重庆市2026届高三数学上学期周考十试题含解析

这是一份重庆市2026届高三数学上学期周考十试题含解析，共19页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知随机变量，则（ ）
A 0B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】由正态分布的对称性可得答案.
【详解】由题意可得该正态分布的图象关于轴对称，又，
所以.
故选：B.
2. 给出下列说法，其中正确的是（ ）
A. 某病8位患者的潜伏期（天）分别为3，3，8，4，2，7，10，18，则它们的第50百分位数为
B. 已知数据的平均数为2，方差为3，那么数据，，的平均数和方差分别为5，13
C. 在回归直线方程中，相对于样本点的残差为
D. 样本相关系数
【答案】C
【解析】
【分析】根据百分位数的概念可判断A的真假；根据两组相关数据的平均数和方差的计算方法判断B的真假；计算残差判断C的真假；根据相关系数的取值范围判断D.
【详解】对A：将3，3，8，4，2，7，10，18由小到大排列为2，3，3，4，7，8，10，18，第50百分位数即为中位数，这组数的中位数为，所以A错误；
对B：由数据的平均数为2，方差为3，则数据，，的平均数为，方差为，所以B错误；
对C：残差，故C正确；
对D：样本的相关系数应满足，所以D错误．
故选：C
3. 某学校在读书节活动中，甲，乙，丙3个班各有2名同学获奖，现将这6人站成一排拍照，其中甲班的2名同学相邻，且乙班的2名同学不相邻的站法种数共有（ ）
A. 36种B. 72种C. 144种D. 288种
【答案】C
【解析】
【分析】甲班的2名同学相邻，用“捆绑法”，乙班的2名同学不相邻，用“插空法”，再根据分步乘法计数原理即可求解.
【详解】第一步，将甲班的2人捆绑，连同丙班的2人作全排列，有种站法；
第二步，将乙班的2人插入前后4个空档，有种站法.
根据分步乘法计数原理，不同站法共有种.
故选：C
4. 的展开式中的系数为（ ）
A. 12B. 60C. 160D. 240
【答案】B
【解析】
【分析】先写出的二项展开式的通项，令，求出值，再代入通项中，计算即可得解.
【详解】因为的二项展开式的通项为
，
令，解得，所以，
所以的展开式中的系数为60.
故选：B
5. 设动直线x＝m与函数f(x)＝x3，g(x)＝lnx的图象分别交于点M，N，则|MN|的最小值为( )
A. B. C. D. ln3－1
【答案】A
【解析】
【详解】由f(x)和g(x)的图象可以看到|MN|就是两条曲线间的垂直距离，设F(x)＝f(x)－g(x)＝x3－lnx，求导得F′(x)＝3x2－，令F′(x)＞0，得x＞；令F′(x)＜0，得0＜x＜. 所以当x＝时，F(x)有最小值F()＝＋ln3＝ (1＋ln3)，故选A.
6. 如图所示，现要给固定位置的四棱锥的五个面涂上颜色，要求相邻的面涂不同的颜色，可供选择的颜色共有5种，则不同的涂色方案共有（ ）

A. 360B. 420C. 480D. 660
【答案】B
【解析】
【分析】根据使用颜色种数分类，利用排列组合可得.
【详解】若5种颜色全涂，有种；
若5种颜色涂4种，则左右侧面或前后侧面涂同种颜色，有种；
若5种颜色涂3种，则左右侧面涂同种颜色，前后侧面涂同种颜色，有种
可得，故不同的涂色方案共有420种.
故选：B
7. 如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钓着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为，若从顶端投入1024粒小球，则落入3号格子的小球的均值为（ ）
A. 93B. 120C. 210D. 300
【答案】B
【解析】
【分析】由已知得，从而求得小球落入第三个格子的概率，再计算均值即可》
【详解】由于小球是等概率的向左或向右下落，则最后落入格子的号码数，
所以，
又1024个小球落入第三个格子的球数，
所以，即落入第三个格子的球数均值为120.
故选：B.
8. 已知双曲线的离心率为，分别是双曲线的左､右焦点，点，点为线段上的动点，当取得最小值和最大值时，的面积分别为，则（ ）
A. 4B. 8C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据双曲线的离心率求出的关系，结合向量数量积的公式，结合一元二次函数的性质求出函数的最值即可.
【详解】由，得，
故线段所在直线的方程为，
又点在线段上，可设，其中，
由于，即，
得，
所以.
由于，可知当时，取得最小值，此时，
当时，取得最大值，此时，则，
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题的关键是设，然后计算出，利用二次函数性质则得到其最值，再代入得到，则得到面积比.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】结合赋值法、导数运算以及二项式展开式的通项公式求得正确答案.
【详解】由，
令得，A选项正确.
令得，B选项错误.
二项式展开式的通项公式为，
由此可知是负数，为正数，
所以令得，
，
即，C选项错误
由，
两边求导得，
令得，所以D选项正确.
故选：AD
10. 甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”，B表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（ ）
A. 、为对立事件B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】只需注意到事件B是在事件或发生之后可解.
【详解】因为甲罐中只有红球和白球，所以A正确；当发生时，乙罐中有4个红球，7个白球，此时B发生的概率为，故B正确；当发生时，乙罐中有3个红球，8个白球，此时B发生的概率为，故D不正确；，故 C不正确.
故选：AB
11. 如图，曲线上的点与轴非负半轴上的点，构成一系列斜边在轴上的等腰直角三角形，记为，，，（为坐标原点）．设的斜边长为，点，的面积为，则下列说法中正确的是（ ）

