重庆市2025_2026学年高二数学上学期12月期中测试试题含解析

这是一份重庆市2025_2026学年高二数学上学期12月期中测试试题含解析，共22页。试卷主要包含了作答时，务必将答案写在答题卡上，考试结束后，将答题卡交回等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上.
2.作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效.
3.考试结束后，将答题卡交回.
一、单项选择题.本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.
1. 方程 表示的曲线为（ ）
A. 线段 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 不表示任何图形
【答案】B
【解析】
【分析】 表示点 到点 ， 的距离之和为 ，结合
椭圆的定义即可进行判断.
【详解】 表示点 到点 ， 的距离之和为 ，即
，
所以方程 表示的曲线为椭圆.
故选：B.
2. 双曲线 的焦点到它的渐近线的距离为（ ）
A. 1 B. 2 C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】求出双曲线的焦点坐标及渐近线方程，再利用点到直线的距离公式求解.
【详解】由对称性，不妨取双曲线 的右焦点 ，渐近线方程为 ，
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所以所求距离为 .
故选：C
3. 已知曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则 的值为（ ）
A. 3 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用导数的几何意义即可求解．
【详解】 ，
又因为曲线 在点 处的切线与直线 垂直，
所以切线斜率 ，解得 ．
故选：D．
4. 已知等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则当 取得最小值时， （ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】先利用 与等差数列前 项和公式 分析项的符号，再利用 分析
项的符号，最后判断 的最小值即可.
【详解】由等差数列前 项和公式得： ，
因为 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
又因为 ，可得 ，即 ，
由 ， 可知数列前 6 项为负，第 7 项开始为正，
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因此当 取得最小值时， .
故选：C.
5. 已知数列 是公差为 的等差数列，则 （ ）
A. B. C. 2 D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】利用等差数列定义，结合对数运算求出等比数列 的公比，进而求得答案.
【详解】由数列 是公差为 的等差数列，得 ，
则 ，因此数列 是公比为 的等比数列，
所以 .
故选：A
6. 已知椭圆 的左顶点为 A，点 P，Q 均在 C 上且关于 y 轴对称.若直线 AP，AQ
的斜率之积为 ，则椭圆 C 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设出点 坐标，利用斜率坐标公式，结合椭圆方程列式求出 ，进而求出离心率.
【详解】椭圆 的左顶点 ，设点 ，则 ，
且 ，由直线 AP，AQ 的斜率之积为 ，得 ，
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所以椭圆 的离心率 .
故选：A
7. 已知椭圆 的两个焦点为 ， ，过原点的直线与该椭圆交于 ， 两点，若
， 的面积为 ，则 的周长为（ ）
A. 12 B. C. D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可得 ，则可得 ，再利用三角形面积公式与勾股定理计算即
可得解.
【详解】 ，又 ，故 ，
则 ，故 ，即 ，
且有 ，
故 ，
即 ，故 的周长为 .
故选：B.
8. 数列 满足 ， ，若 成立，则正整
数 的最大值为（ ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
【答案】D
【解析】
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【分析】由 可得数列 为等差数列，则可得 通项公式，从而可得 ，再利
用裂项相消法计算可得 ，最后解出不等式即可得.
【详解】由 ，则 ，即 ，
又 ，故数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，
故 ，故 ；
则 ，
则 ，
令 ，解得 ，故正整数 的最大值为 .
故选：D.
二、多项选择题.本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.
9. 已知直线 ，圆 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 直线 和圆 总有公共点
B. 直线 被圆 截得的最短弦长为
C. 若圆 与圆 有且只有一条公切线，则实数
D. 当 时，圆 上恰有两个点到直线 的距离等于 1
【答案】ABD
【解析】
【分析】将直线方程变形，求出直线经过的定点，然后利用定点在圆的内部可判断 A；根据过定点的直线
与圆相交时最小弦长计算方法计算可判断 B；利用圆心距与两圆半径之间的关系计算可判断 C；结合直线与
圆的位置关系，利用点到直线的距离公式进行计算可判断 D.
