吉林省长春外国语学校2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题（Word版附解析）

这是一份吉林省长春外国语学校2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题（Word版附解析），共10页。试卷主要包含了答题时请按要求用笔，已知函数，若，则的取值范围是，下列说法中正确的有，下列各式化简结果为的有等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页。考试结束后，将答题卡交回。
注意事项：1．答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．的值为
A． B． C．D．
2．已知集合，则
A．B．C．D．
3. 下列有关不等式的推断中，正确的是
A．若，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，则
4．已知，，，则a，b，c的大小关系是
A． B． C． D．
5．函数的定义域为
22 A． B．
222 C． D．
6．一个容器内装有细沙，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地漏出，经过后剩余的细沙量为(cm3)，已知经过后发现容器内还有一半的沙子，则当容器中的沙子只有开始时的十六分之一时，需再经过的时间为
A． B． C．D．
7．已知函数，若，则的取值范围是
1A． B． C．D．
8．已知，若函数有三个零点，则实数的取值范围是
1A． B． C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．下列说法中正确的有
A．命题：“”的否定是“”
B．若扇形的圆心角为，其面积为，则该扇形的弧长为
C．函数的值域为
D．函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是
10．下列各式化简结果为的有
A． B． C． D．
11．已知函数是定义域为的奇函数，，当时，，则
A．B．
C．当时，D．方程恰有10个解
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.
12．已知关于x的一元二次方程的两根为sinα，csα，则m的值为 ．
13．已知，，且，的最小值为 ．
14．给定函数，若在其定义域内存在使得，则称为
“函数”，为该函数的一个“点”．设函数，若是的一个“点”，则实数的值为 ．若为“函数”，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．(13分)已知集合，．
(1)若，求，；
(2)若是的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
16．（15分）已知在平面直角坐标系中，锐角α的终边与单位圆交于点，射线绕点按逆时针方向旋转角后交单位圆于点B，点B的纵坐标为．
(1)若，求的值；
(2)若，且，求的值．
17．（15分）函数是定义在上的奇函数．
(1)求的值；
(2)判断的单调性，并用单调性的定义进行证明；
(3)若对，都有成立，求实数的取值范围．
18．（17分）已知函数的最小正周期为．
(1)若是奇函数，求的值；
(2)设函数．
（i）求的单调增区间及对称轴方程；
（ii）求方程在区间上的实根．
19．（17分）已知双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数．
(1)①求式子的值；②求函数y=th(x)的值域；
(2)求函数在时的零点；
(3)求函数在x∈[0，ln2]上的最小值φ(m)，其中．
吉林省普通高中G8 教考联盟 2025-2026 学年上学期期末考试
高一年级 数学学科参考答案
一、单选：每小题 5 分，共 40 分.
6 ．【详解】依题意有ae—8b = a ，即 e—8b = ，两边取对数得 —8b = ln = —ln2, :b = , :y = ae— t ，
ln 2 ln 2
— t 1 — t 1
当容器中只有开始时的十六分之一，则有 ae 8 = 16 a, : e 8 = 16 ，两边取对数得
— t = ln = —4ln2, :t = 32 ，所以再经过的时间为32 — 8 = 24(min ) .故选 A
7 ．【详解】因为f (x ) = x5 + lg(x + ) ， x ∈ R ， f (—x ) = — f (x ) ，所以f (x ) 为奇函数，函数
f (x ) = x5 + lg(x + 、ix2 +1)在x ∈ R 上单调递增， 由f (3cs2θ) + f (7sinθ— 5)> 0 ，得 f (3cs2θ) > —f (7sinθ—5 )= f (—7 sin θ+5 ) ，所以3cs 2θ> —7 sinθ+ 5 ，
即 6sin2 θ— 7sinθ+ 2 < 0 ，解得 < sinθ< ，则cs2θ= 1— 2sin2 θ∈(|( ,),| .故选 D.
