重庆市2025_2026学年高二数学上学期12月期中试题含解析

这是一份重庆市2025_2026学年高二数学上学期12月期中试题含解析，共20页。
2. 每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再连涂其他答案标号.在试卷上作答无效.
3. 考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存.满分150分，考试用时120分钟.
一、单项选择题. 本题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分， 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题 目要求的.
1. 已知直线绕原点顺时针旋转得到直线，则的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出直线的倾斜角，再利用已知条件结合倾斜角的取值范围求出的倾斜角．
【详解】直线 ，设直线斜率为，倾斜角为，
，，
直线绕原点顺时针旋转得到直线，
又倾斜角的取值范围为，
直线的倾斜角为，故D正确．
故选：D．
2. 已知等差数列 满足 ，则下列各式正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用等差数列的通项公式即可求解.
【详解】设等差数列的公差为，则由等差数列的通项公式代入可得：
.
故选：B.
3. 已知 是抛物线 的焦点， 为抛物线 上一点， 为坐标原点，若 . 且 ，则抛物线的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题可得，，将代入抛物线方程可得答案.
【详解】由题可得，如图，做垂直于x轴，因，，
则，，则，
将代入，
可得，
则抛物线的方程为：.
故选：C
4. 已知圆的圆心在轴上，且与直线相切于点，则圆的标准方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出圆心到切点的斜率，进而求出圆心，再利用两点间距离公式求出半径，进而得出圆的标准方程．
【详解】
已知圆的圆心在轴上，设圆心坐标为，圆心到切点的连线斜率为，半径为，
则，解得，
，解得，即圆心，
圆心到切点的距离即为圆的半径，
，
圆的标准方程为，故A正确．
故选：A．
5. 已知是椭圆的左右焦点，点是椭圆上一点且满足 ，则 （ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】由题知，进而在焦点三角形中结合余弦定理得，进一步计算可知即可得答案.
【详解】由椭圆的方程得，
由椭圆的定义知：，则
故在中，因为，
故根据余弦定理知：，
即，解得，
所以
所以，即，
所以.
故选：C
6. 已知 、 是双曲线 的左右焦点，点 是其渐近线在第一象限内的一点，直线 与 轴相交于点 ， 是正三角形，则该双曲线的渐近线方程是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据是正三角形及双曲线的对称性可得，从而可求，故可得正确的选项.
【详解】双曲线的焦点在轴上，
左右焦点为，（其中，），
因为，故，
由双曲线的对称性可得，故，
故，故，而在第一象限的渐近线上，故，
而，故，故，
因此最终渐近线方程为：.
故选：B.
7. 已知直线 与圆 相交于 、 两点，若 为整数，则这样的直线 有（ ）条.
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】先分析直线的特征，再结合圆的性质计算弦长（弦长，其中为圆的半径，为圆心到直线的距离）的可能整数值，进而确定直线的数量.
【详解】将直线的方程整理为：，
令，解得，因此直线过定点，
因为圆：的圆心为，半径，
所以定点到圆心的距离为：（即点在圆内），
设圆心到直线的距离为，则弦长公式：，
由于直线过定点，则（点到直线的距离不超过点到定点的距离），
因此：，代入弦长公式得：
(时，；当时，).
因为为整数，结合范围，可能的整数值为、.
当时，(直线过圆心)，将代入直线的方程：
，得，对应1条直线；
当时，由弦长公式，解得，即，
圆心到直线的距离，令其等于，平方后化简得：
，，，
此方程判别式，有2个不同的实根，对应2条直线.
所以对应1条，对应2条，共条.
故选：B.
8. 已知数列满足，，则下列判断正确的是（ ）
A. ，使得B. ，使得
C. D. ，使得数列的最小值为
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定的递推公式得，利用反证法推理判断B；求出数列通项公式，确定的范围判断A；确定数列单调性判断CD.
【详解】由，得，
对于B，假定，使得，而，则，，
于是，与矛盾，因此假定是错的，即，B错误；
，，而，，
数列是首项为，公比为2的等比数列，则
，因此，，
对于A，，则，对，A错误；
对于CD，，而函数是减函数，又，
则，即，，因此数列是递增数列，
，且是数列的最小项，C正确，D错误.
故选：C
二、多项选择题. 本题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求.全 部选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分.
9. 若数列为等差数列，其公差为，为其前项和，则下列说法一定正确的是（ ）
A. B.
C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】AB
【解析】
【分析】根据等差数列的求和公式，可判定A、B正确；结合特例法，可判定C、D不正确.
