辽宁省辽西重点高中2025-2026学年高一上学期12月联考数学试卷（Word版附解析）

这是一份辽宁省辽西重点高中2025-2026学年高一上学期12月联考数学试卷（Word版附解析），共14页。
1.满分150分，考试时间120分钟.
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．下列是存在量词命题且是真命题的是
A．B．
C．D．
【答案】D
解析：由题知，AC是全称量词命题，不符合题意；BD为存在量词命题；
对于B，恒成立，故不存在，使得，故B为假命题，故B不符合题意；
对于D，时，，则是真命题，符合题意．
故选：D．
2．已知关于的方程有4个互不相同的实数根，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】D
解析：令（），原方程转化为．
关于的方程有4个互不相同的实数根，即有2个不同的正根，
因此有。解得．
故选：D．
3．已知表示中的最大者，若，则的最小值为
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
解析：设，
则.
因为，所以.
所以，所以，
所以，解得，
所以的最小值为，即的最小值为.
故选：B.
4．已知函数，若存在三个不相等的实数，，，使得，则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】A
解析：函数的图象如下图所示.
当时，的对称轴是直线，且最大值为，
当时，为增函数，且此时，
由题意知存在三个不相等的实数，，，使得，
不妨设，则，则，
又，故的取值范围是.
故选：A.
5．已知是定义在上的奇函数，当时，，那么时，
A．B．C．D．
【答案】C
解析：因为是定义在上的奇函数，所以，
当时，，所以，
所以，
故选：C.
6．如果为实数，且，那么一定有
A．B．C．D．
【答案】D
解析：由，可得，
则，即，
即，故，故D符合题意；
对于A，若取，则，故A不合题意；
对于B，若取，则，故B不合题意；
对于C，若取，则，故C不合题意.
故选：D.
7．已知函数，则不等式的解集为
A．B．C．D．
【答案】B
解析：由解析式知，函数的定义域为，
且，
所以在上为奇函数，且为连续函数，
由在上单调递增，在定义域上单调递增，
所以在上单调递增，
结合奇函数的对称性，在上单调递增，
由，
所以不等式的解集为.
故选：B
8．已知函数在定义域上满足，，函数的反函数为，则的最小值为
A．2B．4C．5D．8
【答案】C
解析：由题意，令，满足上且，
此时且定义域为，
所以定义域为，且单调递增，
所以.
故选：C
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．整数集合中，被3除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记作，其中，即，以下判断正确的是
A．
B．
C．若，则
D．若，则整数属于同一个类
【答案】ABD
解析：对于A，，即，故A正确；
对于B，因任意一个整数除以3，所得余数只能为0或1或2，即，
反之，集合中任一数都是整数，即，所以，故B正确；
对于C，当时，，但，故C错误；
对于D，，不妨令，，，，
则，因，于是得，即，因此整数属于同一个类，故D正确.
故选：ABD.
10．已知函数与的图象如图所示，则
A．为奇函数B．在上单调递减
C．在上单调递增D．的值域为
【答案】ABD
解析：由图象知，定义域为，是偶函数，在上单调递增，在上单调递减；
定义域为，是奇函数，在上单调递增，在上单调递增；
对于A，定义域为，
又因为，所以是奇函数，故A正确；
对于B，由图象知，在单调递减，在单调递增，在上单调递减，故B正确；
对于C，，由图象知，
因为在上单调递增，所以，
又因为在上单调递减，所以，
即在上单调递减，故C错误；
对于D，记与轴交于点，与轴交于点，
由图可知，当从趋近于0时，的函数值从0趋近于的函数值从一个定值趋近于，
所以的值从0趋近于，即的值可以取到，
又为奇函数，所以的值域为，故D正确．
故选：ABD．
11．已知函数满足，则的解析式可以是
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
解析：A选项，当时，，A选项正确；
B选项，，B选项错误；
C选项，当时，∵，∴，即，
即，即，C选项正确；
D选项，，因为函数在上单调递减，
函数是增函数，所以函数在上单调递减，且，
假设D选项中函数满足，令，，
则，
∵，∴，即函数在上单调递增，
这与函数在上单调递减矛盾，所以假设不成立，D选项错误.