8 ．【详解】若g(x) = [f(x)]2 + (a — 2)f(x) — 2a = [f(x) — 2][f(x)+ a]有三个零点， 即g(x) = [f(x) — 2][f(x) + a] = 0 有三个根，即f(x) = 2 或f (x) = —a .
当f(x) = 2 时，由| ex —1| +1 = 2 ，即| ex —1|= 1 ，则ex —1 = 1 或ex — 1 = —1 ，即ex = 2 或ex = 0 ， 则x =ln2 或x 无解，此时方程只有一个解，则f (x) = —a ．有两个不同的根，
作出 f (x) 的图象如图： 由图象知，则1 < —a < 2 ，即 —2 < a < —1 ，即实数a 的取值范围是(—2, —1) ，故选 A .
二、多选：每小题 6 分，共计 18 分.
10 ．【详解】对于 A：
— i —1 = 2 —1+ — i = 1 + 1 = 2 |— | = — ，A 正确；对
( 2 ,
3cs2 75 s n2 75 cs2 75 (cs2 75 s n2 75) cs 50 cs 50 × ( )
1+ cs2 75
于 B ： EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 15(1),1)+— EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 15(tan),tan)EQ \* jc3 \* hps13 \\al(\s\up 15(275),275)。。= 1 — = EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 15(cs),cs)EQ \* jc3 \* hps13 \\al(\s\up 15(2 75),2 75) +— EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 15(sin),sin)EQ \* jc3 \* hps13 \\al(\s\up 15(2 75),2 75) = cs150 = — 2 ，B 错误；对于 C：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
C
B
D
B
A
D
C
题号
9
10
11
答案
ABD
ACD
AC
。 。 。 。 。 。 。
\l "bkmark1" cs34 — 2sin64 cs34 — 2cs 26 cs60 cs26 + sin 60 sin 26 — 2cs 26
\l "bkmark2" = = =
。 。 。
sin34 sin34 sin34

sin40。+ sin80。 sin 60 — 20 + sin 60 + 20
=
。
对于 D ： ( ) ( )
cs160 — cs 20
,3 . sin 26iEQ \* jc3 \* hps15 \\al(\s\up 6(—),n) cs26。= i3 . sin (EQ \* jc3 \* hps15 \\al(\s\up 4(26),sin)EQ \* jc3 \* hps15 \\al(\s\up 4(—),4)。60 ) = — ·i3 ，C 正确；
=— = — ，D 正确.故选 ACD.
11 ．【详解】 ∵ f (x —1) = f (3 — x) ， ∴ f (x) = f (2 — x) ， 又∵函数f (x)是定义域为R 的奇函数， ∴ f (—x) = —f (x) ， ∴ f (—x) = —f (2 — x) ，即f (x + 2) = —f (x) ，A 选项正确；
令x ∈[1,2] ，则2 — x ∈[0，1] ， f (x) = f (2 — x) = 22—x —1 ， ∴函数f (x)在区间[1,2] 上单调递减，
( 2 , 2 3
∵ lg3 5 —lg5 8 = — = ， lg3lg8 0, lg5> 0，
:lg3 5 > lg5 8 ， ∴ f (lg35)< f (lg5 8)，B 选项错误；
令x ∈[2,3] ，则x — 2 ∈[0，1]， f (x)= f (2 — x)= —f (x — 2)= 1— 2x—2 ，C 选项正确； 令x ∈[3,4] ，则x — 2 ∈[1, 2] ， f (x)= f (2 — x)= —f (x — 2)= 1— 24—x ，
这函数∣f (x)∣,lgx 的函数图像如下：
故方程∣f (x)∣— lgx =0 恰有 9 个解，D 选项错误.故选：AC.
三、填空题：每小题 5 分，共计 15 分.
