2023-2024学年河北省邢台市质检联盟高二上学期第三次月考（11月）数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年河北省邢台市质检联盟高二上学期第三次月考（11月）数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在等差数列an中，若a3+a6+a20+a23=36，则a13=( )
A. 12B. 18C. 6D. 9
2.在等比数列an中，若a3a5a7a9=27，则a2a10=( )
A. 3 3B. 3C. ±3D. ±3 3
3.双曲线C:x216-y236=1的实轴长比虚轴长短
( )
A. 4B. 2C. 10D. 20
4.在等差数列an中，若a3=7,a5+a8=42，则公差d=( )
A. 2B. 4C. 3D. 5
5.已知数列an的前4项分别为-1+122,2-342,-3+562,4-782，则该数列的一个通项公式为
( )
A. an=(-1)nn+(-1)n2n-14n2B. an=(-1)nn-(-1)n2n+14n2
C. an=(-1)nn-(-1)n-12n-12n2D. an=(-1)nn+(-1)n-12n-14n2
6.设抛物线C:x2=-20y的焦点为F，点P在C上，Q0,-15，若PF=QF，则PQ=( )
A. 10 3B. 12C. 10 2D. 8 2
7.直线3x+4y=0与圆M：x-22+y-12=16交于A，B两点，则▵MAB的面积为
( )
A. 4 3B. 4 2C. 2 3D. 2 2
8.按照小方的阅读速度，他看完《巴黎圣母院》共需820分钟.2023年10月26日，他开始阅读《巴黎圣母院》，当天他读了1个小时，从第二天开始，他每天阅读此书的时间比前一天减少2分钟，则他恰好读完《巴黎圣母院》的日期为( )
A. 2023年11月12日B. 2023年11月13日C. 2023年11月14日D. 2023年11月15日
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.若方程x2m-8+y22-m=-1表示椭圆，则实数m的取值可能是
( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
10.设an是公差为d的等差数列，其前n项和Sn存在最大值，且S2008=S2023，则下列结论正确的是
( )
A. d>0
B. a2016=0
C. S4031=0
D. 集合x∣x=Sn,n=1,2,3,⋯,2023中元素的个数为2015
11.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=2.若E,F,G分别为棱AB,AD,PC的中点，则
( )
A. PC⊥平面EFG
B. 直线EG和直线PD所成的角为π3
C. P到平面EFG的距离为 3
D. 平面EFG截四棱锥P-ABCD所得截面的面积为 3
12.已知正项数列an 的 前n项和为Sn，且2anSn=an2+1，则
( )
A. an是递减数列B. Sn是等差数列
C. 0三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.若数列an满足a1=9,an+1=1+an1-an，则a211=__________．
14.过直线2x-y+3=0上一点P向圆C：x2+y2-4x+6y+9=0引切线，切点为M，则PM的最小值为______．
15.已知等差数列an的前n项和为Sn，若S6S3=5，则S9S3=__________．
16.已知椭圆C:x218+y29=1的右焦点为F,P是C上一点，M-2,-1，当△MPF的周长最小时，其面积为__________．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10分)
已知an是各项均为正数的等比数列，a1=3,3a3=5a2+36．
(1)求an 的 通项公式；
(2)设bn=lg3an，求数列bn的前n项和．
18.(本小题12分)
已知an为等差数列，a3=98,a6=86．
(1)求an的通项公式；
(2)求数列an的前n项和．
19.(本小题12分)
已知Sn为数列an的前n项和，且满足a1=-2，Sn-an=n2-5n+4．
(1)求a9 的 值；
