广东省广州市番禺区2022—2023学年八年级上学期期末考试数学试题

这是一份广东省广州市番禺区2022—2023学年八年级上学期期末考试数学试题，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．如图，，是的外角，，则的大小是（ ）
A．B．C．D．
2．若分式的值大于零，则x的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
3．如图图形中，作的边上的高，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．若长度分别为a、3、5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（ ）
A．2B．3C．8D．9
6．如图，若，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在中，，是高，，若，则（ ）
A．2B．C．3D．
8．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证等式（ ）
A．B．
C．D．
9．如图，在四边形中，，，，对角线平分，则的面积为（ ）．
A．B．12C．8D．6
10．如图，梯形中，，E是的中点，平分，以下说法：①；②；③；④，其中正确的是（ ）．
A．①②④B．③④C．①②③D．②④
二、填空题
11．计算：______________．
12．若，则______________．
13．点P(－1，2)关于y轴对称的点的坐标是_________．
14．等腰三角形的一个角100°，它的另外两个角的度数分别为_____．
15．如图，三角形纸片中，，，．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，的周长为__________．
16．观察以下等式：
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
第4个等式：
……
按照以上规律，第5个等式是：______________，第n个等式（用含n的式子表示）是：______________．
三、解答题
17．因式分解（1）；
（2）．
18．如图，已知，，与相交于点O．
(1)求证：．
(2)若，求的大小．
19．如图所示，牧马人从A地出发，到一条直的河流l边的C处饮马，然后到达B地．牧马人到河边的什么地点饮马，可以使所走的路程最短？请用尺规作图，在图中找出路程最短的饮马点C，并用轴对称的性质说明理由．
20．（1）计算：
①
②
③
（2）先化简，再求值：，其中，．
21．如图，、都是等边三角形，分别与、相交于点M、N．
(1)证明：；
(2)求的度数．
22．（1）解分式方程：；
（2）已知（，，且）．
①化简H；
②若数轴上点A、B表示的数分别为a，b，且，求H的值．
23．如图，在中，是的平分线，的垂直平分线交于点F，交的延长线于点E．
(1)求证：；
(2)与的大小是否相等？若相等，请给予证明；若不相等，请说明理由．
24．（Ⅰ）列方程解应用题:两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工一个月完成总工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成，哪个队的施工速度快？
（Ⅱ）编应用题：
联系你的生活实际，编一道关于分式方程的应用题，并列出方程求出答案．
25．如图，是等边三角形．

(1)点P是边上一动点．
①当点P移动到中点时，延长至E，使，连接．求证：；
②在点P运动过程中，以为边在上方作等边，连接，当时，求的取值范围；
(2)是的高，记长为a，动点M在上运动，在上方以为边作等边，在点M运动过程中，求点N所经过的路径长．
参考答案：
1．C
【分析】根据三角形外角的性质，即可求解．
【详解】解：∵，是的外角，，
∴．
故选：C
【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
2．A
【分析】根据题意可得，即可求解．
【详解】解：∵分式的值大于零，
∴，
解得：．
故选：A
【点睛】本题主要考查了分式的值，根据题意得到是解题的关键．
3．A
【分析】根据三角形的高的概念判断即可．
【详解】解：、图形中，是的边上的高，本选项符合题意；
B、图形中，不能表示的边上的高，本选项不符合题意；
C、图形中，不能表示的边上的高，本选项不符合题意；
D、图形中，不能表示的边上的高，本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
4．C
【分析】根据同底数幂的乘法、除法，幂的乘方，积的乘方，逐一进行计算，判断即可．
【详解】解：A、，选项错误，不符合题意；
B、，选项错误，不符合题意；
C、，选项正确，符合题意；
D、，选项错误，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法、除法，幂的乘方和积的乘方．熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．
5．B
【分析】根据三角形三边关系求出a的取值范围，选择再此范围内的选项即可.
【详解】由三角形三边关系可得：2＜a＜8，
因为2＜3＜8，故选B.
【点睛】本题考查三角形的三边关系，熟记两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是关键.
