2025-2026学年浙江省温州市名校九年级上学期1月月考数学试卷（解析版）

这是一份2025-2026学年浙江省温州市名校九年级上学期1月月考数学试卷（解析版），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1.已知的半径为3，点在外，则的长可以是（ ）
A.1B.2
C.3D.4
【答案】D
【解析】∵的半径为3，点P在外，
∴，
∴的长可能是4．
故选：D．
2.若＝，则值是（ ）
A.B.
C.D.
【答案】A
【解析】设，
则有，，
∴．
故选：A．
3.抛物线与y轴的交点坐标为( )
A.B.
C.D.
【答案】B
【解析】当x=0时，y=-3，
所以抛物线与y轴的交点坐标为：（0，-3）．
故选：B．
4.在一口锅里有外表一样的汤圆，其中7个是花生馅的，5个是黑芝麻馅的，8个是豆沙馅的，小文随意捞起一个，捞到可能性最大的汤圆是（ ）
A.花生馅汤圆B.黑芝麻馅汤圆
C.豆沙馅汤圆D.无法确定
【答案】C
【解析】∵共有20个汤圆，其中豆沙馅的最多，
∴捞到可能性最大的汤圆是豆沙馅汤圆，
故选：C
5.如图剪纸图案是一个中心对称图形，将其绕中心旋转一定角度后，依然与原图形重合，这个角度可以是（ ）
A.B.
C.D.
【答案】B
【解析】观察图形可知，该图形被平均分成了6份，
∴图形的旋转角度可以为，
即该图形绕中心旋转后，依然与原图形重合．
故选：B ．
6.如图，与位似，点为位似中心，若，，则的长为（ ）
A.15B.20
C.10D.5
【答案】C
【解析】∵，
∴．
∵与位似，点O为位似中心，
∴且，
∴，，
∴
即，
∵，
∴．
故选：C．
7.如图，的半径为6，直角三角板角的顶点落在上，两边与分别交于两点，则弦的长为（ ）
A.3B.
C.D.6
【答案】D
【解析】连接，
，
是等边三角形，
．
故：D．
8.如图，点G是的重心，交BC于点E．如果，那么的长为（ ）
A.B.4
C.6D.8
【答案】B
【解析】连接并延长交于D，
∵点G是的重心，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
9.已知二次函数y＝ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量且a≠0），当x≥2时，y随x的增大而减小，且﹣2≤x≤1时，y的最小值为9，则a的值为（ ）
A.1或﹣2B.﹣2
C.或D.
【答案】B
【解析】∵二次函数y=ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），
∴对称轴是直线
∵当x≥2时，y随x的增大而减小，
∴a＜0，
∵-2≤x≤1时，y的最小值为9，
∴x=1时，y=a+2a+3a2+3=9，
∴3a2+3a-6=0，
∴a2+a-2=0，
∴a=1或a=-2
∵a＜0，
∴a=-2
故选：B．
10.如图，在中，，，，为上任一点，为中点，连接，在上，且满足，连接，则的最小值为（ ）
A.B.
C.D.
【答案】B
【解析】如图所示，取的中点，连接，
∵为的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
当、、三点共线时，的值最小，
∴．
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11.抛物线的对称轴是直线______．
【答案】
【解析】对于抛物线，，，
对称轴为直线．
故答案为：．
12.在中，如果的圆心角所对的弧长是，那么的半径是______．
【答案】
【解析】根据题意得，解得．
故答案为：．
13.已知一个正多边形的外角是，则这个多边形的边数是______．
【答案】
【解析】多边形的外角和为，正多边形的每个外角相等，且已知一个外角为，
边数．
故答案为：．
14.如图，在半径为的中，是直径，是弦，交于点，与交于点．若是的中点，则的长是______．
【答案】
【解析】是的直径，的半径为，
，，
交于点，
，，
是的中位线，
，
是的中点，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
．
故答案为： ．
15.图1是一张带智能发球机的乒乓球桌，它可以自定义设置球的落点、速度、弧度及旋转方式．图2中，发球机从中线的端点的正上方处的点发球，乒乓球呈抛物线在正上方飞行，当飞行的水平距离为时，达到最高点，其高度为，以为原点，所在的直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系．记图2中球的落点为点，则的长为______m．
【答案】2.5
【解析】根据题意，，顶点坐标，
∴设二次函数解析式为，把点代入得，，
解得，，
∴二次函数解析式为，
当时，，
解得，（不符合题意，舍去），，
∴，
故答案为：．
16.如图，是直径，点C在上，连接．以为边作菱形，交于点F，，垂足为G．连接，交于点H，连接．若,，则的长度为 __ ，的长度为 __ ．
【答案】 ①.3 ②.