(2)若bn=1n+1an+4，记数列bn的前n项和为Tn，证明：14≤Tn<12．
20.(本小题12分)
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是等腰直角三角形，且AB⊥BC,M是线段AC1上一动点(不含端点)，N是BB1的中点，AA1=2AB=2．
(1)当AN⊥平面A1MN时，求三棱锥M-AA1N的体积；
(2)当AN与平面A1MN所成角的余弦值为 33时，求平面A1MN与平面A1B1C1夹角的余弦值．
21.(本小题12分)
已知数列an满足an+1=2an+n-1,a1=3．
(1)证明：数列an+n是等比数列．
(2)求数列2nan+n的前n项和Sn．
22.(本小题12分)
已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线l的距离为2．
(1)求抛物线C的方程；
(2)已知A-p2,m,B-p2,nm≠n是l上的两点，Px0,y0x0>1是抛物线C上一动点，原点到直线PA,PB的距离均为1，求S▵PAB的最小值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】根据等差数列的性质转化运算即可．
解：因为等差数列 an 中，
所以 a3+a6+a20+a23=a3+a23+a6+a20=4a13=36 ，所以 a13=9 ．
故选：D．
2.【答案】A
【解析】【分析】根据等比数列的性质求解．
解：因为 a3a5a7a9=a64=27 ，所以 a2a10=a62=3 3 ．
故选：A．
3.【答案】A
【解析】【分析】根据双曲线方程求出实轴长和虚轴长，进而求解即可．
解：由双曲线 C:x216-y236=1 ，则 a2=16 ， b2=36 ，
即 a=4,b=6 ，
所以实轴长为 2a=8 ，虚轴长为 2b=12 ，
所以实轴长比虚轴长短4．
故选：A．
4.【答案】B
【解析】【分析】根据等差数列通项公式列出方程组求解即可．
解：因为 a3=a1+2d=7,a5+a8=2a1+11d=42 ，
所以 a1=-1 ， d=4 ．
故选：B．
5.【答案】D
【解析】【分析】直接观察可得答案．
解：观察可知，该数列的一个通项公式为 an=(-1)nn+(-1)n-12n-1(2n)2=(-1)nn+(-1)n-12n-14n2 ．
故选：D．
6.【答案】C
【解析】【分析】根据题意，得到所以 PF=10 ，结合抛物线的几何性质，得到 PF⊥y 轴，利用勾股定理，即可求解．
解：由抛物线 C:x2=-20y ，可得 p=10 ，所以焦点 F0,-5 ，
因为 Q0,-15 ，根据抛物线的定义，可得 QF=10 ，
又因为 PF=QF ，所以 PF=10 ，
因为 2p=20 ，即抛物线的通径长为 20 ，所以 PF⊥y 轴，
所以 PQ= PF2+QF2= 102+102=10 2 ．
故选：C．
7.【答案】A
【解析】【分析】利用点到直线的距离公式，以及弦长公式即可求解．
解：圆 M：x-22+y-12=16 的圆心为 M2,1 ，半径为4，
由题意得圆心M到直线 3x+4y=0 的距离 d=3×2+4×1 32+42=2 ，
则 AB=2 16-4=4 3 ，
所以 ▵MAB 的面积为 12×4 3×2=4 3 ．
故选：A
8.【答案】C
【解析】【分析】根据等差数列的求和公式即可求解．
解：根据题意，从2023年10月26日开始到读完的前一天，
他每天阅读《巴黎圣母院》的时间(单位：分钟)依次构成等差数列，且首项为60，公差为 -2 ，
则由 60n+nn-12×-2≤820 ，且 60-2n≥0 ，得 n≤20 ，
所以小方读此书20天恰好可以读完，故他恰好读完《巴黎圣母院》的日期为2023年11月14日．
故选：C
9.【答案】ABD
【解析】【分析】根据椭圆的标准方程的特征可得 8-m>0m-2>08-m≠m-2 ，进而求解即可得到答案．
解：由方程 x2m-8+y22-m=-1 表示椭圆，
即方程 x28-m+y2m-2=1 表示椭圆，
则 8-m>0m-2>08-m≠m-2 ，解得 2所以结合选项可得实数 m 的取值可能是3，4，6．
故选：ABD．
10.【答案】BCD
【解析】【分析】根据等差数列的单调性可判断A，根据等差数列的求和公式可判断BC，由二次函数的对称性及等差数列的求和公式可判断D．
解：因为 Sn 存在最大值，所以 d<0 ，故A错误；