6．B
【分析】根据全等三角形的性质，逐项判断即可求解．
【详解】解：∵，
∴，故A、C选项错误，不符合题意；
∴，
∴，即，故B选项正确，符合题意；
∵，
∴，故D选项错误，不符合题意；
故选：B
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应角相等，对应边相等是解题的关键．
7．C
【分析】利用所对的直角边是斜边的一半，，分别求出，利用，进行计算即可得解．
【详解】解：∵在中，，是高，，
∴，，
∴，，
∴；
故选C．
【点睛】本题考查含的直角三角形．熟练掌握所对的直角边是斜边的一半，是解题的关键．
8．C
【分析】根据两个正方形及长方形面积的计算公式即可得到答案．
【详解】解：根据图甲可得阴影面积为，
根据图乙可得阴影面积为，
∴可以验证等式，
故选：C．
【点睛】此题考查了平方差公式与几何图形，正确理解并计算两个阴影部分的面积是解题的关键．
9．A
【分析】过点作，交于点，利用角平分线的性质，得到，利用，进行计算即可．
【详解】解：过点作，交于点，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
故选A．
【点睛】本题考查角平分线的性质．熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，是解题的关键．
10．D
【分析】过点E作于点F，证明，得到，，，再证明，得到，由此判断③错误；根据判断②正确；根据全等三角形的性质及，得到，由此判断④正确；题中无条件证明，故①错误．
【详解】解：过点E作于点F，则，
∵E是BC的中点，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，故③错误；
∵，
∴，即，
∴，故②正确；
∵，，
∴，即，
故④正确；
题中无条件证明，故①错误；
正确的有②④
故选：D．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，正确引出辅助线及掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
11．
【分析】根据积的乘方计算法则去括号，再根据负整数指数幂定义将负指数化为正指数即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】此题考查了积的乘方计算法则，负整数指数幂定义，熟记各计算法则是解题的关键．
12．1
【分析】利用多项式乘多项式的法则，计算出，根据两个多项式相等，对应项对应相等，进行求解即可．
【详解】解：，
∵，
∴，
∴；
故答案为1．
【点睛】本题考查多项式乘多项式．熟练掌握多项式乘多项式法则，是解题的关键．
13．
【分析】根据关于y轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标不变；即可得出答案．
【详解】解：点P（-1，2）关于y轴对称的点的坐标是（1，2）．
故答案为：（1，2）．
【点睛】本题考查了关于x轴、y轴对称点的坐标，注意：关于y轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标不变；关于x轴对称，纵坐标互为相反数，横坐标不变；关于原点对称，横纵坐标都互为相反数．
14．40°，40°
【分析】先判断出的角是顶角，再根据等腰三角形的两底角相等解答．
【详解】解：∵等腰三角形的一个角
∴的角是顶角
∴另两个角是
即，
故答案是：，
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
15．7
【分析】先根据折叠的性质可得，，再求出的长，然后根据的周长进行计算．
【详解】解：由折叠的性质得：，，
∴，
∴的周长，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了翻折变换的性质，翻折变换保留原有图形的性质，而且可以使得原有的分散条件相对集中，从而有利于问题的解决．
16． ，
【分析】根据前四个等式，抽象概括出相同位置上的数字规律，即可得出结论．
【详解】解：第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
……
∴第5个等式：，
∴第n个等式（用含n的式子表示）是：；
故答案为：，．
【点睛】本题考查数字规律探究．根据已知的等式，抽象概括出相应的数字规律，是解题的关键．
17．（1）；（2）
【分析】（1）直接利用平方差公式进行分解即可；
（2）提取公因式3a，再利用完全平方公式进行二次分解即可．
【详解】（1）原式＝
（2）原式＝
＝
【点睛】本题考查的知识点是提公因式法与公式法的综合运用，解题关键是熟记提公因式法与公式法的概念.