A. 数列的通项公式B. 数列的通项公式
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】A根据几何特征求出，再根据以及化简得出数列为等差数列即可求出；B根据A选项以及即可；C根据以及平方和公式即可；D由，结合裂项相消法即可.
【详解】已知，设，因为为等腰直角三角形，
则直线的斜率为，直线的方程为，
联立，解得，则，即，则，
设，则，，
则，
可得，即，
由，可得，故得，
所以数列是以2为首项，以2为公差的等差数列，
则，故A正确；
对于B，，则，故B错误；
对于C，因为是等腰直角三角形，其面积，
则
由平方和公式，
可得，故C正确；
对于D，因为，，
当时，，
则，故D正确．
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 设函数的导数为，且，则=______.
【答案】
【解析】
【分析】对求导，可得，将代入上式即可求得：，即可求得，将代入即可得解
【详解】因为，所以.
所以，则，
所以
则，
故.
【点睛】本题主要考查了导数的运算及赋值法，考查方程思想及计算能力，属于中档题．
13. 已知在自然人群中，男性色盲患者出现的概率为7%，女性色盲患者出现的概率为0.5%．今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，则此人是男性的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】以事件表示“选出的是男性”，则事件表示“选出的是女性”，以事件表示“选出的人是色盲患者”.由已知得，，.根据贝叶斯公式可求得答案.
【详解】解：以事件表示“选出的是男性”，则事件表示“选出的是女性”，以事件表示“选出的人是色盲患者”.
由题意，知，，.
由贝叶斯公式，可知此色盲患者是男性的概率为
.
故答案为：.
14. 已知集合.若九位数满足，且，，，如212323212，则称这个九位数为“九曲正弦数”，则共有______个“九曲正弦数”.
【答案】
【解析】
【分析】根据这5个数至少取集合中3个不同的数字，且为最大的数，为最小的数，按照取自集合中元素个数进行分类，结合排列组合的知识求解即可.
【详解】因，，，
则这5个数至少取集合中3个不同的数字，至多取5个不同的数字，
且为最大的数，为最小的数，
①取3个数：，分别自动选取最大的数和最小的数（以下均采取相同的做法，不再赘述），则取剩下的数，共有种；
②取4个数：共有种；
③取5个数：则从剩下的3个中各自匹配一个数，共有种；
故共有个“九曲正弦数”.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知锐角△ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．
（1）求A的值；
（2）若，求△ABC周长的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）证明，证明即可求解；
（2）证明，，证明，证明，证明即可求解.
【小问1详解】
，
由正弦定理得，
整理得，
在中，，
，即，
，即；
【小问2详解】
由正弦定理得，
∴，，
∴，
，
∴，
在锐角中 ，
∴，，
∴，
∴周长的取值范围为．
16. 2023年10月22日，汉江生态城2023襄阳马拉松在湖北省襄阳市成功举行，志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障，襄阳市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同．
（1）估计这100名候选者面试成绩的平均数和第25百分位数；
（2）在这100名候选者用分层随机抽样的方法从第四组和第五组面试者内抽取10人，再从这10名面试者中随机抽取两名，求两名面试者成绩都在第五组的概率．
（3）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者．若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和70，据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差．
【答案】（1）平均数为69.5，第25百分位数为63
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）首先算出，然后根据平均数、百分位数的计算公式计算即可；
（2）由列举法求解古典概型概率即可；
（3）由分层抽样方差公式计算即可.
【小问1详解】
由题意可知：，解得，
可知每组的频率依次为：0.05，0.25，0.45，0.2，0.05，
所以平均数为，
因为，
设第25百分位数为，则，则，解得，故第25百分位数为63．
【小问2详解】
10人中，第四组为8人.第五组为2人，记第四组的人的编号为1到8，第五组的人的编号为9和10，
则样本空间
共45个样本点，
记两名面试者成绩都在第五组为事件A， 则事件，故；
【小问3详解】
设第二组、第四组面试者的面试成绩的平均数与方差分别为，
且两组频率之比为，则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数，
第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差
．
故估计第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差是．
17. 已知函数．
(1)当b＝4时，求极值；
(2)若在区间上单调递增，求b的取值范围．
【答案】（1）极小值f(－2)＝0，极大值f(0)＝4；（2）
【解析】
【分析】（1）求导，判断函数的单调性，进而求出函数的极值；
（2）在区间上单调递增，说明导函数在上大于或者等于零，求出的取值范围.
【详解】(1)当b＝4时，，
由f′(x)＝0，得x＝－2或x＝0.
所以当x∈(－∞，－2)时，f′(x)0，f(x)单调递增；
当x∈时，f′(x)