北师大版（2024）八年级下册（2024）3 公式法练习题

这是一份北师大版（2024）八年级下册（2024）3 公式法练习题，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.分解因式a3−9a的结果是( )
A. aa−3a+3B. aa2+9C. a−3a+3D. a2a−9
2.若k为任意整数，则(2k+3)2−4k2的值总能( )
A. 被2整除B. 被3整除C. 被5整除D. 被7整除
3.对于任意整数a，多项式2a+12−9都能( )
A. 被a2−1整除B. 被a整除
C. 被4a−4整除D. 被a2−2a+1整除
4.如果a+b=3，ab=1，那么a3b+2a2b2+ab3的值为( )
A. 0B. 1C. 4D. 9
5.已知实数a，b满足4a2+ 7b=n，b2+2 7a=n，b≠2a.其中n为自然数，则n的最小值是( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
6.已知m，n均为正整数且满足mn−3m−2n−24=0，则m+n的最大值是( )．
A. 16B. 22C. 34D. 36
7.已知x2+x=1，那么x4+2x3−x2−2x+2020的值为( )
A. 2019B. 2020C. 2021D. 2022
二、填空题：
8.因式分解：4x2−1=_______．
9.若整式x³−ax−1有一项因式为x +1，那么a 的值为 ．
10.若x2+x−2=0，则x3+2x2−x+2024的值是________．
11.分解因式：3a2−6a+3= ．
12.若a+b+c=5，ab+bc+ca=4，则a2+b2+c2= ．
13.如图，长、宽分别为a，b的长方形的周长为14，面积为10，则a3b+ab3+2a2b2的值为 ．
14.现有若干张边长为a的正方形A型纸片，边长为b的正方形B型纸片，长、宽为a、b的长方形C型纸片，丽丽同学选取了5张A型纸片，10张B型纸片，27张C型纸片拼成了一个长方形，则此长方形的周长为______(用含a、b的代数式表示)
15.新定义：对于任意数x，都有g(x)=mx2+nx.例如，g(t)表示：当x=t时，整式mx2+nx的值，即g(t)=mt2+nt.已知g(1)=10，g(2)=22，那么把g(a2−6a)得到的结果因式分解得g(a2−6a)=__________________.
三、解答题：
16. 因式分解：
(1)2a2−4a+2；
(2)(m−1)+n2(1−m)．
17. 先阅读，再解决问题：
将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式分解的方法叫分组分解法．
例如：am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b)．
(1)分解因式：ab−2a−2b+4；
(2)若m2+2mn+2n2−6n+9=0，求m和n的值．
18. 对于任意自然数n，(n+7)2−(n−5)2能否被24整除，为什么？
19. 阅读材料并解决问题：分解因式x2−4y2−2x+4y时，细心观察这个式子就会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了，过程为：x2−4y2−2x+4y=(x+2y)(x−2y)−2(x−2y)=(x−2y)(x+2y−2)，这种分解因式的方法叫做分组分解法．
利用这种方法解决问题：
(1)分解因式：x2−4x+4−y2;
(2)已知△ABC的三边长a，b，c满足ac+a2−ab−bc=0，试判断△ABC的形状．
20.【新定义】如果a，b都是非零整数，且a=4b，那么就称a是“4倍数”．
【验证】嘉嘉说：1002−962是“4倍数”，淇淇说：12×11+9×11−19×11也是“4倍数”，通过简便计算判断他们说得对错?