【详解】对于A，根据等差数列的求和公式，可得，所以A正确；
对于B，根据等差数列的求和公式，可得，所以B正确；
对于C，取，可得，而，所以C错误；
对于D，取，可得，而，所以D错误.
故选：AB.
10. 已知 是抛物线 的焦点，不过原点的直线 与抛物线相交于 、 两点，则下列说法正确的是（ ）
A. 若直线过点，则的最小值为2
B. 若直线过点，点在第一象限，，则直线的倾斜角为
C. 若，线段的中点为，则到轴的距离最小值是2
D. 若直线过点，则原点在以线段为直径的圆内
【答案】BCD
【解析】
【分析】设，联立方程组，求得，由，可判定A错误；根据抛物线的焦半径公式，求得，结合斜率和倾斜角的定义，可判定B正确；
分析直线过抛物线的焦点和直线不过抛物线的焦点，两种情况讨论可求得到轴的距离，可判定C正确；根据抛物线的定义过点作，得到以为直径的圆与准线相切，可判定D正确.
【详解】由抛物线的焦点，准线方程为，设，
对于A，根据抛物线的定义，可得，
则，
设，联立方程组，整理得，
则，所以，
所以，所以的最小值为，所以A错误；
对于B,由抛物线的定义，可得，解得，则
因为点在第一象限，可得，即，所以，
设的倾斜角为，可得，所以，所以B正确；
对于C，当直线过抛物线的焦点时，则，
可得，因为是线段的中点，所以，
所以到轴距离为；
当直线不过抛物线的焦点时，可得，
所以，解得
因为是线段的中点，所以，即到轴的距离大于，
综上可得，所以到轴的距离的最小值为，所以 C正确；
对于D，由直线过抛物线的焦点，过分别作，垂足分别为，
根据抛物线的定义，可得，且
在过点作，垂足，可得，
所以以为直径的圆与准线相切，所以原点在以为直径的圆的圆内，所以D正确.
故选：BCD.
11. 已知椭圆 ，是其左右焦点， 是椭圆 上任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最大值是4
B. 的最大值是4
C. 取最小值时，点的坐标为
D. 若也在抛物线 上，则到点的最小距离为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据椭圆及抛物线的定义，再结合基本不等式及柯西不等式可得.
【详解】由，得，即.如图：
对于A：由椭圆的定义得，当且仅当时等号成立，所以A正确；
对于B：因为，所以，
又因为，所以，又因为，
所以，当且仅当时等号成立.所以B错误；
对于C：由，所以，即，
当且仅当，即代入，解得或，
所以当时，有最小值，故C正确；
对于D：因为点在抛物线 上，抛物线焦点为，
根据抛物线的定义，到点的距离等于P点到准线的距离.
因为，所以，得，
所以到点的距离，
当且仅当，即（负值舍去）时等号成立.故D正确.
三、填空题. 本题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分.
12. 已知数列 的前 项和为 ， 是以1为公差，4 为首项的等差数列，则通项公式 _____
【答案】
【解析】
【分析】首先根据等差数列的定义写出的通项公式，然后再根据和的关系即可求解.
【详解】由题意可得，所以，
当时，，
当时，，符合上式，因此.
故答案为：
13. 已知 与相交于点 ，则 _____
【答案】
【解析】
【分析】首先求两圆相交弦所在的直线方程，再求弦长.
【详解】两圆相减得直线的方程，
圆心到直线距离，
所以.
故答案为：
14. 已知双曲线 的左右顶点分别为，双曲线在第一象限内存在一点，使得直线 的斜率，满足，则该双曲线的离心率的取值范围是_____
【答案】
【解析】
【分析】设.利用过两点的斜率公式，及点在双曲线上，变形化简，得到，将其代入双曲线方程得到，再根据及离心率公式计算即可得解.
【详解】设，则有，
即，所以.
由题意知，
则.
所以，即.
将代入双曲线方程可得，即
因为，所以，即.
由可得，所以离心率.
所以双曲线的离心率的取值范围是.
故答案为：
四、解答题. 本题共 5 小题， 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知椭圆 ，点 为椭圆内一点，过点 的直线 与椭圆交于 、 两点，
（1）若直线 的斜率为 1，求线段 的长度.
（2）若 为线段 的中点，求直线 的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求出直线方程，然后联立直线与椭圆方程，求出坐标，进而可求出线段的长度.
