2021-2022学年广东省广州市天河区八年级上学期期末数学试卷（含答案）

这是一份2021-2022学年广东省广州市天河区八年级上学期期末数学试卷（含答案），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下面是科学防控新冠知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（ ）
A．打喷嚏捂口鼻B．喷嚏后慎揉眼
C．戴口罩讲卫生D．勤洗手勤通风
2．（3分）要使分式1x+2有意义，则x的取值应满足（ ）
A．x＝﹣2B．x≠2C．x＞﹣2D．x≠﹣2
3．（3分）已知三角形的两边长分别为3cm和4cm，则该三角形第三边的长不可能是（ ）
A．2cmB．3cmC．5cmD．7cm
4．（3分）科学家发现一种病毒直径为0.00023微米，则0.00023用科学记数法可以表示为（ ）
A．2.3×104B．0.23×10﹣3C．2.3×10﹣4D．23×10﹣5
5．（3分）如果正多边形的一个内角是140°，则这个多边形是（ ）
A．正十边形B．正九边形C．正八边形D．正七边形
6．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a+a2＝a3B．a6÷a3＝a3
C．（﹣a2b）3＝a6b3D．（a+2）2＝a2+4
7．（3分）如图，AC与DB相交于E，且AE＝DE，如果添加一个条件还不能判定△ABE≌△DCE，则添加的这个条件是（ ）
A．AB＝DCB．∠A＝∠DC．∠B＝∠CD．AC＝DB
8．（3分）若（x﹣m）（x+1）的运算结果中不含x的一次项，则m的值等于（ ）
A．0B．1C．2D．3
9．（3分）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（ ）
A．6个B．7个C．8个D．9个
10．（3分）△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，若按如图的尺规作图方法作出线段BD，则下列结论错误的是（ ）
A．AD＝BDB．∠BDC＝72°
C．S△ABD：S△BCD＝BC：ACD．△BCD的周长＝AB+BC
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）因式分解：3mx﹣9my＝ ．
12．（3分）如图，∠ACD是△ABC的外角，若∠ACD＝120°，∠A＝50°，则∠B＝ ．
13．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，若BC＝4，则BD＝ ．
14．（3分）若x+y＝3，且xy＝1，则代数式x2+y2的值为 ．
15．（3分）如图，B处在A处的南偏西40°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向，则∠ACB的度数为 度．
16．（3分）在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多3cm，已知AB＝4cm，则AC的长为 cm．
三、解答题（本大题共9题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（4分）计算：（2x+1）（x﹣3）
18．（4分）如图，AC和BD相交于点O，OA＝OC，DC∥AB．
求证：DC＝AB．
19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC各顶点坐标分别为A（4，0），B（﹣1，4），C（﹣3，1），已知点D与点B关于x轴对称，请在方格中找出点D，并求出△ABD的面积．
20．（6分）化简(1+x+2x2−4)÷xx−2，并在0，1，2中选一个合适的数作为x的值代入求值．
21．（8分）如图，△ABC中，∠C＝90°．
（1）尺规作图：作边BC的垂直平分线，与边BC，AB分别交于点D和点E；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）若点E是边AB的中点，AC＝BE，求证：△ACE是等边三角形．
22．（10分）截至2021年9月，广州已累计建成5G基站超5.2万座，据广州市工信局介绍，广州要打造5G应用示范城市，到2023年5G个人普及率将超过60%．5G是第5代移动通信技术的简称，经测试5G下载速度是4G下载速度的15倍，小英和小芳分别用5G与4G下载一部900兆的纪录片，小英比小芳所用的时间快210秒，求该地4G与5G的下载速度．
23．（10分）如图，CD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ACD和△BCD的高．