【证明】设三个连续偶数的中间数是2n(n是整数)，通过计算说明这三个连续偶数的平方和是“4倍数”．
21.(本小题8分)
观察下列等式：
第1个等式：11+1−11+1=(11+1)2−(11+1)2;
第2个等式：22+1−12+1=(22+1)2−(12+1)2;
第3个等式：33+1−13+1=(33+1)2−(13+1)2;
第4个等式：44+1−14+1=(44+1)2−(14+1)2;
……
根据以上规律，解决下列问题．
(1)直接写出第5个等式： ;
(2)写出你猜想的第n个等式： (用含n的等式表示)，并证明．
答案和解析
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】D
【解析】解：∵a+b=3，ab=1，
∴原式=a3b+2a2b2+ab3
=ab(a2+2ab+b2)
=ab(a+b)2
=1×32
=9，
故选：D．
先利用提公因式法和公式法将原式变形为ab(a+b)2，再将a+b=3，ab=1整体代入计算即可．
本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查因式分解的运用，由原式知，(4a2+ 7b)−(b2+2 7a)=0，进一步变形得(2a−b)(2a+b− 7)=0，得出b= 7−2a;代入b2+2 7a=n得，( 7−2a)2+2 7a=n，配方法求解即可．
【解答】
解：由原式知，(4a2+ 7b)−(b2+2 7a)=0，
∴(4a2−b2)−(2 7a− 7b)=0，
(2a+b)(2a−b)− 7(2a−b)=0，
∴(2a−b)(2a+b− 7)=0，
∵b≠2a，
∴2a+b− 7=0，
∴b= 7−2a，
代入b2+2 7a=n得，( 7−2a)2+2 7a=n，
整理，得n=4a2−2 7a+7=(2a− 72)2+514⩾514，
∴自然数n的最小值为6．
故选C．
6.【答案】D
【解析】由mn−3m−2n−24=0，得mn−3m−2n+6−30=0，m(n−3)−2(n−3)=30，(m−2)·(n−3)=30．
∵m，n均为正整数，∴m−2=1,n−3=30或m−2=2,n−3=15或m−2=3,n−3=10或m−2=5,n−3=6或m−2=30,n−3=1或m−2=15,n−3=2或m−2=10,n−3=3或m−2=6,n−3=5,
解得m=3,n=33或m=4,n=18或m=5,n=13或m=7,n=9或m=32,n=4或m=17,n=5或m=12,n=6或m=8,n=8,
∴m+n的值为36或22或18或16，
∴m+n的最大值是36.故选D．
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是掌握因式分解的方法．
利用因式分解法将原式进行分解，再整体代入即可求解．
【解答】
解：∵x2+x=1，
∴x4+2x3−x2−2x+2020
=x4+x3+x3−x2−2x+2020
=x2(x2+x)+x3−x2−2x+2020
=x2+x3−x2−2x+2020
=x(x2+x)−x2−2x+2020
=x−x2−2x+2020
=−x2−x+2020
=−(x2+x)+2020
=−1+2020
=2019．
故选：A．
8.【答案】【答案】(2x+1)(2x−1)
【解析】【分析】将4x2看作2x2，应用平方差公式，即可求解，
本题考查了公式法因式分解，解题的关键是：熟练掌握平方差公式．
【详解】解：4x2−1
=2x2−12
=(2x+1)(2x−1)．
9.【答案】2
【解析】【分析】
本题考查了因式分解的应用，根据整式x3−ax−1有一项因式为x+1，可得当x=−1时，x3−ax−1=0，代入求解即可．
【解答】
解：∵整式x3−ax−1有一项因式为x+1，
∴当x=−1时，x3−ax−1=0，
即(−1)3+a−1=0，
解得a=2
故答案为2．
10.【答案】2026
【解析】解：∵x2+x−2=0，
∴x2+x=2，
∴x3+2x2−x+2024
=x(x2+x)+x2−x+2024
=2x+x2−x+2024
=x2+x+2024
=2+2024
=2026．
故答案为2026．
x2+x−2=0变形得x2+x=2，把原式适当变形，整体代入求得答案即可．
本题主要考查了整体思想在因式分解中的灵活运用，注意分组分解和整体代入思想的渗透．
11.【答案】3(a−1)2
【解析】【分析】
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键．
首先提取公因式3，然后利用完全平方公式分解因式得出答案．
【解答】
解：原式=3(a2−2a+1)=3(a−1)2．
故答案为：3(a−1)2．
12.【答案】17
【解析】∵a+b+c=5，ab+bc+ca=4，
