精品解析：江西省智慧上进期末联考2024-2025学年高一上学期1月期末数学试题（解析版）

这是一份精品解析：江西省智慧上进期末联考2024-2025学年高一上学期1月期末数学试题（解析版），共16页。试卷主要包含了考查范围，考生必须保持答题卡的整洁等内容，欢迎下载使用。
试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．考查范围：必修第一册．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上．
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用集合的交集运算即可求解.
【详解】因为，，所以．
故选：D．
2. 命题“”的否定是（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】全称量词命题的否定是存在量词命题．
【详解】全称量词命题的否定是存在量词命题．
命题“”否定是.
故选:C
3. 为了了解某县中小学生课外阅读时间情况，拟从该县的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该县小学、初中、高中三个学段学生的课外阅读时间存在较大差异，而男、女生的阅读时间差异不大，则最合理的抽样方法是（ ）
A. 按性别分层随机抽样B. 按学段分层随机抽样
C. 抽签法D. 随机数表法
【答案】B
【解析】
【分析】由分层抽样的概念即可判断；
【详解】因为男、女生的阅读时间差异不大，而小学、初中、高中三个学段学生的课外阅读时间存在较大差异，故应按照学段分层随机抽样．
故选：B．
4. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】判断函数的奇偶性结合特殊的函数值可判断得解.
【详解】易知是偶函数，排除，
又且，排除C.
故选：D.
5. 节气是指二十四个时节和气候，是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，是中华民族劳动人民长期经验积累的成果和智慧的结晶．若从立春、雨水、惊蛰、春分这四个节气中随机选择两个节气，则其中一个节气是立春的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】若从立春、雨水、惊蛰、春分这四个节气中随机选择两个节气，共种情况，其中一个节气是立春，有种情况，用古典概型概率计算公式即可.
【详解】记立春、雨水、惊蛰、春分这四个节气分别为、、、，则样本空间，记事件表示“其中一个节气是立春”，则，由古典概型可知．
故选：C．
6. 函数的零点所在的区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数零点存在性定理进行判断.
【详解】因为幂函数和函数在上单调递增，所以在上单调递增.
因为幂函数在上单调递增，所以，
因为指数函数在上单调递减，所以，.
由零点存在定理知零点所在区间为.
故选：B
7. 已知幂函数的图象过点，函数，则“”的一个充分不必要条件为（ ）
A. B.
C D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据幂函数过，求出，得到解析式，并根据条件得到在上单调递减，从而得到不等式，求出的取值范围是，从而得到答案.
【详解】设幂函数，因为其图象过点，所以，解得，
所以，所以，
又满足，所以在上单调递减，
所以，
所以的取值范围是，
因为为的真子集，故为一个充分不必要条件，
其他选项不合要求，
故选：C.
8. 已知四个不同的实数，，，，其中，，的方差为，，，的方差为，若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用方差的定义，带字母进行运算，再利用相等关系进行变形化简即可得结果.
【详解】
，
同理，
由题意得，
即，整理可得，
因为，所以．
故选:B．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 2024年10月30日中国神舟十九号载人飞船成功发射，为了弘扬航天人顽强拼搏的精神，某校航天课外小组举行一次航天知识竞赛，随机抽取获得6名同学的分数（满分30分）：20，22，24，24，26，28，则这组数据的（ ）
A. 极差为8B. 平均数为24
C. 80%分位数为25D. 众数为24
【答案】ABD
【解析】
【分析】分别通过极差、平均数、百分位数、众数概念逐个判断即可；
【详解】极差为，故A正确；
平均数为，故B正确；
，则80%分位数是第5个数据26，故C错误；
众数为24，故D正确．
故选：ABD．
10. 抛掷两枚大小相同质地均匀的骰子，设事件表示“第一枚掷出的点数为奇数”，事件表示“第二枚掷出的点数为偶数”，事件表示“两枚骰子掷出的点数之和为6”，事件表示“第二枚掷出的点数比第一枚大5”，则（ ）
A. 与是互斥事件B. 与是相互独立事件
C. D. 与是对立事件
【答案】BC
【解析】
【分析】根据互斥事件判断A，应用概率的乘法公式计算判断B，应用互斥事件结合概率性质计算判断C，根据对立事件定义判断D.
【详解】事件与事件能同时发生，故事件A，B不是互斥事件，故A错误；
因为，，，所以，故与互不影响，故B正确；
事件，事件，
不可能同时发生，故事件与互斥，故，故C正确；
表示“第一枚出现奇数点，第二枚出现偶数点”，
，，
事件与事件不是对立事件，故D错误．
故选:BC．
11. 已知是定义在上的偶函数，且当时，，则（ ）
A. 当时，
B. 的单调递增区间为、
C. 若，，则的取值范围是
D. 方程的所有实数根之积为
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用偶函数的基本性质求出函数在上的解析式，可判断A选项；数形结合可判断B选项；数形结合得出函数在上的最大值，可判断C选项；求出方程所有的根，可判断D选项.