12 . ℴ ; 13 ．5 ； 14 ．3 a ≥ 2 ·
14.【详解】因lg2 是g(x) 的一个“Ω 点” ，则—f (lg 2)= f (—lg 2) → —lg(a — 2)= 0 → a = 3 ； 由题可知f (x)为“Ω 函数” ，即函数在定义域内的图像中，存在中心对称的两点，即函数
y = lg(a —10x)(x > 0) 的图象，与函数y = —x — lg 2(x < 0)关于原点对称的函数y = —x +lg 2(x > 0) 的图象有 交点，即方程lg(a —10x)= —x + lg 2 有大于 0 的解.
lg(a —10x)= —x + lg 2 → lg|(( ),| = —x → = 10—x → a = +10x ≥ 2 · = 2 i2 ，当且仅当
2 1
= 10x ，即x = lg 2 时取等号，故答案为： a ≥ 2-2 .故答案为：3 ； a ≥ 2-2 .
10x 2
四、解答题.
15 ．【详解】（1）若a = 1 ，可得A = {x —1 ≤ x ≤ 4 }，又B = {x 3 < x < 5 }，
所以 A U B = {x —1 ≤ x < 5 }， (CR A) ∩B = {x 4 < x < 5 }. ……………………6 分
（2）若x ∈ A是x ∈ B 的必要不充分条件，则B 纟A ，
4 [ 4 )
所以 +1 ，解得
\l "bkmark3" 即 3 ≤ a ≤ 5 ，所以 a 的取值范围为{la 3 ≤ a ≤ 5J} ． 13 分
16 ．【详解】（1）因为锐角α 的终边与单位圆交于点 A| , m | ，所以m = ，所以tan α = ， ……2 分
\l "bkmark4" ( 3 ) 1 3
又 csα — ),| sin (π —θ) —sinα .sinθ
sin(|( +α,)| sin ( 2π —θ) —cs (π +α)cs ( —θ) = csα . (— sinθ) — (— csα) . csθ
—sinα .sinθ — tanα tanθ
—csα .sinθ+ csα . csθ — tanθ+1 ，
= = ……………………6 分
将tan α = ，tanθ= — 代入可得原式等于； ……………………8 分
（2） 由三角函数定义得f (θ) = sin (α+θ) ，因为f (θ) = tanα , 且tan α = ，又α 为锐角，故α = ，所
以sin (α+θ)= ，即sin(|( +θ),| = ， ……………………10 分
( 3 , L 2 ( 6 ,」 ( 6 , ( 3 3 , 6 ( 2 6 ,
因为sin(| π —θ)| = sin|「π — |(π +θ)|7| = cs(|π +θ)，又θ∈ (| π , 5π)| ，所以 π +θ∈ |( π , 11π )|，
所以cs (|( + θ,)| = — ·i1 — ((|,)|2 = — .故sin|((θ— ),| = ． ……………………15 分
17 ．【详解】（1） 由题意，得f (0) = a (|(1 — ),| = 0 ，结合a > 0 且不等于 1 ，解得a = 2 ，
当a = 2 时， f (x ) = 2 — ，则f (—x ) = 2 — = 2 — = = = —2 + ，
所以函数 f (x )为奇函数，合题意，故a = 2 . ……………………2 分
（2）函数f (x )为R 上的增函数.
证明如下：任取x1 , x2 ∈R ，且x1 < x2 ，则f
:x1 < x2 ， :2x1 < 2x2 ，即2x1 — 2x2 < 0 ， 2x1 +1 > 0 ， 2x2 +1 > 0 ，
所以f (x1 )— f (x2 ) < 0 ，即f (x1 ) < f (x2 ) ，所以函数f (x)为R 上的增函数； ……………………7 分
（3） 由（2）得f (x ) 在 , 2 上单调递增， :f (x) ≥ f (|( ),| = 6 —4 >0，
丫 ，都有 ≥ 2x+1 — 4 成立，即λ≥ +1 ， ……10 分
令t = 2x —1 ∈ ·i2 —1, 3 ，易知y = t — +1 在 —1, 37」上单调递增， ……………………12 分
所以t — +1 ≤ 3 — +1 = ， :λ≥ , 所以实数λ的取值范围为 ……………………15 分
18 ．【详解】（1） :f (x) 的最小正周期为 π , 即 = π , :w = 2 .