∴a2+b2+c2=(a+b+c)2−2(ab+bc+ca)=52−2×4=25−8=17．
13.【答案】490
14.【答案】12a+14b
【解析】解：根据题意，长方形的面积为5a2+10b2+27ab=(a+5b)(5a+2b)，
∴边长为a+5b和5a+2b，
∴周长为(a+5b+5a+2b)×2=12a+14b；
故答案为：12a+14b．
根据题意表示出长方形的面积，利用因式分解转化为多项式与多项式的积，即可确定长方形的长和宽，继而得到长方形的周长．
本题考查了整式的混合运算及因式分解，解题的关键是掌握正方形，长方形的面积公式及因式分解．
15.【答案】a(a−6)(a−3)2
【解析】【分析】
本题考查新定义问题，因式分解，属于中档题.先解出m，n，然后因式分解即可．
【解答】
解：g(1)=10，g(2)=22，
则m+n=10，即m=10−n，
4m+2n=22，即2m+n=11，
则210−n+n=11，
解得n=9，则m=1，
故gx=mx2+nx=x2+9x=xx+9，
则g(a2 −6a)=a2−6aa2−6a+9=aa−6a−32，
故答案为a(a−6)(a−3)2．
16.【答案】解：(1)原式=2(a2−2a+1)，
=2(a−1)2；
(2)原式=(m−1)−n2(m−1)，
=(m−1)(1−n2)，
=(m−1)(1+n)(1−n)．
【解析】(1)先提取公因数2，再根据完全平方公式进行二次分解；
(2)先提取公因式m−1，再根据平方差公式进行二次分解．
本题考查了因式分解的综合运用，涉及平方差公式、完全平方公式等知识，综合运用提公因式法及公式法因式分解是解题的关键．
17.【答案】解：(1)ab−2a−2b+4
=(ab−2a)−(2b−4)
=a(b−2)−2(b−2)
=(b−2)(a−2)；
(2)∵m2+2mn+2n2−6n+9=0，
∴m2+2mn+n2+n2−6n+9=0，
∴(m+n)2+(n−3)2=0，
∴m+n=0，n−3=0，
∴m=−3，n=3．
【解析】(1)先分组为(ab−2a)−(2b−4)，再提公因式分解因式即可；
(2)先变形为m2+2mn+n2+n2−6n+9=0，再利用完全平方公式计算得出(m+n)2+(n−3)2=0，根据非负数的性质即可求出m、n的值．
本题考查了因式分解，熟练掌握分组分解法、提公因式法、公式法分解因式的方法是解题的关键．
18.【答案】解：对于任意自然数n，(n+7)2−(n−5)2能被24整除． 理由：原式=[(n+7)+(n−5)][(n+7)−(n−5)]=12(2n+2)=24(n+1).∵n为自然数，∴n+1为整数，∴(n+7)2−(n−5)2能被24整除．
【解析】略
19.【答案】解：(1)x2−4x+4−y2
=(x−2)2−y2
=(x−2−y)(x−2+y)；
(2)∵△ABC的三边长a，b，c满足ac+a2−ab−bc=0，
∴a(a+c)−b(a+c)=0，
∴(a−b)(a+c)=0，
∵a+c>0，a+c≠0，
∴a−b=0，
∴a=b．
∴△ABC是等腰三角形．
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
20.【答案】解：【验证】1002−962= (100−96) (100+96) =4×196，
∴1002−962是“4倍数”，嘉嘉的说法正确;
12×11+9×11−19×11=11×2，
∴12×11+9×11−19×11不是“4倍数”，淇淇的说法不正确;
【证明】设三个连续偶数分别为2n−2，2n，2n+2，则：
(2n−2)2+(2n)2+ (2n+2)2
=12n2+8
=4(3n2+2)．
∵n是整数，
∴这三个连续偶数的平方和是“4倍数”．
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
21.【答案】解：(1)55+1−15+1=(55+1)2−(15+1)2;
……
(2)nn+1−1n+1=(nn+1)2−(1n+1)2;
(nn+1)2−(1n+1)2
=nn+1+1n+1nn+1−1n+1
=nn+1−1n+1
【解析】【分析】
本题考查了数字规律类，分式混合运算的应用，观察题目，找出数字的变化规律是解题的关键．
(1)观察式子里得分子、分母与序数之间的关系即可求解答；
(2)观察式子里得分子、分母与序数之间的变化规律，再证明．
【解答】
解：(1)第1个等式：11+1−11+1=(11+1)2−(11+1)2;
第2个等式：22+1−12+1=(22+1)2−(12+1)2;
第3个等式：33+1−13+1=(33+1)2−(13+1)2;
第4个等式：44+1−14+1=(44+1)2−(14+1)2;
第5个等式：55+1−15+1=(55+1)2−(15+1)2;
……
(2)第n个等式：nn+1−1n+1=(nn+1)2−(1n+1)2;证明见答案．