【数学】河北省邢台市质检联盟2025-2026学年高二上学期第三次月考试题（学生版+解析版）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 数列1，，，，3，…，的一个通项公式是（ ）
A. B.
C D.
【答案】D
【解析】将数列改写为：，，，，，…，
所以是数列1，，，，3，…，的一个通项公式.
故选：D.
2. 抛物线的焦点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，所以，
因为，解得 ，
又因为抛物线开口向上，对称轴为y轴，所以焦点坐标为 ，
代入 ，得 ，因此焦点坐标为 .
故选：B.
3. 在等差数列中，，则（ ）
A. 6B. 8C. 10D. 12
【答案】D
【解析】由等差数列的性质可知，
则，故.
故选：D.
4. 如图，在正方体中，E，F，G分别是线段BD，，的中点，则异面直线AG与EF所成角的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】以D为坐标原点，DA，DC，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
设，则，，，，所以，．
设异面直线AG与EF所成的角为，
则．
故选：C．
5. 在数列中，，，则（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】A
【解析】因为，所以.
因为，所以，，，
所以是以3为周期的周期数列，则.
故选：A.
6. 在正四棱锥中，，，，分别是棱AB，PC的中点，则点到直线EF的距离是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图，连接AC，BD，DE，记，连接OP.
由正四棱锥的性质可知OB，OC，OP两两垂直，
则以为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系.
因为，，所以，，，
所以，，
则点到直线EF的距离是.
故选：B.
7. 设等差数列，的前项和分别为，，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由等差数列性质得，且，
，所以.
故选：C.
8. 阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，他在《平面轨迹》中提出，平面内到两定点距离之比为非1定值的点的轨迹是圆（后人称为“阿氏圆”）.已知在平面Oxy内，，，，且，则当取得最小值时，点的坐标是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为，所以，
当且仅当点在线段上时，等号成立.
设.因为，所以，
所以，即.
因为，，所以直线的方程为.
由得或
因为在线段上，所以，则的坐标为.
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知直线平分圆：的周长，且直线在轴上的截距是在轴上截距的2倍，则直线的方程可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】由题意可得直线过圆的圆心.
当直线过原点时，直线在两坐标轴上的截距都是0，符合题意，
此时直线的方程为，即.
当直线不经过原点时，设直线的方程为，
则，解得，
故直线的方程为，即.
故选：AC.
10. 设数列的前项和为，若，，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】由，令，得，
则是首项为2，公比为2的等比数列，
故，
因为，所以，则，.
故选：BD.
11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，P是双曲线C右支上的点，G是的内心，记，，的面积分别为，，，且，，则（ ）
A.
B.
C. 的最大值是7
D. 当时，
【答案】ACD
【解析】设内切圆的半径为r，则，
所以，
又，所以，故，A正确．
作，垂足为H，则．
由双曲线的定义及切线长定理可得．
又，解得，，
所以，B错误．
因为，所以．
因为，所以，C正确．
延长PG交于点M．
因为，所以．
由角平分线定理可得，所以，
所以，解得，D正确．
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若椭圆：的离心率是，则______.
【答案】7
【解析】由题意可得，，且，则，
因为椭圆的离心率为，所以，解得.
故答案为：7.
13. 在数列中，，，则______.
【答案】
【解析】由，得，
因为，所以是以500为首项，1.1为公比的等比数列，
所以，所以．
故答案为：．
14. 已知直线与圆交于A，B两点，若a，b，c是等差数列中的连续三项，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】因为a，b，c是等差数列中的连续三项，所以，
所以，则直线l的方程为，即，
故直线过定点．由题意可知圆的圆心为，半径，
设圆心到直线的距离为，因为直线恒过圆内的定点，
所以的取值范围是，即，弦长是的减函数，
故的最小值为当时取得，即，
的最大值为当时取得，即，
故的取值范围是．
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题、共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在数列中，，.
（1）证明是等差数列，并求的通项公式；
（2）求的前项和.
（1）证明：因为，所以.
因为，所以，
是以3为首项，2为公差的等差数列，
则，
故
（2）解：由（1）可知，则
.
16. 已知圆经过，两点，且圆心在直线：上.
（1）求圆的标准方程；
（2）过点作圆的两条切线，切点为，，求的值.
解：（1）设圆心的坐标为，则，
因为，是圆上的两点，所以，
所以，即，
由得即，
则圆的半径，
故圆的标准方程为；
（2）因为，，所以，
所以，
则四边形的面积，
因为过点作圆的两条切线，切点为，，所以，
所以四边形的面积，解得.
17. 如图，在三棱柱中，，，，，，D是棱的中点．
（1）证明：平面平面ABC．
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
（1）证明：因为，所以．
因为，，所以，
则，所以．
因为，平面ABC，平面ABC，且，所以平面ABC．
因为平面，所以平面平面ABC．
（2）解：以A为坐标原点，AC，所在直线分别为x轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
由题中数据可知，，，，，
则，，，．
设平面的法向量为，
则令，得．
设平面的法向量为，
则,令，得．
设平面与平面的夹角为，则，
即平面与平面夹角的余弦值为．
18. 已知椭圆：的长轴长为4，且点在椭圆上.
（1）求椭圆的标准方程.
（2）直线：与椭圆交于，两点，线段的中点为，射线（为坐标原点）交椭圆于点.
（i）若直线过点，且，求的值；
（ii）若，求的值.
解：（1）由题意可得，
解得：，，
则椭圆的标准方程为.
（2）（i）直线：过点，
解得：，即，
由得，
则.
设，，则，
所以，，
即点的坐标为，则直线的方程为.
由，得：，
则.
因为，
所以，解得，（舍去）.
（ii）当直线的斜率存在且不为0时，
设直线的方程为，，.
由,得，则.
因为，
所以，则直线的方程为，
同理可得，则.
故.
当直线，中一条直线斜率不存在时，另一条直线的斜率为0，
此时,
综上，.
19. 定义：若，且和是公比不相同的等比数列，则称为“混双等比数列”.已知数列满足，其中常数且.
（1）证明：是等比数列；
（2）设的前项和为，若是“混双等比数列”，求的值；
（3）若“混双等比数列”满足的前项和为也是“混双等比数列”，证明：当时，.
（1）证明：证法一：由，则，
则，
所以，
又，
所以是以为首项，3为公比的等比数列.
证法二：由，得，即，
则，，
则，即，，
显然满足上式，则，
所以，
因为，所以，所以是以为首项，3为公比的等比数列.
（2）解：解法一：由（1）证法一可得，
又因为，
所以，即，
则，
因为是“混双等比数列”，所以，解得.
解法二：由（1）证法二可得，
所以，
即.
因为是“混双等比数列”，所以，解得.
（3）证明：，
因为是“混双等比数列”，所以，且.
设，则.
因为，所以当时，是递增数列，；
当时，是递减数列，.
故当时，.