: f (x +φ) = cs (2x + 2φ) 是奇函数， :2φ = kπ + ∈Z), :φ = + ∈Z)，
, :φ = ……………………4 分
（2）（i） 由题意知g (x ) = cs2 (|(x + ),| — cs2 (|(x + ),| = cs(|(2x ),| +1 — cs|((2x ),| +1
= ((| cs2x — sin2x + sin2x),| = cs2x +sin2x,)| = cs|((2x — ,)| . ……………………8 分
函数的单调增区间为[kπ — , kπ + ], k ∈ Z ，对称轴方程为x = + , k ∈ Z . ……………………12 分
( 6 , ( 6 , ， ( 6 , 3 , ， 6 ( 2 , 2 ,, ( 6 , .
（ii）方程可化为、i2cs|(2x — π )| + tan(|2x — π )| = 0 当x ∈ (| — π π )| 时 2x — π ∈ (| — π π )| cs (|2x — π)| ≠ 0
( 6 , ( 6 , ( 6 , ( 6 ,
: ·i2cs2 (|2x — π )| + sin(|2x — π )| = 0， : ·i2sin2 |(2x — π )| —sin(|2x — π )| —2 = 0，
: EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 8(「),L)s2sin |((2x — ),| +17」|「Lsin |((2x — ),| — s27」| = 0 ， :sin 2x — ),| = — ，
6 ( 2 2 , 6 4 24
又2x — π ∈ (| — π , π )|, :2x — π = — π, :x = — π 17 分
19 ．【详解】（1）① csh 2x —2 sinh 2 x = — 2× ),|2 = — = 1 . ………1 分
ex — e —x e ex —e —x e 2x — 1 e 2x +1 — 2 2
②th (x ) = ex + e —x = eEQ \* jc3 \* hps13 \\al(\s\up 16(x),x) ((ex + e —x )) = e 2x +1 = e 2x +1 = 1 — e 2x +1 ，因为e2x > 0 ，则e2x + 1 > 1 ，故
0 < < 1 ，故th(x ) = 1 — ∈ (—1, 1) ，即函数th(x) 的值域为(—1, 1) . ………………4 分
（2）h (x ) = e2x + e —2x — — = (ex — e—x )2— — ， ……………………5 分
由h (x) = 0 得2(ex —e—x)2 — (ex —e—x)—3 = 0 即(2 (ex — e— x)— 3)((ex — e— x)+1) = 0 ，
故ex — e —x = 或ex — e—x = —1 ，设g(x) = ex — e—x = ex — ，则g (x ) 为增函数，
当x > 0 时，g (x) > g(0) = 0 ，故ex — e —x = ，化简得2e2x — 3ex — 2 = 0即(2ex +1)(ex — 2) = 0 ，故ex = 2 ，得
x = ln 2 ，即函数的零点为 ln2； ……………………8 分
（3）因为sinh x = 在[0, ln 2] 上单调递增，且sinh(0) = 0 ， sinh (ln 2) = .
所以当x ∈[0, ln 2] 时， sinh x ∈ 0, .又 ……………………9 分
f (x ) = = = =
= 2 (sinh x —1) + = 2 (sinh x +1) + — 4 .
设t = sinh x +1 ，则t ∈ 1, ，设g (t ) = 2t + — 4 ， t ∈ 1, . ……………………11 分
因为m > 0 ，所以g = 2t + 上单调递减，在 上单调递增.
①当 ≤ 1即0 < m ≤ 2 时， g 在 上单调递增，所以φ(m) = g (1) = 2 + m — 4 = m — 2 ； ……13 分
②当1 < < 即2 < m < 时， g (t ) 在L「 1, ·」7| 上单调递减，在 上单调递增，所以
2m —4 ； ……………………15 分
③当 · ≥ 即m ≥ 时， g (t ) 在 1, 上单调递减，所以
[
综上可得 ………………17 分