（1）求证：CD⊥EF；
（2）若AC＝6，BC＝4，S△ABC＝10，∠ACB＝60°，求CG的长．
24．（12分）阅读：因为（x+3）（x﹣2）＝x2+x﹣6，说明x2+x﹣6有一个因式是x﹣2；当因式x﹣2＝0，那么多项式x2+x﹣6的值也为0，利用上面的结果求解：
（1）多项式A有一个因式为x+m（m为常数），当x＝ ，A＝0；
（2）长方形的长和宽都是整式，其中一条边长为x﹣2，面积为x2+kx﹣14，求k的值；
（3）若有一个长方体容器的长为（x+2），宽为（x﹣1），体积为4x3+ax2﹣7x+b，试求a，b的值．
25．（12分）△ABC是等边三角形，点D是AC边上动点，∠CBD＝α（0°＜α＜30°），把△ABD沿BD对折，得到△A′BD．
（1）如图1，若α＝15°，则∠CBA′＝ ．
（2）如图2，点P在BD延长线上，且∠DAP＝∠DBC＝α．
①试探究AP，BP，CP之间是否存在一定数量关系，猜想并说明理由．
②若BP＝10，CP＝m，求CA′的长．（用含m的式子表示）
2021-2022学年广东省广州市天河区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）下面是科学防控新冠知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（ ）
A．打喷嚏捂口鼻B．喷嚏后慎揉眼
C．戴口罩讲卫生D．勤洗手勤通风
【分析】利用轴对称图形的定义进行解答即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
2．（3分）要使分式1x+2有意义，则x的取值应满足（ ）
A．x＝﹣2B．x≠2C．x＞﹣2D．x≠﹣2
【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于零，可得x+2≠0，据此求出x的取值范围即可．
【解答】解：∵分式1x+2有意义，
∴x+2≠0，
∴x≠﹣2，
即x的取值应满足：x≠﹣2．
故选：D．
【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）分式有意义的条件是分母不等于零．（2）分式无意义的条件是分母等于零．（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号．（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号．
3．（3分）已知三角形的两边长分别为3cm和4cm，则该三角形第三边的长不可能是（ ）
A．2cmB．3cmC．5cmD．7cm
【分析】直接利用三角形三边关系得出第三边长的取值范围，进而得出答案．
【解答】解：∵三角形的两边长分别为3cm和4cm，
∴1cm＜第三边的长＜7cm，
故该三角形第三边的长不可能是7cm．
故选：D．
【点评】此题主要考查了三角形三边关系，关键是熟记三边关系定理：三角形两边之和大于第三边；三角形的两边之差小于第三边．
4．（3分）科学家发现一种病毒直径为0.00023微米，则0.00023用科学记数法可以表示为（ ）
A．2.3×104B．0.23×10﹣3C．2.3×10﹣4D．23×10﹣5
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00023微米，则这种病毒的直径用科学记数法可以表示为2.3×10﹣4微米，
故选：C．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
5．（3分）如果正多边形的一个内角是140°，则这个多边形是（ ）
A．正十边形B．正九边形C．正八边形D．正七边形
【分析】首先根据一个正多边形的内角是140°，求出每个外角的度数是多少；然后根据外角和定理，求出这个正多边形的边数是多少即可．
【解答】解：360°÷（180°﹣140°）
＝360°÷40°
＝9．
答：这个正多边形的边数是9．
故选：B．
【点评】此题主要考查了多边形的内角与外角，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确多边形的外角和定理．
6．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a+a2＝a3B．a6÷a3＝a3
C．（﹣a2b）3＝a6b3D．（a+2）2＝a2+4
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的除法的运算法则，幂的乘方与积的乘方的运算法则，完全平方公式解答即可．