【解析】∵，，
∴，即，
∴，
∵四边形ACDE是菱形，
∵，
∴，，
∴，
如图，连接，，
∵是的直径，
∴，，
∴,即，解得：，
∴,即，
解得：，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，如图，过作于，
∴，，
∴，，
∴，
∴,，
∴
∴．
故答案为：3，．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.某校开展“共享阅读·向上人生”的读书活动，为了解学生对四类书籍（A体育类，B科技类，C文学类，D艺术类）的喜爱情况，在全校范围内随机抽取若干名学生进行了问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能在这四类书籍中选择一类），并将数据进行统计和整理，绘制了两幅不完整的统计图，根据图中信息，请回答下列问题：
（1）本次抽取调查的学生共有__________人，估计该校2000名学生喜爱“B科技类”书籍的人数约为__________人．
（2）请将条形统计图补充完整．
（3）在活动中，甲、乙、丙三名学生表现优秀，决定从这三名学生中随机选取两名学生参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中甲和乙的概率．
解：（1）本次抽取调查的学生共有（人），
该校2000名学生喜爱“B科技类”书籍的人数约为：（人），
故答案为：200，800；
（2）C文学类的人数为：（人），
则补全条形统计图为：
（3）画树状图如下：
共有6种等可能结果，其中恰好选中甲和乙的结果有2种.
（恰好选中甲和乙）．
18.如图，D，E分别是，上的点，，相似比是．
（1）若，求的长．
（2）若，求的度数．
解：（1）∵，相似比是，，
∴，即，
解得，
故为；
（2）∵，
∴，
∵，
∴．
19.如图，在的正方形网格中，的顶点A，B，C均在格点上．请按要求完成作图：①仅用无刻度直尺；②保留作图痕迹并标注相关字母．
（1）如图1，在线段上找一点，使得；
（2）如图2，在三角形内寻找格点，使得．
解：（1）如图，D为所求；
（2）如图，E为所求．
20.如图，为的直径，点在上，延长到，连接并延长，与交于点，连接，，恰好使得．
（1）求证：；
（2）若，的长为，求图中阴影部分的面积．
解：（1）证明：，，
，
，
为等腰三角形，
为的直径，
，即，
；
（2）如图所示，连接，过点作于点，
，
，
设，
的长为，
，解得，
即，
，，
，
，
，
．
21.如图，点、分别在正方形中的、上，且，过点的直线分别交、的延长线于点、，且．
（1）求证：．
（2）当时，求的值．
解：（1）证明：四边形是正方形，
，
，
，
，
，
；
（2），
设，，
，
，
，
，
，
，
．
22.问题背景：
综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图所示．
外形参数：
如图1，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线，中间的矩形和下方的抛物线组成．抛物线的高度为，矩形的边，，抛物线的高度为．在装置内部安装矩形电子显示屏，点，在抛物线上，点，在抛物线上．
问题解决：
如图2，该小组以矩形的顶点为原点，以边所在的直线为轴，以边所在的直线为轴．建立平面直角坐标系．请结合外形参数，完成以下任务：
（1）直接写出，，三点的坐标；
（2）直接写出抛物线和的顶点坐标，并分别求出抛物线和的函数表达式；
（3）为满足矩形电子显示屏的空间要求，需要边的长为，求此时边的长．
解：（1）∵矩形的边，，
∴，，，，
∴，，；
（2）∵装置整体图案为轴对称图形，
如图，作出对称轴，分别交抛物线于，交抛物线于，交矩形于，，
结合矩形和抛物线的对称性，可得直线是抛物线和的对称轴，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵抛物线高度为，抛物线的高度为，直线是抛物线和的对称轴，
∴，，
∴抛物线和的顶点坐标分别为，，
分别设抛物线和的表达式为，，
将代入，
解得，
则抛物线的表达式为；
将代入，
解得；
则抛物线的表达式为；
（3）∵装置整体图案为轴对称图形，
∴，，
∵轴，
∴轴，
∵是矩形，
∴，
∴轴，
∴，
设，
∴，，
∴，
解得：或（在对称轴右侧，舍），
∴，
由抛物线对称性可得．
23.如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴的交点为．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若抛物线上有一点，将线段沿着轴向上平移，使平移后的线段与该抛物线恒有公共点，设点的纵坐标为，求的取值范围；
（3）当时，二次函数的最大值是，最小值是，求的取值范围．
解：（1）设二次函数的表达式为：，
把代入得，，解得，
二次函数的表达式为：；
（2）把代入得：，
，
设直线的解析式为，
将点、代入得：
，解得，
直线的解析式为，
点的纵坐标为，且将线段沿着轴向上平移个单位后得到线段，
使平移后的直线解析式为，，
令，整理得，
平移后的线段与该抛物线恒有公共点，
，解得，
的取值范围是；
（3），
顶点坐标为，抛物线开口向下，对称轴为直线，
当时，，
在范围内．
当时，，当时，．
当时，，当时，．
当时，，当或时，．
．
24.如图，四边形ABCD内接于，AD，BC的延长线相交于点E，AC，BD相交于点F．G是AB上一点，GD交AC于点H，且．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，求的周长．
解：（1）证明：，
．
，
，
．
，
．
（2）证明：，
．
，
，
又，
，
，
．
由（1）知，，
又，
，．
，
．
∵，，，
，．
（3）由（2）知，，
的周长为．
设，则．
由（2）可知，．
又，，
，
，．
又，
，．
过点C作，垂足为P，则．
四边形是圆内接四边形，
，
又，，
．
在中，，即．
，
，，
．
在中，，
，
解得，或（舍去）．
．的周长为．