重庆市2025_2026学年高一数学上学期周考十一试题11.30含解析

这是一份重庆市2025_2026学年高一数学上学期周考十一试题11.30含解析，共19页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据指、对函数性质运算求解；
【详解】根据对数函数的性质，当时，故，
根据指数函数的性质，当时，，故，
所以，
故选：B
2. 设，，，下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用对数的运算法则计算可判断每个选项的正误.
【详解】对于A，因为，所以，故A正确；
对于B，当时，，当时，无意义，
当时，，故B错误；
对于C，因为，所以，故C正确；
对于D，因为，所以，故D正确.
故选：B.
3. 根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为．则下列各数中与最接近的是（ ）（参考数据：）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据对数运算法则与指对互化化简运算即可得答案.
【详解】因为，
所以，
故，则与最接近的是.
故选：D.
4. 函数的图像大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分、两种情况对函数的解析式进行化简，然后可得答案.
【详解】当时，，
当，，
所以函数的图像大致是选项D，
故选：D
5. 已知函数，且对于都满足，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由条件可得函数在上单调递增，结合二次函数单调性，对数函数单调性，分段函数的单调性的性质列不等式求结论.
【详解】当时，，.
在上单调递增，所以
因为函数在上单调递增，在定义域上单调递增，
根据复合函数单调性法则可知，
在上单调递增等价于，所以，
又根据分段函数递增法则可得，所以．
，
故选：A.
6. 定义在R上的函数满足,且时,,则= ( )
A. 1B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先利用奇偶性，求出函数在时的解析式，再利用周期性和对数的运算性质计算即可.
【详解】由题意知，
则时，，
∴，
∵，∴，即，
∵，
∴，
故选：C.
7. 已知实数，，，当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先将恒成立转化为恒成立，由于底数不确定分其和两种情况分类讨论，再利用恒成立求出的取值范围.
【详解】当时，恒成立，即恒成立，
可得当时，恒成立；
当时，在单调递减，在单调递减， 上单调递增，
当时，恒成立，则，即；
当时，在单调递增，在单调递减， 上单调递增，
当时，恒成立，则，即；
综上所述，或；
故选：A
8. 已知实数满足：，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将变为，化为，令，则方程的解即为函数与交点的横坐标，关于的方程的解即为函数与交点的横坐标，根据与互为反函数，得
函数与的交点为函数与交点和与交点的中点，作出函数图像，结合图像，求出函数与的交点得坐标，即可得解.
【详解】解：由，则，
由，则，即，
则，，
，
令，
则方程的解即为函数与交点的横坐标，
方程，即关于的方程的解即为函数与交点的横坐标，
因为与互为反函数，则它们关于对称，
则函数与的交点为函数与交点和与交点的中点，
作出函数图像，如图所示：
联立，解得，即，
所以，即.
故选：C.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，，则下列命题正确的是（ ）
A. 若且，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用不等式性质结合可判断A，根据指数函数的性质可判断B，根据不等式性质结合对数函数的性质可判断C，根据幂函数的性质可判断D.
【详解】A中，时，则，错误；
B中，因为，，所以成立，正确；
C中，因为，，所以，，
所以，即，正确；
D中，由，可得，又，所以，正确.
故选：BCD.
10. 关于函数，有下列结论，其中正确的是（ ）
A. 其图象关于轴对称
B. 最小值是
C. 当时，是增函数
D. 增区间是，
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据函数奇偶性的定义直接判断A选项，根据复合函数单调性的判断方法判断函数单调性，进而可得最值.
【详解】由已知，则，
所以函数为偶函数，图象关于轴对称，A选项正确；
当时，，
设，，
则，当且仅当，即时等号成立，
且在上单调递减，在上单调递增，
又函数，上单调递增，
综上所述在上单调递减，在上单调递增；
结合偶函数可知函数在上单调递减，在上单调递增；
故C选项错误，D选项正确；
当和时，取最小值为，B选项正确；
故选：ABD.
11. 若，则下列结论正确的有（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】AD
【解析】
【分析】先证明：对任意，，有，利用此结论，当时，可判定AB；再运用对数运算性质判断CD.
【详解】先证明结论：对任意，，有；
证明如下：因为，所以为减函数，
所以，即，
设，即，则为减函数，
所以，即，
从而，也就是，
当时，可得，A正确，B错误；
应用上面的结论可得：
，故D正确，C错误.
故选：AD
【点睛】关键点点睛：证明命题：对任意，，有，是后续解题的关键.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数的单调递增区间为_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据对数函数的单调性，结合复合函数的单调性，可求原函数的单调递增区间．
【详解】由，得或，所以函数的定义域为，
令，则，因在上单调递减，
且在上单调递减，在上单调递增，
由复合函数的单调性可知函数的单调递增区间为．
故答案：．
13. 请写出一个同时满足下列两个条件的函数：____________.
（1） ，若则（2）
【答案】，答案不唯一
【解析】
【分析】由条件（1） ，若则.可知函数为R上增函数；
由条件（2）.可知函数可能为指数型函数.
【详解】令，
则为R上增函数，满足条件（1）.
又，
故
即成立.
故答案为：，（，等均满足题意）
14. 已知．若对任意恒成立，则的取值范围为___________．
【答案】
【解析】
【分析】由条件，求函数的解析式，判断函数的奇偶性及单调性，结合函数性质化简不等式可得，分离变量，求函数的最小值，可得结论.
【详解】因为，
令，则，，
所以，，
令， ，
函数的定义域关于原点对称，
又，故函数为奇函数，
又函数，都为R上增函数，
所以函数为增函数，
不等式可化为
，
即，
所以，
所以，
所以，
所以，又，
由已知对任意恒成立，
因为，故，
因为，
由，当且仅当，即时等号成立，
所以，故.