【解答】解：A、a与a2不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、a6÷a3＝a3，原计算正确，故此选项符合题意；
C、（﹣a2b）3＝﹣a6b3，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、（a+2）2＝a2+4a+4，原计算错误，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式，掌握运算法则和公式是解题的关键．
7．（3分）如图，AC与DB相交于E，且AE＝DE，如果添加一个条件还不能判定△ABE≌△DCE，则添加的这个条件是（ ）
A．AB＝DCB．∠A＝∠DC．∠B＝∠CD．AC＝DB
【分析】根据全等三角形的判定定理，对每个选项分别分析、解答出即可．
【解答】解：根据题意，已知AE＝DE，∠AEB＝∠DEC，
∴只需添加对顶角的邻边，即EB＝EC（由AC＝DB可以得到），
或任意一组对应角，即∠A＝∠D，∠B＝∠C；
所以，选项A符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是能够根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
8．（3分）若（x﹣m）（x+1）的运算结果中不含x的一次项，则m的值等于（ ）
A．0B．1C．2D．3
【分析】先利用多项式乘多项式计算（x﹣m）（x+1），根据运算结果中不含x的一次项，得到关于m的方程，求解即可．
【解答】解：因为（x﹣m）（x+1）＝x2+（1﹣m）x﹣m，
由于运算结果中不含x的一次项，
所以1﹣m＝0，
所以m＝1．
故选：B．
【点评】本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式法则是解决本题的关键．
9．（3分）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（ ）
A．6个B．7个C．8个D．9个
【分析】当AB是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形；当AB是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，AB垂直平分线上的格点都可以作为点C，然后相加即可得解．
【解答】解：如图，分情况讨论：
①AB为等腰△ABC的底边时，符合条件的C点有4个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形．分类讨论思想是数学解题中很重要的解题思想．
10．（3分）△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，若按如图的尺规作图方法作出线段BD，则下列结论错误的是（ ）
A．AD＝BDB．∠BDC＝72°
C．S△ABD：S△BCD＝BC：ACD．△BCD的周长＝AB+BC
【分析】根据作图痕迹发现BD平分∠ABC，然后根据等腰三角形的性质进行判断即可．
【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB＝72°，
由作图痕迹发现BD平分∠ABC，
∴∠A＝∠ABD＝∠DBC＝36°，
∴AD＝BD，∠BDC＝72°，故A、B正确，不符合题意；
S△ABD：S△BCD＝AD：CD＝BC：CD，故C错误，符合题意；
△BCD的周长＝BC+CD+BD＝BC+AC＝AB+BC．，
故D正确，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，能够发现BD是角平分线是解答本题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）因式分解：3mx﹣9my＝ 3m（x﹣3y） ．
【分析】直接提取公因式3m，进而分解因式得出答案．
【解答】解：3mx﹣9my＝3m（x﹣3y）．
故答案为：3m（x﹣3y）．
【点评】此题主要考查了提取公因式分解因式，正确找出公因式是解题关键．
12．（3分）如图，∠ACD是△ABC的外角，若∠ACD＝120°，∠A＝50°，则∠B＝ 70° ．
【分析】直接利用三角形的外角性质进行求解即可．
【解答】解：∵∠ACD＝120°，∠A＝50°，∠ACD是△ABC的外角，
∴∠B＝∠ACD﹣∠A＝70°．
故答案为：70°．
【点评】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是熟记三角形的外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和．