因为 S2008=S2023 ，所以 a2009+a2010+⋯+a2022+a2023=15a2009+a20232=15a2016=0 ，
所以 a2016=0 ，故B正确；
因为 S4031=4031a1+a40312=4031a2016=0 ，所以C正确；
因为 a2016=0 ，所以二次函数 Sn 的对称轴为 2015+20162=40312 ，且 S2008=S2023 ，所以根据二次函数的对称性知 S2008=S2023,S2009=S2022,⋯,S2015=S2016 ，所以该集合共有2015个元素，故D正确．
故选：BCD
11.【答案】ACD
【解析】【分析】以A为坐标原点， AB,AD,AP 的方向分别为 x,y,z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量判定ABC；对于D，先做出截面，然后求其面积即可．
解：以A为坐标原点， AB,AD,AP 的方向分别为 x,y,z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 P0,0,2,B2,0,0,D0,2,0,C2,2,0,G1,1,1,E1,0,0 ， F0,1,0 ，
所以 EF=-1,1,0,EG=0,1,1 ．
设平面 EFG 的法向量为 n=x,y,z ，则 n⋅EF=-x+y=0n⋅EG=y+z=0 ，
令 x=1 ，得 n=1,1,-1 ．
因为 PC=2,2,-2=2n ，所以 PC /​/ n ，所以 PC⊥ 平面 EFG ，故A正确．
因为 PD=0,2,-2 ，所以 EG⋅PD=0 ，所以 EG⊥PD ，故B错误．
因为 PE=1,0,-2 ，所以 P 到平面 EFG 的距离 d=PE⋅nn= 3 ，故C正确．
延长 FE 与 CB 交于点 N ，延长 EF 与 CD 交于点 J ，连接 NG 与 PB 交于点 H ，
连接 GJ 与 PD 交于点 K ，连接 HE,KF ，
则平面 EFG 截四棱锥 P-ABCD 的截面为 HEFKG ．
取 PB 的中点 L ，连接 LG ，则 LG=12BC=AF=BN ．
又 LG /​/ BN ，所以 ∠LGH=∠HNB,∠GLH=∠NBH ，
所以 ▵LGH≅▵BNH ，所以 H 是 BL 的中点，即 H 是 PB 上靠近 B 的四等分点．
同理 K 是 PD 上靠近 D 的四等分点， E,F 为 NJ 的三等分点．
因为 NJ 的中点 M12,12,0 ，所以 GM= 62 ，所以 S▵GVJ=3 32 ，
所以 SHEFKG=23S▵GNJ= 3 ，故D正确．
故选：ACD．
12.【答案】ACD
【解析】【分析】根据题中的递推公式 2anSn=an2+1 ，分别可求出 an=1 n+ n-1 ， Sn= n ， Sn2=n ，从而可对各项进行求解．
解：因为 2anSn=an2+1 ，所以 a12=1 .因为 an>0 ，所以 a1=1 ．
当 n≥2 时，因为 an=Sn-Sn-1 ，所以 2Sn-Sn-1Sn=Sn-Sn-12+1 ，
所以 Sn2-Sn-12=1 ，所以 Sn2 是首项为1，公差为 1 的等差数列，故D正确；
因为 Sn2=n,an>0 ，所以 Sn= n ，故B错误；
因为 an=Sn-Sn-1= n- n-1 ( n=1 也满足)，
所以 an= n- n-1=1 n+ n-1 ，
所以 an 是递减数列，故A正确；
因为 0故选：ACD
13.【答案】-19
【解析】【分析】根据题意，分别求得 a2,a3,a4,a5,⋯ 的值，得到 an 是周期为4的数列，结合 a211=a3 ，即可求解．
解：由数列 an 满足 a1=9,an+1=1+an1-an ，
可得 a2=1+91-9=-54,a3=1-541+54=-19,a4=1-191+19=45 ， a5=1+451-45=9,⋯ ，
所以 an 是周期为4的数列，则 a211=a4×52+3=a3=-19 ．
故答案为： -19 ．
14.【答案】4
【解析】【分析】首先判断直线与圆的位置关系，由切线性质有 |PM|2=|CP|2-|CM|2 ，结合点线距离求 PM 的最小值即可．
解：由题设，圆 C:(x-2)2+(y+3)2=4 ，即 C(2,-3) ，半径为2，
而 C(2,-3) 到 2x-y+3=0 的距离为 2×2+3+3 5=2 5>2 ，
所以直线 2x-y+3=0 与圆 C 相离，如下图，