所以的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于求出函数的解析式，判断函数的解析式，结合函数性质化简不等式.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 化简与求值：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）运用对数的性质和运算法则计算求解；
（2）运用对数和指数的性质及运算法则计算求解；
（3）运用指数和对数的性质及运算法则计算求解．
【小问1详解】
，
，
，
，
．
【小问2详解】
，
．
【小问3详解】
，
．
16. 已知函数，.
（1）当时，解不等式：；
（2）若函数的图象和函数的图象交于不同两点，，若，求实数的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）令换元后，解分式不等式，再由对数函数的单调性即可求解；
（2）由题意转化为方程，令转化为一元二次方程，由根与系数的关系求解.
【详解】（1），令，
则，
所以.
（2），令，
即，
则有，，
所以解得，
令，则有单调递增，且，
所以.
【点睛】关键点点睛：解决含对数函数的较复杂解析式的函数问题，利用换元法可化繁为简，突出问题本质，本题换元法处理后，变成简单的分式不等式及一元二次方程根的问题，解题可变得简单，注意换元后新元的取值范围.
17. 已知函数．
（1）求函数的值域；
（2）当时，求的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据对数运算化简函数，令，则，利用二次函数求解函数值域即可；
（2）根据对数函数的性质得，将函数转化为函数，再根据二次函数的单调性讨论对称轴的位置，得单调性从而得函数的最大值.
【小问1详解】
函数的定义域满足：
，解得，即函数定义域为，
又，
令，则，
则函数转化为，
二次函数开口向上，故当，函数取得最小值为，
所以函数的值域为；
【小问2详解】
因为函数在上为增函数，
所以，即，
则，，
二次函数的对称轴为，
①当，即时，函数在上单调递减，
所以当时，取最大值；
②当，即时，函数在上单调递增，
所以当时，取最大值；
③当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取最大值；
综上，.
18. 2021年5月，“共和国勋章”获得者、“杂交水稻之父”袁隆平先生辞世，他的功绩将永远被人们铭记：在他和几代科学家的共同努力下，中国用全世界7%的耕地，养活了全世界22%的人口，目前，我国年人均粮食占有量已经稳定在470千克以上，远高于国际公认的400千克粮食安全线，雅礼中学数学建模小组的同学想研究假如没有杂交水稻的推广，没有合理的人口、土地政策，仅以新中国成立时的自然条件为前提，我国年人均粮食占有量会如何变化？根据英国经济学家马尔萨斯《人口论》的观点“人口呈几何级数增长，而生活资料呈直线型增长”，该小组同学做了以下研究．根据马尔萨斯的理论，自然状态下人口增长模型为①（其中t表示经过的时间，表示时的人口数，r表示人口的年平均增长率，y表示t年后的人口数，单位：万人）根据国家统计局网站的数据，我国1950年末、1959年末的人口总数分别为55196万和67207万．该小组同学根据这两个数据，以1950年末的数据作为时的人口数，求得①式人口增长模型．
（1）请求出该小组同学①式的人口增长模型；
（2）根据马尔萨斯的理论，该小组同学把自然状态下粮食增长模型近似看作直线型模型，通过查阅我国1950年末至1959年末粮食产量，得到粮食增长模型近似为y=600t+13600（其中t表示经过的时间，y表示第t年的粮食年产量，单位：万吨）．（）表示从1950年末开始第t年的年人均粮食占有量，单位：吨/人．
①求满足的正整数k的最小值．
②按此模型，我国年人均粮食占有量能达到400千克吗？试说明理由．
参考数据：，，，．
【答案】（1）
（2）①24 ；②不能；理由见解析
【解析】
【分析】（1）由题意得，两边取自然对数化简计算可求得，从而可求得①式的人口增长模型，
（2）①由，可得，化简计算得，从而可求出正整数k的最小值，
②由①当时，，所以当时，最大，计算，从而得，进而可得结论
【小问1详解】
由题意可得，则，，
所以，所以，
所以．
【小问2详解】
①由，得，所以，
化简得，即，解得，因为k为正整数，所以正整数k的最小值为24，
②由①当时，，所以当时，最大，
，即，
所以按此模型，我国年人均粮食占有量不能达到400千克．
19. 已知为上的偶函数，为上的奇函数，且，其中为自然对数的底数．
（1）求函数和的解析式；
（2）令，关于的方程有且仅有三个解，，．
①当时，求的值；
②当时，求实数的值．
【答案】（1）；
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）利用函数的奇偶性，结合抽象函数的关系式，通过换元法构造新关系式，进而求出的解析式；
（2）先求出解析式，分析在定义域内的单调性及值域，令，对已知方程进行化简，结合韦达定理分析已知方程3个解的情况，分别求出及实数．
【小问1详解】
为上的偶函数，为上的奇函数，
，
①，把替换为得②，
式①加上②得，解得；
式②减去①得，解得．
【小问2详解】
，
，定义域为，
当时，，函数在上单调递减，
当，且时，，当时，，
当时，，
当时，，当，且时，，
令，方程可化为，
因为方程有且仅有三个解，
所以方程必有两个根，
设该方程的两个根为，则需满足：
一个根，对应两个解：（）和（），
另一个根满足，对应一个解（），且，
，
（）时，；
（）时，（）．
二次方程的根满足，
①当时，均对应，：
，
，
，
，，
，．
②当时，对应，，对应，
，
，
展开得，
，
，
，
，，
当时，，不合题意，舍去；
当时，， ，符合题意．
实数．