13．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，若BC＝4，则BD＝ 2 ．
【分析】由在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，根据等腰三角形三线合一的性质求解即可求得BD的长．
【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD=12BC=12×4＝2．
故答案为：2．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质．注意等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
14．（3分）若x+y＝3，且xy＝1，则代数式x2+y2的值为 7 ．
【分析】根据x+y＝3，两边平方得到x2+y2+2xy＝9，进而得到x2+y2＝9﹣2xy，从而得出答案．
【解答】解：∵x+y＝3，
∴（x+y）2＝9，
∴x2+y2+2xy＝9，
∴x2+y2＝9﹣2xy＝9﹣2＝7，
故答案为：7．
【点评】本题考查了完全平方公式，掌握（a±b）2＝a2±2ab+b2是解题的关键．
15．（3分）如图，B处在A处的南偏西40°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向，则∠ACB的度数为 85 度．
【分析】先求出∠ABC和∠BAC，再利用三角形内角和求出∠ACB．
【解答】解：∵B处在A处的南偏西05°方向，C处在B处的北偏东80°方向，
∴∠ABC＝80°﹣40°＝40°，
∵C处在A处的南偏东15°方向，
∴∠BAC＝40°+15°＝55°，
∴∠ACB＝180°﹣40°﹣55°＝85°．
故答案为：85．
【点评】本题主要考查了方向角，解题的关键是根据图正确找出各角之间的关系即可计算．
16．（3分）在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多3cm，已知AB＝4cm，则AC的长为 7 cm．
【分析】利用三角形的中线定义可得CD＝BD，再根据△ADC的周长比△ABD的周长多3cm可得AC﹣AB＝3cm，进而可得AC的长．
【解答】解：∵AD是BC边上的中线，
∴CD＝BD，
∵△ADC的周长比△ABD的周长多3cm，
∴（AC+CD+AD）﹣（AD+DB+AB）＝3cm，
∴AC﹣AB＝3cm，
∵AB＝4cm，
∴AC＝7cm，
故答案为：7．
【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高．三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
三、解答题（本大题共9题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（4分）计算：（2x+1）（x﹣3）
【分析】直接利用多项式乘以多项式运算法则进而得出答案．
【解答】解：（2x+1）（x﹣3）
＝2x2﹣6x+x﹣3
＝2x2﹣5x﹣3．
【点评】此题主要考查了多项式乘以多项式，正确掌握运算法则是解题关键．
18．（4分）如图，AC和BD相交于点O，OA＝OC，DC∥AB．
求证：DC＝AB．
【分析】由DC∥AB得∠D＝∠B，再利用AAS即可证明△COD≌△AOB，即可得出结论．
【解答】证明：∵DC∥AB，
∴∠D＝∠B，
在△COD与△AOB中，
∠D=∠B∠DOC=∠BOAOC=OA，
∴△COD≌△AOB（AAS），
∴DC＝AB．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC各顶点坐标分别为A（4，0），B（﹣1，4），C（﹣3，1），已知点D与点B关于x轴对称，请在方格中找出点D，并求出△ABD的面积．
【分析】利用关于x轴对称的点的坐标特征写出D的坐标，再求出△ABD的面积即可．
【解答】解：如图所示：
△ABD的面积为：12×(4+4)×(4+1)=20．
【点评】本题考查了关于x轴的对称点的坐标特点以及三角形的面积，在方格中找出点D是解答本题的关键．
20．（6分）化简(1+x+2x2−4)÷xx−2，并在0，1，2中选一个合适的数作为x的值代入求值．
【分析】先约分，再根据分式的加法法则进行计算，同时根据分式的除法法则把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算，根据分式有意义的条件x不能为﹣2，2，0，取x＝1，把x＝1代入x−1x，再求出答案即可．