由 |PM|2=|CP|2-|CM|2=|CP|2-4 ，要使 PM 的最小，只需 |CP| 最小，
而 |CP|min=2 5 ，故 |PM|min= 20-4=4 ．
故答案为：4
15.【答案】12
【解析】【分析】设 S3=t ， S6=5t ，进而根据等差数列的性质可得 S3,S6-S3,S9-S6 成等差数列，进而求解即可．
解：设 S3=t ，则 S6=5S3=5t ，
因为 S3,S6-S3,S9-S6 也成等差数列，所以 S3+S9-S6=2S6-S3 ，
即 t+S9-5t=25t-t ，即 S9=12t ，
所以 S9S3=12 ．
故答案为：12．
16.【答案】6
【解析】【分析】根据椭圆定义，结合三点共线可得周长最小时点 P 的位置，即可联立直线与椭圆方程求解交点求解．
解：设椭圆 C 的左焦点为 F' ，则 F'-3,0 .因为 M-2,-1,F3,0 ，
所以 △MPF 的周长为 MF+PM+PF=PM+ 26+2a-PF'= 26+6 2+PM-PF' ．
因为 -MF'≤PM-PF'≤MF' ，所以 PM-PF'≥- 2 ，当且仅当 P 为射线 F'M 与椭圆 C 的交点时，等号成立．
联立直线 F'M 的方程 y=-x-3 与椭圆 C 的方程， x218+y29=1y=-x-3 ，得 x2+4x=0 ，
解得 x=0,y=-3 或 x=-4,y=1 (舍去)．
因为 S▵PFF'=12×6×3=9,S▵MFF'=12×6×1=3 ，
所以 △MPF 的面积为 S▵PFF'-S▵MFF'=9-3=6 ．
故答案为：6
17.【答案】解：(1)设 an 的公比为 q ，因为 a1=3,3a3=5a2+36 ，
所以 9q2=15q+36 ，即 3q2-5q-12=q-33q+4=0 ，
解得 q=3 或 q=-43 (舍去)，
故 an 的通项公式为 an=3×3n-1=3n ．
(2)由(1)知 bn=lg3an=n ，设 bn 的前 n 项和为 Sn ，
则 Sn=nn+12=12n2+12n ．

【解析】【分析】(1)根据等比数列通项公式列出含有公比的方程，解出即可；
(2)由(1)先求出 bn=n ，然后根据等差数列前n项和公式求解．
18.【答案】解：(1)设 an 的公差为 d ，.因为 a3=98,a6=86 ，
所以 a6-a3=3d=86-98=-12 ，所以 d=-4 ．
因为 a3=98 ，所以 an=a3+n-3d=110-4n ．
(2)设 an 的前 n 项和为 Sn,an 的前 n 项和为 Tn ．
因为 Sn=na1+nn-12d=106n-2nn-1=-2n2+108n ，
所以当 1≤n≤27 时， Tn=Sn=-2n2+108n ；
当 n≥28 时， Tn=-Sn+2S27=--2n2+108n+2×1458=2n2-108n+2916 ．
故 Tn=-2n2+108n,1≤n≤272n2-108n+2916,n≥28 ．

【解析】【分析】(1)根据等差数列的通项公式求解；
(2)利用等差数列的前 n 项和公式求解．
19.【答案】解：(1)因为 Sn-an=n2-5n+4 ，①
所以当 n≥2 时， Sn-1-an-1=n-12-5n-1+4 ，②
由① - ②，得 an-an+an-1=n2-n-12-5n+5n-1 ，化简得 an-1=2n-6 ，
所以 a9=2×10-6=14 ；
(2)由 a1=-2 及(1)，知 an-1=2n-6 ，得 an=2n-4n∈N* ，
所以 bn=1n+12n-4+4=12nn+1=121n-1n+1 ，
所以 Tn=b1+b2+⋅⋅⋅+bn=121-12+12-13+13-14+⋅⋅⋅+1n-1n+1
=n2n+1又 bn>0 ，且 Tn=n2n+1=12+1n ，
所以数列 Tn 是 递增数列， Tn≥T1=14 ．
综上可知， 14≤Tn<12 ．

【解析】【分析】(1)利用 an=Sn-Sn-1n≥2 化简可得答案；
(2)求出 bn ，利用裂项相消求和求出 Tn ，根据 Tn 的单调性可得答案．
20.【答案】解：(1)因为三棱柱 ABC-A1B1C1 为直三棱柱，所以 BB1⊥AB,BB1⊥BC ，又 AB⊥BC ，所以 AB,BC,BB1 两两垂直．
如图，以 B 为坐标原点， BA,BB1,BC 所在直线分别为 x,y,z 轴，建立空间直角坐标系，
则 A(1,0,0),N(0,1,0),A1(1,2,0),C1(0,2,1) ，
设 AM=λAC1 ，则 M1-λ,2λ,λ ．