故选：AC.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知实数，，且，则的最小值是 .
【答案】
解析：因为实数，且，
则
，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：
13．边际函数是经济学中一个基本概念，在国防、医学、环保和经济管理等许多领域都有十分广泛的应用，函数的边际函数定义为．工厂生产x台某装置的收入函数（单位：元），其成本函数（单位：元），利润是收入与成本之差，设利润函数为，则边际利润函数的最大值为 ．
【答案】244
解析：，
，
因为函数为减函数，则．
故答案为：244.
14．已知函数，曲线关于直线对称，则
【答案】
解析：因为函数，的定义域为
则
则的定义域为，即函数的定义域为，
又因为曲线关于直线对称，则定义域也关于对称，
即，
由对称的性质可知则
令可得
代入函数得，则,
所以，则.
当时，
验证是否关于对称：
成立；
所以.
故答案为：.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.
15．已知集合．
(1)若，求实数的值；
(2)求实数的值使得．
【答案】(1)
(2)．
解析：（1）∵，∴，解得．
（2）由，且，则，即，
又，
则当时，无实数根，
即，解得；
当时，有两相等实数根，
，则，符合题意；
当时，有两相等实数根，
，则，
此时为，即，则，不合题意；
当时，有两实数根0和4，
此时且，解得；
故综上所述，的取值范围为．
16．已知函数.
(1)若为偶函数，求实数的值；
(2)当时，讨论函数的值域.
【答案】(1)
(2)
解析：（1）为偶函数，定义域为，
所以，即，即有，
则有恒成立，故；
（2）当时，，令，
则有，则，
设，，
由在上为减函数，且恒成立，得，
所以函数的值域为.
17．已知函数为奇函数，且不为常函数.
(1)求的值；
(2)若，用定义法证明：在上单调递减；
(3)若（2）中的对，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
解析：（1）由为奇函数，则对定义域内的每一个都有，
所以，即，所以，
当时，函数为常函数，与已知矛盾，
所以.
（2）由（1）知，，
任取，则，
，则，，
，即所以，
所以函数在上单调递减.
（3）对任意的，，
即，得，
记函数，，
则函数在区间上单调递减，
函数在区间上的最大值为，
，因此，实数的取值范围是.
18．已知一次函数为增函数，且满足，.
(1)若函数在上最大值与最小值的差为6，求.
(2)当和满足时.
（ⅰ）设，解关于的不等式：.
（ⅱ）求的最大值.
【答案】(1)
(2)（ⅰ）答案见解析；（ⅱ）.
解析：（1）当时，由在上单调递增，且函数在上最大值与最小值的差为6，
可得：，
当时，由在上单调递减，且函数在上最大值与最小值的差为6，
可得：，
综上可得：；
（2）（ⅰ）由一次函数为增函数，可设，
因为，
所以，解得，
即，又因为，
所以，
，
又因为，所以，
此时，
则关于的不等式：，
当时，原不等式的解集为，
当，原不等式的解集为或，
当，原不等式的解集为或，
当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为，
（ⅱ）由，
令，则，
先证明柯西不等式，
作差得：
即可证明恒成立，取等号条件是，
则，
由于，所以，
取等号条件是，即，
此时有最大值，取最大值时的.
19．已知奇函数的定义域为，且．
(1)求的解析式；
(2)把区间等分成份，记等分点的横坐标依次为，记，若，求的最大值；
(3)若，函数在区间上的值域是，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)2.
(3)
解析：（1）因为是上的奇函数，所以，
由可得，
因为，所以，
即，验证知是奇函数，符合题意.
（2）把区间等分成份，
则等分点的横坐标为，
又为奇函数，
所以的图象关于点对称，
所以，
所以
因为，
当且仅当即时，等号成立.
由，得.
又，所以的最大值为2.
（3）因为，所以，所以，
由，得，所以，
由（1）知，函数为上的增函数.
因为函数在区间上的值域是，
所以，即，
所以关于的方程有两个互异实根.
令，所以关于的方程有两个互异正根，
所以，解得，