【详解】对于 A，直线 的方程为 ，
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变形可得 ，令 ，解得 ，
所以直线 恒过定点 ，
因为 ，所以定点 在圆 内部，
则直线 和圆 总有公共点，故 A 正确；
对于 B，因为直线 过定点 ，且点 在圆 内，
则经过 ， 两点的直线与直线 垂直时，直线 被圆 截得的弦长最小，
此时圆心 到直线 的距离为 ，
所以最小弦长为 ，故 B 正确；
对于 C，圆的方程 ，即 ，
其圆心为 ，半径为 ，需满足 ，
若圆 与圆 有且只有一条公切线，则两圆内切，
则有 ，解得 ，故 C 错误；
对于 D，圆 ，其圆心为 ，半径为 ，
当 时，直线 的方程为 ，
圆心 到直线 的距离为 ，依题意需满足 .
因为 ， ， ，满足 ，
故圆 上恰有两个点到直线 的距离等于 1.故 D 正确.
故选：ABD.
10. 已知直线 与抛物线 相交于 ， 两点， 的焦点为 ， 为坐标原点，则下列结论正
确的是（ ）
A. 若直线 过焦点 ，则 为钝角
B. 若 ，则直线 的斜率为
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C. 若 ，则直线 过定点
D. 若 的外接圆与抛物线 的准线相切，则该圆的半径为
【答案】ACD
【解析】
【 分 析 】 根 据 条 件 写 出 ， ， 选 项 A,证 明 ， 可 得
，所以 为钝角，选项 B,由 ，求出 的值，即可得到直线 的斜
率；选项 C,先设直线 方程为 ，因为 得到 ，代入直线方程得到
，所以直线 恒过定点 ；选项 D,根据条件设圆心为 ，半径为 ，因为外接圆与
抛物线 的准线 相切，所以有圆心到准线的距离等于半径 .
【详解】由题可知 ，设 ，
直线 过焦点 ，则设直线 方程为 ，
联立方程 得到 ，即
则
所以 ，所以 为钝角，选项 A 正确；
直线 的斜率为
因为 ，所以 即 得 或
者 ，所以 ，选项 B 错误；
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设直线 方程为 ，因为 ，所以 ，所以 ，代入
直线方程得到 ，所以直线 恒过定点 ，选项 C 正确； 的顶点为
，其外接圆的圆心在 的垂直平分线 上，设圆心为 ，半径
为 ，因为外接圆与抛物线 的准线 相切，所以有圆心到准线的距离等于半径
，选项 D 正确；
故选：ACD
11. 将数列 所有项排成如下数阵：
从第二行开始每一行比上一行多两项，且从左到右均构成以 2 为公比的等比数列，第一列数 ， ， ，
，…成等差数列，若 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 位于第 45 行第 89 列 D. 4048 在数阵中出现 1 次
【答案】AB
【解析】
【分析】先分析数阵的行列项数规律，利用第一列的等差数列求出首项；再计算前 9 项和验证选项 B；通
过项数范围确定 的位置；最后分解 4048 的形式判断其出现次数.
【详解】首先分析数阵结构：第 行有 项，
前 行项数和为 ，
故第 行第 1 列的项为 .
第一列 成等差数列，记为 ，其中 .
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选项 A，已知 ， ，等差数列公差 ，
故 ，A 正确.
选项 B，前 9 项对应前 3 行（项数和 ）：第 1 行： ；
第 2 行（等比数列，公比 2）： ，和为 ；
第 3 行（等比数列，公比 2，首项 ）：
，
和为 .
前 9 项和为 ，B 正确.
选项 C，前 44 行项数和为 ，第 45 行有 项，
对应项数 到 ，
故 位于第 45 行第 88 列，C 错误.
选项 D，当 时， ，
当 时，数阵中第 行第 列的项为 .
令 ：
当 时， ，得 ， ，符合条件；
当 时， ，得 ， ，符合条件.
故 4048 至少出现 2 次，D 错误.
故选：AB
三、填空题.本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知等比数列 的前 n 项和为 ，若 ， ，则 ______．
【答案】14
【解析】
【分析】由等比数列的性质得： ， ， 成等比数列，即 2，4， 成等比数列，由此能
求出 ．
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【详解】 等比数列 的前 n 项和为 ， ， ，
由等比数列的性质得： ， ， 成等比数列，
，4， 成等比数列，
，
解得 ．
故答案为 14．
【点睛】本题考查等比数列性质 应用，已知数列 为等比数列，则 ， ， 也成等比
数列．
13. 若直线 与曲线 相切，则 ________.