【解答】解：(1+x+2x2−4)÷xx−2
＝[1+x+2(x+2)(x−2)]•x−2x
＝（1+1x−2）•x−2x
=x−2+1x−2•x−2x
=x−1x−2•x−2x
=x−1x，
要使分式(1+x+2x2−4)÷xx−2有意义，必须x2﹣4≠0，x≠0，
即x不能为﹣2，2，0，
所x取1，
当x＝1时，原式=1−11=0．
【点评】本题考查了分式有意义的条件和分式的化简与求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
21．（8分）如图，△ABC中，∠C＝90°．
（1）尺规作图：作边BC的垂直平分线，与边BC，AB分别交于点D和点E；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）若点E是边AB的中点，AC＝BE，求证：△ACE是等边三角形．
【分析】（1）根据题意作出线段BC的垂直平分线即可；
（2）根据直角三角形的性质和等边三角形的判定定理即可得到结论．
【解答】（1）解：如图所示，直线DE即为所求；
（2）证明：∵∠C＝90°，点E是边AB的中点，
∴AE＝BE＝CE=12AB，
∵AC＝BE，
∴AC＝AE＝CE，
∴△ACE是等边三角形．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，等边三角形的判定，熟练掌握等边三角形的判定定理是解题的关键．
22．（10分）截至2021年9月，广州已累计建成5G基站超5.2万座，据广州市工信局介绍，广州要打造5G应用示范城市，到2023年5G个人普及率将超过60%．5G是第5代移动通信技术的简称，经测试5G下载速度是4G下载速度的15倍，小英和小芳分别用5G与4G下载一部900兆的纪录片，小英比小芳所用的时间快210秒，求该地4G与5G的下载速度．
【分析】设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒15x兆，根据下载一部900兆的纪录片时用4G网络比5G网络多用210秒，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出该地4G的下载速度，再将其代入15x中即可求出该地5G的下载速度．
【解答】解：设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒15x兆，
依题意得：900x−90015x=210，
解得：x＝4，
经检验：x＝4是原方程的解，且符合题意，
∴15x＝15×4＝60．
答：该地4G的下载速度是每秒4兆，5G的下载速度是每秒60兆．
【点评】本题考查分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
23．（10分）如图，CD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ACD和△BCD的高．
（1）求证：CD⊥EF；
（2）若AC＝6，BC＝4，S△ABC＝10，∠ACB＝60°，求CG的长．
【分析】（1）根据题目的已知易证△CDE≌△CDF，可得DE＝DF，CE＝CF，然后利用线段垂直平分线的逆定理证明即可；
（2）根据△CDA的面积与△CDB的面积和等于△ABC的面积，求出DE的长，然后放在Rt△CDE和Rt△DEG中，分别求出DG和CD，即可解答．
【解答】（1）证明：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠CED＝∠CFD＝90°，
∵CD＝CD，
∴△CDE≌△CDF，
∴DE＝DF，CE＝CF，
∴CD是线段EF的垂直平分线，
∴CD⊥EF；
（2）解：由题意得：
△CDA的面积+△CDB的面积＝△ABC的面积，
∴12AC•DE+12BC•DF＝10，
∵AC＝6，BC＝4，
∴3DE+2DF＝10，
∴5DE＝10，
∴DE＝2，
∵∠ACB＝60°，
∴∠ACD=12∠ACB＝30°，
∴CD＝2DE＝4，
∵∠CED＝90°，
∴∠CDE＝90°﹣∠ACD＝60°，
∵CD⊥EF，
∴∠DEG＝90°﹣∠CDE＝30°，
∴DG=12DE＝1，
∴CG＝CD﹣DG＝4﹣1＝3．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形去分析是解题的关键．
24．（12分）阅读：因为（x+3）（x﹣2）＝x2+x﹣6，说明x2+x﹣6有一个因式是x﹣2；当因式x﹣2＝0，那么多项式x2+x﹣6的值也为0，利用上面的结果求解：
（1）多项式A有一个因式为x+m（m为常数），当x＝ ﹣m ，A＝0；
