合时，点N与点E重合，由此求出点N所经过的路径长．
【解答】（1）①证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵点P是AB中点，
∴∠ACP＝∠BCP＝30°，
∵BE＝BP，
∴∠E＝∠BPE，
∵∠E+∠BPE＝60°，
∴∠E＝30°，
∴∠E＝∠BCP，
∴PE＝PC；
②解：当点P是AB中点时，∠ACP＝30°，∠APC＝90°，
∵△CPD的等边三角形，
∴∠PDC＝∠PCD＝60°，CP＝CD，
∴∠ACD＝30°＝∠ACP，
又∵AC＝AC，
∴△ACP≌△ACD（ SAS），
∴∠ADC＝∠APC＝90°，
∴∠ADP＝30°；
当点D与点A重合时，∠ADP＝0°，
∵AP＞BP，
∴0°＜∠ADP＜30°；
（2）解：取AC的中点E，连接NE，如图，
∵AH⊥BC，
∴，
∵，
∴CH＝CE，
∵△ABC和△CMN都是等边三角形，
∴∠ACB＝∠MCN＝60°，CM＝CN，
∴∠MCH＝∠NCE，
∴△MCH≌△NCE（ ASA），
∴MH＝NE，∠NEC＝∠MHC＝90°，
∴NE⊥AC，
当点M与点A重合时，NE＝MH＝AH＝a，
当点M与点H重合时，点N与点E重合，
∴点N所经过的路径长为a．
【点评】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，等腰三角形三线合一的性质，熟练掌握三角形的有关知识是解题的关键．
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