【答案】
【解析】
【分析】对 进行求导得 ，结合导数的几何意义和切点同时在直线和曲线上列方程，即可
求出答案.
【详解】由 得 ，
设直线 与曲线 相切于点 ，
则 ，解得 ，所以 .
故答案为： .
14. 双曲线 （ ， ）的右焦点为 ，若在圆 上存
在点 P，使得 的中点在 C 的渐近线上，则双曲线 C 的离心率的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】设圆 上的一点 ，得到中点坐标为 ，代入双曲线的渐近线方程，得到
，根据直线与圆存在公共点，结合 ，求得 ，进而求得离心率的取值范围.
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【详解】由双曲线 的右焦点为 ，则 ，
又由圆 的圆心为 ，半径为 ，
设圆 上的一点 ，可得 的中点坐标为 ，
因为双曲线 的渐近线方程为 ，可得 ，即 ，
又因为直线 与圆 存在公共点，
则圆心 到直线 的距离 ，
即 ，可得 ，
所以 ，解得 ，
所以双曲线的离心率的取值范围为 .
故答案为： .
四、解答题.本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图为正四棱锥 ，O 为底面 ABCD 的中心， ， .
（1）求点 B 到平面 PCD 的距离；
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（2）若 E 为 PB 的中点，求直线 DE 与平面 PBC 所成角的正弦值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面 PCD 的法向量，然后利用点面距的向量公式求解即可；
（2）先求出平面 PBC 的法向量，然后利用线面角的向量公式求解即可.
【小问 1 详解】
以 为坐标原点， 、 、 方向为 、 、 轴正方向建立空间直角坐标系.
由 ， ，得 ，
故 ， ， ， ， ，
， ，
设平面 PCD 的一个法向量为 ，则 ，
取 ，可得平面 PCD 的一个法向量为 ，又 ，
所以点 B 到平面 PCD 的距离为 ；
【小问 2 详解】
由 E 为 PB 的中点，得 .
， ， ，
设平面 PBC 的一个法向量为 ，则 ，
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取 ，可得平面 PBC 一个法向量为 .
设直线 DE 与平面 PBC 所成角为 ，则 ，
故直线 DE 与平面 PBC 所成角的正弦值为 .
16. 已知抛物线 （ ）过点 ，其焦点为 ，若 .
（1）求 的值以及抛物线 的方程；
（2）过点 斜率为 的直线交抛物线于 ， 两点，求 面积的取值范围.
【答案】（1） 的值为 ，抛物线 的方程为
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意结合抛物线的方程和定义列式求 ，即可得结果；
（2）设直线 ， ，联立方程可得韦达定理，进而可求 和 面积，
结合函数的单调性求值域即可.
【小问 1 详解】
由题意可知：抛物线的焦点为 ，准线为 ，
则 ，
且点 在抛物线 （ ）上，则 ，即 ，
联立方程 ，解得 ，即 ，
所以 的值为 ，抛物线 的方程为 .
【小问 2 详解】
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由（1）可知： ， ，抛物线 的方程为 ，
由题意可设：直线 ， ， ，且 ，
联立方程 ，消去 x 可得 ，
则 ，可得 ， ，
则 ，
又因为点 到直线 的距离 ，
则 面积 ，
构造函数 ，
显然 在 内单调递增，且 ， ，
可知 在 内的值域为 ，
所以 面积的取值范围为 .
17. 已知数列 满足 ， .
（1）证明：数列 为等差数列，并求数列 的通项公式；
（2）设 ，记数列 的前 项和为 .
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（i）求 ；
（ii）若 ， ，求 的取值范围.
【答案】（1）证明见解析， ；
（2）（i） ；（ii） .
【解析】
【分析】（1）对 左右同除 后，结合等差数列定义即可得证，再利用等差数列性质计算
即可得 的通项公式；
（ 2）（ i） 借 助 错 位 相 减 法 计 算 即 可 得 ；（ ii） 由 题 意 可 得 ， 构 造 数 列
，借助作商法可得数列 单调性，即可求出数列 的最大值，即可得解.
【小问 1 详解】
由 ，则 ，
即有 ，又 ，
故数列 为以 为首项， 为公差的等差数列，
则 ，故 ；
【小问 2 详解】
（i） ，
则 ，
，
则
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，
则 ；
（ii） ，即 ，
整理得 ，令 ，
令 ，解得 ，又 ，故 ，
则数列 在 时，单调递增，在 时，单调递减，
又 ，
故 的最大值为 ，故 .
