专题01 同底数幂的乘法与除法（知识点串讲）-2021讲（北师-2022学年七年级数学下册期末大版）

专题01 同底数幂的乘法与除法

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重难突破

知识点一 同底数幂的乘法

1、同底数幂的乘法

同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即（、都是正整数）．

推导过程：

一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，

注意：

①同底数幂的乘法公式运用的前提是底数必须相同；

②单独一个字母的指数是1，而不是0；

③公式中的底数可以取任何数或代数式，但指数必须是正整数．

2、同底数幂乘法法则的推广及逆用

①同底数幂的乘法运算法则可推广到三个或三个以上同底数幂相乘的情况，即

②逆用同底数幂的乘法法则可以将一个幂分解成两个同底数幂的乘积的形式，

即（、都是正整数）．

注意：

将幂转化成几个同底数幂的乘法，转化后指数的和应等于原指数．

典例1

（2021春•大邑县校级期中）计算　　

A． B． C． D．

【解答】解：原式，

故选：．

典例2

（2021•苏州模拟）若，则等于　　

A．4 B．8 C．16 D．32

【解答】解：，

．

故选：．

典例3

（2019春•郫都区期中）计算的结果是　　

A． B． C． D．

【解答】解：

．

故选：．

知识点二  同底数幂的除法  

1、同底数幂的除法

同底数幂相除，底数不变，指数相减，即（，，是正整数，）．

推导过程：

一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，

注意：

①底数a≠0，因为当a=0时，a的非零次幂都是0，而0不能作除数，所以a≠0；

②三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质；

③同底数幂的除法法则的逆用：．

2、零指数幂

一般地，规定（），即任何不等于0的数的0次幂等于1．

注意：任何一个非零的常数都可以看作是它与零指数幂的积，因此常数项可以看作是零次单项式．

3、负整数指数幂

一般地，规定（，是正整数），即任何不等于0的数的（是正整数）次幂，等于这个数的次幂的倒数．

4、用科学记数法表示绝对值较小的数

将小于1的数表示成的形式，其中，n是一个负整数．

典例1

（2021春•龙泉驿区期中）下列运算中，正确的是　　

A． B． C． D．

【解答】．不能合并，故错误，选项不符合题意；

．，故正确，选项符合题意；

．，故错误，选不项符合题意；

．，故错误，选项不符合题意；

故选：．

典例2

（2019春•南山区校级期中）用科学记数法表示：0.0000108是　　

A． B． C． D．

【解答】解：，

故选：．

典例3

（2021春•成都月考）已知，则　　．

【解答】解：，

，

，

，

即，

．

故答案为：．

典例4

（2021春•成都月考）我们知道，同底数幂的除法法则为（其中，，为正整数），类似地，我们规定关于任意正整数，的一种新运算：（其中，都为正数），请根据这种新运算填空：

（1）若（2），（3），则（1）　 　；

（2）若，（2），那么　　（用含的代数式表示，其中．

【解答】解：（1）（1）（3）（2），

故答案为：2；

（2）

，

故答案为：．

巩固训练

一、单选题（共6小题）

1．（2020秋•绿园区期末）计算的结果正确的是　　

A． B． C． D．5

【解答】解：．

故选：．

2．（2020•启东市三模）化简所得的结果是　　

A． B． C． D．

【解答】解：，

故选：．

3．纳米是一种长度单位，1米纳米，已知某种植物花粉的直径约为35000纳米，那么用科学记数法表示这种花粉的直径为　　

A．米 B．米 C．米 D．米

【解答】解：米纳米，某种植物花粉的直径约为35000纳米，

纳米．

故选：．

4．（2020秋•兴宁区校级期中）若，，则等于　　

A．2 B．6 C．8 D．16

【解答】解：，，

．

故选：．

5．（2021春•罗湖区期中）已知，则的值为　　

A．64 B．8 C．6 D．12

【解答】解：由得，

．

故选：．

6．（2019春•高新区校级期中）若，，，，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：，，，，

．

故选：．

二、填空题（共5小题）

7．（2019春•南山区校级期中）　　．

【解答】解：原式；

故答案为：．

8．（2020春•郫都区期末）计算：　　．

【解答】解：．

故答案为：．

9．（2021春•碑林区校级月考）若，，则　10　．

【解答】解：，，

．

故答案为：10．

10．（2020春•河口区期末）若，则的值为　5　．

【解答】解：根据同底数幂的乘法法则：

同底数幂相乘，底数不变，指数相加．

得

解得．

故答案为5．

11．（2020春•揭阳期中）若，则　3　．

【解答】解：由题意得：，

解得：，

故答案为：3．

三、解答题（共2小题）

12．计算：

（1）；

（2）

（3）；

（4）．

【解答】解：（1）；

（2）；

（3）；

（4）．

13．（2020秋•西城区校级期中）在学习平方根的过程中，同学们总结出：在中，已知底数和指数，求幂的运算是乘方运算；已知幂和指数，求底数的运算是开方运算．小茗提出一个问题：“如果已知底数和幂，求指数是否也对应着一种运算呢？”老师首先肯定了小茗善于思考，继而告诉大家这是同学们进入高中将继续学习的对数，感兴趣的同学可以课下自主探究．

小茗课后借助网络查到了对数的定义：

小茗根据对数的定义，尝试进行了下列探究：

（1），；

，；

，；

，　 　；

计算：　　；

（2）计算后小茗观察（1）中各个对数的真数和对数的值，发现一些对数之间有关系，例如：　　；（用对数表示结果）

（3）于是他猜想：　　且，，．

请你将小茗的探究过程补充完整，并再举一个例子验证（3）中他的猜想．

【解答】解：（1），

；

，

；

故答案为：4，5；

（2），

故答案为：；

（3），

验证：例如，

故答案为：．