因为 AN=(-1,1,0),A1N=(-1,-1,0),A1M=(-λ,2λ-2,λ) ，且 AN⊥ 平面 A1MN ，
所以 AN⊥A1N,AN⊥A1M ．
由 AN⋅A1M=λ+2λ-2=0 ，得 λ=23 ，所以 M13,43,23 ，
所以 VM-AA1N=13×12×2×1×23=29 ．
(2)设平面 A1MN 的法向量为 n=x,y,z ，
则 n⋅A1N=-x-y=0n⋅A1M=-λx+2λ-2y+λz=0⇒x=-yz=3λ-2λx ，令 x=1 ，得 n=1,-1,3λ-2λ ．
因为 AN 与平面 A1MN 所成角的余弦值为 33 ，
所以 cs⟨AN,n⟩=|AN⋅n||AN||n|=2 2⋅ 2+3λ-2λ2= 63 ，
解得 λ=12 或 λ=1 (舍去)，所以 n=1,-1,-1 ．
取平面 A1B1C1 的一个法向量为 m=0,1,0 ，
所以 cs⟨m,n⟩=|m⋅n||m||n|=1 3= 33 ．
故平面 A1MN 与平面 A1B1C1 夹角的余弦值为 33 ．

【解析】【分析】(1)建立空间直角坐标系，根据空间向量的坐标运算即可得 M 的坐标，即可得所求；
(2)设 AM=λAC1 ，根据线面角的余弦值即可得 λ 的值，从而可得平面 A1MN 与平面 A1B1C1 夹角的余弦值．
21.【答案】(1)证明：因为 an+1=2an+n-1 ，
所以 an+1+n+1an+n=2an+n-1+n+1an+n =2an+nan+n=2 ．
又 a1=3 ，所以 a1+1=4 ，
所以数列 an+n 是等比数列，且首项为4，公比为2．
(2)解：由(1)知 an+n=4⋅2n-1 ，
即 an+n=2⋅2n ，则 2nan+n=n2n ．
Sn=12+222+⋯+n2n ，
12Sn=122+223+⋯+n2n+1 ，
则 12Sn=12+122+⋯+12n-n2n+1
=12-12n+11-12-n2n+1=1-n+22n+1 ，
所以 Sn=2-n+22n ．

【解析】【分析】(1)利用等比数列的定义，结合 an+1=2an+n-1 的条件即可证明；
(2)利用错位相减法求和即可．
22.【答案】解：(1)因为焦点 Fp2,0 到准线 x=-p2 的距离为2，所以 p=2 ，
所以抛物线 C 的方程为 y2=4x ；
(2)
由题知直线 PA 的方程为 y-m=y0-mx0+1x+1 ，
化简得 y0-mx-x0+1y+y0-m+mx0+1=0 ，
因为原点到直线 PA 的距离为1，
即 y0-m+mx0+1 y0-m2+x0+12=1 ，
所以 y0-m2+x0+12=y0-m2+2my0-mx0+1+m2x0+12 ，
因为 x0>1 ，所以化简得 x0-1m2+2y0m-x0+1=0 ，
同理得 x0-1n2+2y0n-x0+1=0 ，
所以 m,n 是关于 t 的方程 x0-1t2+2y0t-x0+1=0 的两个实数根，
根据韦达定理得 m+n=-2y0x0-1,mn=-x0+1x0-1 ．
所以 |AB|2=(m-n)2=(m+n)2-4mn=4y02x0-12+4x0+1x0-1 ，
因为 y02=4x0 ，所以 AB= 16x0x0-12+4x0+1x0-1=2 x02+4x0-1x0-12 ，
因为点 P(x0,y0) 到准线 x=-1 的距离 d=x0+1 ，
所以 S▵PAB=12AB⋅d=12×2 x02+4x0-1x0-12⋅x0+1 = x0+12x02+4x0-1x0-12 ，
令 x0-1=λ(λ>0) ，则 S▵PAB= λ2+4+4λλ2+4+6λλ2 = λ2+10λ+40λ+16λ2+32 ，
因为 λ2+16λ2≥2 λ2⋅16λ2=8,10λ+40λ≥2 10λ⋅40λ=40 ，
当且仅当 λ=2 时，等号成立，
所以 S▵PAB≥ 8+40+32=4 5 ，所以 S▵PAB 的最小值为 4 5 ．

【解析】【分析】本题关键在于根据原点到直线 PA 的 距离为1列关系式，再利用韦达定理表达出 |AB| ，根据点 P(x0,y0) 到准线 x=-1 的距离 d=x0+1 表达出 S▵PAB ．
(1)根据焦点到准线的距离即可计算抛物线的方程；
(2)设出 PA 方程，根据原点到直线 PA 的距离为1列关系式，再利用韦达定理表达出 |AB| ，根据点 P(x0,y0) 到准线 x=-1 的距离 d=x0+1 表达出 S▵PAB ，即可计算出 S▵PAB 的最小值．