【数学】安徽省十校联盟2025-2026学年高二上学期12月月考试题（学生版+解析版）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知平面的一个法向量，若直线平面，则直线的一个方向向量可以是（ ）
A. B. C. D.
2. 若首项为2数列满足，则（ ）
A. B. C. D. 1
3. 若直线过点且与直线相互垂直，则原点到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
4. 在三棱柱中，，分别是线段，上靠近，的三等分点，则（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，焦距为，第二象限内的点在椭圆上，且轴，若点满足，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知数列满足，且，则（ ）
A. 60B. 62C. 64D. 66
7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，， ，且直线为内切圆的一条切线，则内切圆的半径为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
8. 已知圆，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则下列点一定在直线上的是（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知数列前项和为，若，则（ ）
A. 是等差数列B. 不是等差数列
C. 是等差数列D. 不是等差数列
10. 已知动点满足，则（ ）
A. 点的轨迹长度为
B. 的最小值为
C. 的最大值为
D. 的最小值为
11. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，其中，，则（ ）
A. 直线的斜率为B. 点到轴的距离为6
C. 的面积为D. 直线的倾斜角为或
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知圆与圆有且仅有2条公切线，则实数取值范围为________．
13. 在正方体中，，若点为线段上靠近的三等分点，则点到平面的距离为________．
14. 已知数列的通项公式为，若数列中的最小项为3，则实数的最小值为________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知等差数列的前项和为，其中，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求满足条件的的值构成的集合.
16. 已知椭圆，点，，在椭圆上，且，关于原点对称.
（1）若直线，斜率存在，求直线，的斜率之积；
（2）若直线的方程为，求的值.
17. 已知圆过点，，，圆与圆交于，两点，且点在直线上，直线的方程为.
（1）求圆、的方程；
（2）过点作相互垂直的两条直线，与圆分别交于、，、，求四边形面积的取值范围.
18. 已知五边形是由等边三角形与矩形拼接而成，如图1所示，其中；现沿进行翻折，使得平面平面，得到的图形如图2所示，其中点为线段的中点，在线段上，且平面.

（1）求证：为线段的中点；
（2）已知点在线段上（包含端点位置），求直线与平面所成角的正弦值的最大值.
19. 已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且双曲线过点.
（1）求双曲线的方程；
（2）过双曲线右支上的一点作直线，，其中，均与曲线有且只有一个交点，且双曲线的左支与直线交于点，右支与直线交于点.
（i）求证：；（为坐标原点）
（ii）求的最小值，并求出此时，的方程.