18. 若一个数列 满足 是公比为 的等比数列，则称数列 是公比为 的二级等比数列.如数
列：1，3，7，15，31，63…，此数列是公比为 2 的二级等比数列.已知数列 中， ， .
（1）记 为数列 的前 项的和，且 .求数列 的通项公式，并判断数列 是否
为二级等比数列，请说明理由；
（2）若数列 是公比为 3 的二级等比数列，是否存在实数 ， ，使得 ？若
存在，求出 ， ；不存在，请说明理由.
【答案】（1） ，且数列 是公比为 二级等比数列.
（2）存在， .
【解析】
【分析】（1）根据题意，求得 ，得到 ，进而求得 ，化简得到
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，得到数列 为等比数列，求得其通项公式，得到 是公比为 二级等比数列.
（2）设 ，得到 ，根据题意，求得 ，得到 ，利用累加法，求得
，得到 ，由 ，得到 ，求得 ，得到
，进而得到答案.
【小问 1 详解】
解：由 为数列 的前 项的和，满足 ，且 ， ，
当 时，可得 ；
当 时，可得 ，
解得 ，所以 ，
当 时，由 ，可得 ，
两式相减，可得 ，即 ，
所以 ，又 ，
故 ，
又由 ，则 ，符合上式，
所以数列 是以 为首项，公比为 的等比数列，
所以 ，所以 ，
设 ，可得 ，即 ，
所以数列 是首项为 ，公比为 2 的等比数列，
即数列 是公比为 的二级等比数列.
【小问 2 详解】
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解：因为数列 是公比为 3 的二级等比数列，即 是公比为 3 的等比数列，
设 ，则 ，
因 ，可得 ，
则 ，解得 ，所以 ，
所以当 ，
，
所以当 时， ，又 ，也满足该式，
所以 ，故 ，
因为 ，即 ，
又因为 ，所以 ，
即 ，所以 ，代入可得 ，
即 ，即 ，
解不等式 ，可得 ，
因为函数 为增函数，
经计算， 满足该不等式，而 ， 均不满足，
故 ，
所以 ，此时 ，即存在 ，使得 成立.
19. 已知双曲线 （ ， ）的渐近线方程为 ，且过点 .按照如下方式依
次构造点 ：过 作斜率为 （ 为常数且 ）的直线与 的下支交于点 ，令 为 关
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于 轴的对称点，记 的坐标为 .
（1）若 ，求 的坐标 ；
（2）证明：数列 是等比数列，并求其公比（用 表示）；
（3）设 为 的面积，证明：对任意正整数 ， 为定值.
【答案】（1） ；
（2）证明见解析，公比为 ；
（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据渐近线方程和所过定点即可求出双曲线方程，再联立直线即可求出答案；
（2）写出直线方程，将其与双曲线方程联立得到 ，从而得到 ，再根据等比数列
的定义即可证明；
（3）转化为证明 ，利用点差法得 ，结合合比性质得 ，
同理得 ，再根据（2）中结论即可证明 .
【小问 1 详解】
∵渐近线为 ．又过点 ，
代入双曲线的方程得， ，即双曲线的方程为 ，
若 ，则过 对应的直线方程为 ，与双曲线联立得：
或 （舍去）．
代入直线方程求得该直线与双曲线得另一个交点 ．
【小问 2 详解】
过 斜率为 直线为： ，
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与双曲线 联立得： ，
因为 ，则 ，
由韦达定理得 ，
.
将 代入直线方程，并取相反数得
，
①，
②，
得 ，由条件可知首项为 ，
所以数列 是公比为 的等比数列．
【小问 3 详解】
要证明 为定值，只需证明 ．
与 求面积时，都看作以 为底，
则原问题转化为高相等，即需证明两点 到直线 的距离相等，
进而转化为证明 ，即只需证明 ，以下为其证明.
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将点 的坐标代入双曲线方程得到 两式作差并整理得：
，由合比的性质得， ③，
同理可得 ④，
由第（2）问的①②可知数列 是公比为 的等比数列；
数列 是公比为 的等比数列.
④式可化为 ⑤，
由③⑤两式得到： .
故 ，所以 为定值.
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