【详解】对于A选项，当时，，则，
又由为偶函数可得，故A正确；
对于B选项，由题意，函数的图象如图所示，的递增区间有3个，故B错误；
对于C选项，因为，，
所以只需对于任意，，由图知，即，故C正确；
令，则，解得，即，
若，即，解得或；
若，即，解得，
所以方程所有实数根之积为，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 某校60名同学数学竞赛的成绩（满分：100分）均在之间，进行适当分组后（每组为左闭右开区间），画出频率分布直方图如图所示，若从这60名参赛者中随机选取1人，试估计其成绩在的概率为_____．

【答案】0.05
【解析】
【分析】由频率分布直方图的性质面积和为1，即可求解；
【详解】由图可知，，解得，
成绩在的频率为，以频率为概率估计概率为0.05．
故答案为：0.05
13. 已知正数满足，则的最小值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】结合1的活用应用常值代换，再应用基本不等式计算求解即可.
【详解】因为，所以，
当且仅当即时，取得最小值.
故答案为：.
14. 函数的图象的对称中心坐标为__________.
【答案】
【解析】
【分析】法一，根据函数对称性的定义列式运算得解；法二，求出函数的定义域，且，根据对称性可得对称中心横坐标为，代回求出对称中心的纵坐标，得解.
【详解】解法一：设图象的对称中心坐标为，则，
所以，
整理可得，
此式对定义域内的任意值都成立，则必有，所以，
回代可得，解得，故对称中心坐标为.
解法二：易知函数的定义域为，且，
故图象的对称中心横坐标为，
将其代入中，可得，
所以图象的对称中心坐标为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知集合.
（1）当时，求；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）解不等式，求集合A、B，运用集合交集及补集定义运算求解；
（2）根据交集关系得出，列出对应的不等式，求解即可．
【小问1详解】
当时，，
又集合，
所以，
所以解或.
【小问2详解】
因为，所以.
又，
故解得.
所以实数的取值范围是.
16. 某班级举办趣味运动会，其中个人比赛分为限时滚铁环和定点投篮两个项目，每个项目只有“过关”与“不过关”两种结果，每项过关积1分，不过关积0分．甲和乙两位同学参加个人比赛，在限时滚铁环和定点投篮两个项目中，假设甲过关的概率分别为，，乙过关的概率分别为，，且甲、乙所有项目是否过关相互之间没有影响．
（1）求甲积2分的概率；
（2）求甲、乙两人的积分之和不超过3分的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先表示出每个事件，再利用独立事件的概率公式求解即可.
（2）设出各个事件的概率，再结合独立事件和对立事件的概率公式求解即可.
【小问1详解】
记事件“甲限时滚铁环过关”，
事件“甲定点投篮过关”，事件“甲积2分”，
易知与相互独立，则，
由独立事件概率公式得．
【小问2详解】
设事件“乙限时滚铁环过关”，
事件“乙定点投篮过关”，事件“乙积2分”，
易知与相互独立，则，
由独立事件概率公式得．
又与相互独立，
所以两人的积分之和为4分的概率，
所以两人的积分之和不超过3分的概率为．
17. 某大学校园选择了一个八边形区域设计一个校园景观，如图所示，图中四个三角形为全等的等腰直角三角形，主干路总面积（图中阴影部分和中间白色正方形面积之和）为，在重合的部分处建一正方形特色凉亭，凉亭造价为600元；在四个空角（图中四个三角形）建造水池和喷泉，造价为1600元；四个矩形路（图中阴影部分）不处理，造价忽略不计.设长为（单位：），长为（单位：）.
（1）求关于的函数关系式；
（2）设校园景观总造价为（单位：元），求的最小值.
【答案】（1）
（2）40000元
【解析】
【分析】（1）利用面积建立的关系，解得，并求得的范围即可得；
（2）用表示出，变形后由基本不等式得最小值．
【小问1详解】
由题意可知，即，
又，得，解得，
所以关于函数关系式为.
【小问2详解】
由题意可得，凉亭总造价为元，
水池和喷泉总造价为元，
所以校园景观总造价
.
当且仅当，即时等号成立，经检验，
所以当时，取最小值40000元.
18. 已知定义域为的函数满足，，且当时，．
（1）求的值；
（2）用单调性定义证明：在定义域上是增函数；
（3）若，求不等式的解集．
【答案】（1）0 （2）证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）令，即可求解；
（2）由，且，得到，再由当时，，即可求证；
（3）由，得到，再结合性质可得，结合定义域和单调性求解即可；
【小问1详解】
解：因为，，
所以令，可得，得．
【小问2详解】
证明：，且，则，
显然，，所以，又，所以，
因为当时，，所以，即，
所以在定义域上是增函数．
【小问3详解】
解：因为函数的定义域为，所以解得．
由，得等价于，
而，所以，所以，解得，或（舍去），故，
故不等式的解集为．
19. 定义一种新运算“”，.
（1）计算，并判断与的大小关系；
（2）若函数有最小值，且最小值大于0，求所有满足题意的整数的值；
（3）已知关于的不等式的解集为中的整数恰有4个，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据新定义以及对数运算计算可得；
（2）先求得的解析式，结合二次函数的值域，进而列不等式求得参数；
（3）先化简得出，再根据及计算求解即可.
【小问1详解】
因为.
所以.
，
，
所以.
【小问2详解】
，
令，则问题转化为二次函数在区间上有最小值，且最小值大于0，
因为二次函数过定点，
故只需
解得，而是整数，所以.
【小问3详解】
由题意，不等式，
即，即，
即，
要想满足题意，则必有，则，或.①
令，则，
所以的一个零点在内，
因为解集中的整数恰有4个，
所以4个整数解是，
故的另一个零点在区间内.
所以即②
由①②解得，或.
所以实数的取值范围是或.