（2）长方形的长和宽都是整式，其中一条边长为x﹣2，面积为x2+kx﹣14，求k的值；
（3）若有一个长方体容器的长为（x+2），宽为（x﹣1），体积为4x3+ax2﹣7x+b，试求a，b的值．
【分析】（1）根据多项式的一个因式为0，则多项式为0可求解；
（2）根据长方形的面积公式可知：x﹣2是x2+kx﹣14的一个因式，利用当x＝2时，x2+kx﹣14＝0，求出k的值即可；
（3）根据长方体的体积公式可知x+2，x﹣1是4x3+ax2﹣7x+b的一个因式，利用x＝﹣2和x＝1时，4x3+ax2﹣7x+b＝0，求出a，b的值即可；
【解答】解：（1）由题意，得，当x+m＝0时，A＝0，
∴x＝﹣m时，a＝0，
故答案为：﹣m；
（2）由题意得x﹣2是x2+kx﹣14的一个因式，
∴x﹣2能整除x2+kx﹣14，
∴当x﹣2＝0时，x2+kx﹣14＝0，
∴x＝2时，x2+kx﹣14＝4+2k﹣14＝0，
解得：k＝5；
（3）由题意得x+2，x﹣1是4x3+ax2﹣7x+b的一个因式，
∴x+2，x﹣1能整除4x3+ax2﹣7x+b，
∴x+2＝0，x﹣1＝0，
当x+2＝0时即x＝﹣2时，4x3+ax2﹣7x+b＝0，
∴4a+b＝18①，
当x﹣1＝0即x＝1时，4x3+ax2﹣7x+b＝0，
∴a+b＝3②，
①﹣②得3a＝15，
解得：a＝5，
∴b＝﹣2．
【点评】此题考查了因式分解的应用，是一道推理题，掌握好整式的除法法则是解题的关键．
25．（12分）△ABC是等边三角形，点D是AC边上动点，∠CBD＝α（0°＜α＜30°），把△ABD沿BD对折，得到△A′BD．
（1）如图1，若α＝15°，则∠CBA′＝ 30° ．
（2）如图2，点P在BD延长线上，且∠DAP＝∠DBC＝α．
①试探究AP，BP，CP之间是否存在一定数量关系，猜想并说明理由．
②若BP＝10，CP＝m，求CA′的长．（用含m的式子表示）
【分析】（1）由△ABC是等边三角形知，∠ABC＝60°，由∠CBD＝α＝15°，知∠A'BD＝∠ABD＝∠ABC﹣α，∠CBA'＝∠A'BD﹣α＝∠ABC﹣2α＝60°﹣2α，代入α值即可；
（2）①连接CP，在BP上取一点P'，使BP'＝AP，根据SAS证△BP'C≌△APC，得CP＝CP'，再证△CPP'是等边三角形，即可得出BP＝AP+CP；
②先证∠BCP+∠BCA'＝180°，即A'、C、P三点在同一直线上，得出PA'＝PC+CA'，根据SAS证△ADP≌△A'DP，得出A'P＝AP，即可求出CA'的值．
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵∠CBD＝α，
∴∠A'BD＝∠ABD＝∠ABC﹣α，
∴∠CBA'＝∠A'BD﹣α＝∠ABC﹣2α＝60°﹣2α，
∵α＝15°，
∴∠CBA'＝60°﹣2×15°＝30°，
故答案为：30°；
（2）①BP＝AP+CP，理由如下：
连接CP，在BP上取一点P'，使BP'＝AP，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，BC＝AC，
∵∠DAP＝∠DBC＝α，
∴△BP'C≌△APC（SAS），
∴CP'＝CP，∠BCP'＝∠ACP，
∴∠PCP'＝∠ACP+ACP'＝∠BCP'+∠ACP'＝∠ACB＝60°，
∵CP'＝CP，
∴△CPP'是等边三角形，
∴∠CPB＝60°，PP'＝CP，
∴BP＝BP'+PP'＝AP+CP，
即BP＝AP+CP；
②如下图，
由①知，∠BPC＝60°，
∴∠BCP＝180°﹣∠BPC﹣∠PBC＝180°﹣60°﹣α＝120°﹣α，
由（1）知，∠CBA'＝60°﹣2α，
由折叠知，BA＝BA'，
∵BA＝BC，
∴BA'＝BC，
∴∠BCA'=12（180°﹣∠CBA'）=12[180°﹣（60°﹣2α）]＝60°+α，
∴∠BCP+∠BCA'＝120°﹣α+60°+α＝180°，
∴点A'、C、P在同一直线上，
即PA'＝PC+CA'，
由折叠知，BA＝BA'，∠ADB＝∠A'DB，
∴180°﹣∠ADB＝180°﹣∠A'DB，
∴∠ADP＝∠A'DP，
∵DP＝DP，
∴△ADP≌△A'DP（SAS），
∴A'P＝AP，
由①知，BP＝AP+CP，
∵BP＝10，CP＝m，
∴AP＝BP﹣CP＝10﹣m，
∴A'P＝AP＝10﹣m，
∴CA'＝A'P﹣CP＝10﹣m﹣m＝10﹣2m．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质及等边三角形的性质是解题的关键．
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