18．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据证明即可；
（2）根据（1）全等三角形的性质得到，推出，再根据三角形内角和定理求出的大小．
【详解】（1）证明：和中
∴；
（2）∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，等腰三角形等边对等角的性质，熟记各知识点并应用是解题的关键．
19．牧马人到河边的点C处饮马，可以使所走的路程最短，见解析
【分析】过点B作直线l的对称点，连接，与直线l的交点即为点C，此时所走的路程最短，取直线l上另一点，根据三角形三边关系证明得到牧马人到河边的点C处饮马，可以使所走的路程最短．
【详解】解：如图，过点B作直线l的对称点，连接，与直线l的交点即为点C，此时所走的路程最短，即，
取直线l上另一点，
根据轴对称得到，
∴牧马人到河边的点C处饮马，可以使所走的路程最短．
．
【点睛】此题考查了最短路径问题，轴对称作图，三角形三边关系的应用，正确理解最短路径问题作图方法是解题的关键．
20．（1）①；②；③；（2），4
【分析】（1）①利用多项式乘以多项式法则计算，即可求解；②先计算乘方，再计算乘法，即可求解；③先计算乘方，再计算乘法，即可求解；
（2）先利用完全平方公式和平方差公式计算，再合并，然后把，代入化简后的结果，即可求解．
【详解】解：（1）①
②
③
；
（2）
，
当，时，原式
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，分式的乘法运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
21．(1)见解析
(2)
【分析】根据等边三角形的性质可得，，从而得到，可证得，即可求证；
（2）根据等边三角形的性质可得，再由，可得，从而得到，即可求解．
【详解】（1）证明：∵、都是等边三角形，
∴，，
∴，
即，
在和中，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，证得是解题的关键．
22．（1）；（2）①；②
【分析】（1）先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解；
（2）①先计算括号内的，再计算除法，即可求解；②根据题意可得或2，再分别代入化简后的结果，即可求解．
【详解】解：（1）
去分母得：，
解得：，
检验：当时，，
所以原方程的解为；
（2）①
；
②∵数轴上点A、B表示的数分别为a，b，且，
∴或2，
当时，；
当时，；
∴H的值为．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，分式的化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
23．(1)见解析
(2)，见解析
【分析】（1）根据角平分线定义得到，根据线段垂直平分线定义得到，推出，即可得到结论；
（2）根据线段垂直平分线的性质得到，推出，再根据，推出．
【详解】（1）证明：∵是的平分线，
∴，
∵的垂直平分线交于点F，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2），理由如下：
∵的垂直平分线交于点F，交的延长线于点E．
∴，
∴，
∵，，，
∴．
【点睛】此题考查了角平分线的定义，平行线的判定定理，线段垂直平分线的性质，三角形的外角性质定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
24．（Ⅰ）乙队的施工速度快；（Ⅱ）见解析
【分析】（Ⅰ）设乙队的工作效率是x，列方程求出x即可；
（Ⅱ）应用题：甲、乙两人送外卖，甲比乙平均每小时多送2份，甲送30份外卖与乙送20份外卖所用时间相同，求甲平均每小时送外卖的份数．设甲平均每小时送外卖y份，根据题意列分式方程即可．
【详解】解：（Ⅰ）设乙队的工作效率是x，
依题意得方程：，
解得，
∴乙队单独施工1个月可以完成总工程，
答：乙队的施工速度快；
（Ⅱ）应用题：甲、乙两人送外卖，甲比乙平均每小时多送2份，甲送30份外卖与乙送20份外卖所用时间相同，求甲平均每小时送外卖的份数？
解：设甲平均每小时送外卖y份，由题意得
，
解得，
检验：当时，，
∴是分式方程的解，且符合题意
答：甲平均每小时送外卖6份．
【点睛】此题考查了一元一次方程的实际应用，分式方程的实际应用，正确理解题意确定等量关系，由此列出方程是解题的关键．
25．(1)①见解析；②
(2)a
【分析】（1）①根据等边三角形的定义得到，根据三线合一的性质求出，利用三角形外角性质求出，由此得到结论；②当点P是中点时，证明，求出；当点D与点A重合时，，根据，得到的取值范围；
（2）取的中点E，连接，如图，证明，得到，，当点M与点A重合时，，当点M与点H重合时，点N与点E重合，由此求出点N所经过的路径长．
【详解】（1）①∵是等边三角形，
∴，
∵点P是中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②当点P是中点时，，，
∵的等边三角形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
当点D与点A重合时，，
∵，
∴；
（2）取的中点E，连接，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵和都是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
当点M与点A重合时，，
当点M与点H重合时，点N与点E重合，
∴点N所经过的路径长为a．
【点睛】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，等腰三角形三线合一的性质，熟练掌握三角形的有关知识是解题的关键．