（2）设，然后将其代入椭圆方程中，两式相减，结合中点坐标，即可求出直线斜率，进而求出其方程.
【小问1详解】
若直线的斜率为1，那么该直线方程为，即.
联立直线与椭圆方程组得，解得.
所以.
所以.
【小问2详解】
设，则满足，两式相减得
，因为是线段的中点，
所以，所以，
则有，所以直线的方程为，
即，即.
16. 已知等差数列满足.
（1）求数列的通项公式.
（2）记，数列的前项和为，求.
【答案】（1），.
（2），.
【解析】
【分析】（1）设公差为，利用条件等式计算，分类讨论的取值，验证再利用等差数列的通项公式计算即可；
（2）利用（1）的结论，分类讨论的范围，结合等差数列求和公式计算即可.
【小问1详解】
设的公差为，由，则或，
若，则，此时，，
满足条件等式；
若，则，
此时，，
不满足条件等式，舍去；
综上，.
【小问2详解】
由上可知，
所以当时，
此时，
当时，
此时
，
综上，.
17. 如图多边形 中，四边形 是矩形， ，沿直线 将 进行翻折，使得点 至点 的位置使得 是正三角形.
（1）求证：平面 平面
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由勾股定理确定，再结合，即可求证；
（2）建系求得直线方向向量和平面法向量，代入夹角公式即可求解.
【小问1详解】
因为 是正三角形，
所以，
又，
所以，
即，又,为平面内两条相交直线，
所以平面，
又在平面内，
所以平面平面 ；
【小问2详解】
取的中点，的中点，
，又在平面内，为平面，平面 的交线，
由（1）可知平面 ，连接，
在平面内，可知两两垂直，
如图建系，
则，
则，
设平面的法向量为，
则，
设，得，
即，
设直线与平面所成角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值是.
18. 已知双曲线的左右焦点分别为，其离心率为，焦点到渐近线的距离为，点是直线上一点，直线的斜率分别是，是坐标原点.
（1）求双曲线的标准方程.
（2）是否存在实数，使得为定值？若存在，求出及该定值.若不存在说明理由.
（3）若直线与双曲线相交于、两点，求出点的坐标使得.
【答案】（1）；
（2）存在实数使得为定值；
（3）或.
【解析】
【分析】（1）根据题意得，再结合解方程即可得答案；
（2）结合（1）得，进而根据代入整理得，此时，即时即为定值；
（3）设直线的方程为，，进而与双曲线联立方程，结合韦达定理化简整理得所以，解方程即可求得或，最后根据即可求得坐标.
【小问1详解】
由题知，双曲线的焦点在轴上，
故焦点为，渐近线方程为
因为其离心率为，焦点到渐近线的距离为，
所以，又因为，
所以，，，
所以双曲线的标准方程为，即
【小问2详解】
由（1）知，
因为点是直线上一点，所以，
所以，
所以
，
所以，当，即时，，为定值.
所以，存在实数使得为定值；
【小问3详解】
设直线的方程为，
联立方程得，
因为直线与双曲线相交于、两点，
所以，即，
，，
所以，
即，整理得，即，
解得或，满足判别式.
当时，即，解得，，即；
当时，即，解得，，即.
所以，当点或时，.
19. 已知抛物线及点，直线过点且相交于两点，与相交于两点，过分别作抛物线切线，过两点的切线相交于点，过两点的切线相交于点.
（1）已知的轨迹是同一条直线，求直线的方程.
（2）求线段的最小值.
（3）求四边形面积S的取值范围.
(注: （1） 若点是抛物线 上一点，则过的抛物线的切线方程为 （2） 若点 是抛物线外一点，过作抛物线的切线，切点分别是，则直线方程为)
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）利用抛物线的切点弦方程结合同解方程计算即可；
（2）利用两直线垂直得出，结合两点间距离公式及基本不等式计算即可；
（3）联立与抛物线方程结合弦长公式得出，同理计算，根据的关系结合二次函数的性质计算即可.
【小问1详解】
设，由题意可知，
又交于，即，
即都是方程的解，所以都在直线上，
所以直线的方程为；
【小问2详解】
易知斜率都存在且不为0，由上可知，则，
又
，
当且仅当时取得等号，所以；
【小问3详解】
由（1）知，与抛物线方程联立有，
可得，所以，
则，
同理可得，因为，
所以
易知，当且仅当时取得等号，
可设，则.
所以.