安徽省十校联盟2025--2026学年高二上册12月月考数学试题【附答案】

这是一份安徽省十校联盟2025--2026学年高二上册12月月考数学试题【附答案】，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知平面的一个法向量，若直线平面，则直线的一个方向向量可以是（ ）
A．B．C．D．
2．若首项为2的数列满足，则（ ）
A．B．C．D．1
3．若直线过点且与直线相互垂直，则原点到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
4．在三棱柱中，，分别是线段，上靠近，的三等分点，则（ ）
A．B．
C．D．
5．已知椭圆的左、右焦点分别为，，焦距为，第二象限内的点在椭圆上，且轴，若点满足，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
6．已知数列满足，且，则（ ）
A．60B．62C．64D．66
7．已知双曲线的左、右焦点分别为，， ，且直线为内切圆的一条切线，则内切圆的半径为（ ）
A．2B．3C．4D．5
8．已知圆，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则下列点一定在直线上的是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知数列的前项和为，若，则（ ）
A．是等差数列B．不是等差数列
C．是等差数列D．不是等差数列
10．已知动点满足，则（ ）
A．点的轨迹长度为B．的最小值为
C．的最大值为D．的最小值为
11．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，其中，，则（ ）
A．直线的斜率为B．点到轴的距离为6
C．的面积为D．直线的倾斜角为或
三、填空题
12．已知圆与圆有且仅有2条公切线，则实数的取值范围为 ．
13．在正方体中，，若点为线段上靠近的三等分点，则点到平面的距离为 ．
14．已知数列的通项公式为，若数列中的最小项为3，则实数的最小值为 .
四、解答题
15．已知等差数列的前项和为，其中，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求满足条件的的值构成的集合.
16．已知椭圆，点，，在椭圆上，且，关于原点对称.
（1）若直线，的斜率存在，求直线，的斜率之积；
（2）若直线的方程为，求的值.
17．已知圆过点，，，圆与圆交于，两点，且点在直线上，直线的方程为.
（1）求圆、的方程；
（2）过点作相互垂直的两条直线，与圆分别交于、，、，求四边形面积的取值范围.
18．已知五边形是由等边三角形与矩形拼接而成，如图1所示，其中；现沿进行翻折，使得平面平面，得到的图形如图2所示，其中点为线段的中点，在线段上，且平面.

（1）求证：为线段的中点；
（2）已知点在线段上（包含端点位置），求直线与平面所成角的正弦值的最大值.
19．已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且双曲线过点.
（1）求双曲线的方程；
（2）过双曲线右支上的一点作直线，，其中，均与曲线有且只有一个交点，且双曲线的左支与直线交于点，右支与直线交于点.
（i）求证：；（为坐标原点）
（ii）求的最小值，并求出此时，的方程.
参考答案
1．【答案】A
【详解】若直线平面，则直线与平面的法向量共线，
因此，当时，即为A选项，对于选项B、C、D，找不到满足条件的，故B、C、D错误.
故选A.
2．【答案】B
【详解】因为，.
当，当，
当.
故选B.
3．【答案】C
【详解】直线与直线相互垂直，所以直线的斜率为，
直线过点且斜率为，则直线，
则原点到直线的距离为.
故选C.
4．【答案】A
【详解】，分别是线段，上靠近，的三等分点，
，，
，，
又，，
，即
，故A正确．
故选A．
5．【答案】D
【详解】椭圆左、右焦点，轴，把代入椭圆方程，得，
点位于第二象限内，
，则，故，
又，，
，，即，
，解得，
，故D正确．
故选D．
6．【答案】A
【详解】因为，所以，
两式作差得，
故数列中的偶数项构成的新数列是以为首项，为公差的等差数列，
又，，得，
故为偶数时，故.
故选A
7．【答案】C
【详解】已知双曲线，则，
因为，即，
所以点在双曲线左支上，
因为直线为内切圆的一条切线，
而也是内切圆的一条切线，
所以可设内切圆的圆心为，半径为，
设与轴的切点为，
由内切圆切线长性质可知，，
而，即，解得.
故选C
8．【答案】D
【详解】圆的标准形式为，
圆心，半径，
满足，即，点在直线上，
设点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，
在圆外，
，
四点共圆，圆的直径为，方程为，
圆，
联立两圆方程得出圆的切点弦方程，
展开整理得，
代入得，
，解得，即直线恒过．
故选D．
9．【答案】AC
【详解】对于A：，因此是等差数列，故A正确；
对于B：，故是等差数列，故B错误；
对于C：
，故是等差数列，故C正确；
对于D：，，故，易知是等差数列，故D错误.
故选AC.
10．【答案】ACD
【详解】可整理为，设，故点的轨迹为以为圆心，半径的圆.
对于A：点的轨迹长度即为圆的周长，，故A正确；
对于B：的几何意义为动点（即圆上一点）到点的距离.
易知，当点位于点与点的连线与圆的交点时，此时点到点的距离最短，最短距离，
即的最小值为，故的最小值为，故B错误；
对于C：的几何意义为动点（即圆上一点）与连线所在直线的斜率.
设，易知，当直线过点且与圆相切于轴上方时，动点与连线所在直线的斜率最大，即最大，
易知此时，又由相切可知，，
故，故，，
因此的最大值为，故C正确；
对于D：的几何意义是动点（即圆上一点）到直线的距离.
易知，动点到直线距离的最小值为圆心到直线的距离，再减半径，即，
因此的最小值为，故的最小值为，故D正确.
故选ACD.
11．【答案】ABC
【详解】由题可知，，得，故抛物线.
设，由对称性，不妨设直线与抛物线交于第一象限.
连接并延长，与抛物线交于点，连接并延长，与抛物线交于点.
直线，将直线与抛物线方程联立，
得，由韦达定理可知，，得.
直线，将直线与抛物线方程联立，
得，由韦达定理可知，，得.
故，又因为均在抛物线上，故与关于轴对称，则.
同理可得，与关于轴对称，故.
由与关于轴对称可知平分，故有，
又易知（对顶角相等），且，
故，又因为，
可得，，因此直线.
与抛物线联立，得，
结合图象以及，可知，故，
将代入抛物线，可得，即.
对于A：，由对称性可知，也符合题意，故A正确；
对于B：由前分析可知，由对称性可知也符合题意，两种情况下点到轴的距离均为，故B正确；
对于C：由前分析可知，，故
，故C正确；
对于D：由前分析可知，直线的倾斜角，由对称性可知，直线的倾斜角为时
（即位于时，此时），也符合题意，故D错误.
故选ABC.
12．【答案】
【详解】圆，圆心为，半径，
圆，圆心，半径，
又两圆有且仅有2条公切线，
两圆相交，即，
，
，即，由恒成立，
只需解不等式，即，解得，
实数的取值范围为．
13．【答案】
【详解】以为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系，
，若点为线段上靠近的三等分点，
，
，，
设平面的法向量为，
，令，则，
点到平面的距离．
14．【答案】
【详解】由题意得，
当时，，由双勾函数性质可知，
随着的增大而减小，而，此时不满足题意，舍去；
当时，，，由双勾函数性质可知，
随着的增大而增大，而，满足题意；
当时，，
此时随着的增大而减小，而，此时不满足题意，舍去；
当时，，
随着的增大而增大，而，满足题意；
当时， ，，由双勾函数性质可知，
当时，随着的增大而减小，
当时，随着的增大而增大，
而，所以当，即，符合题意；
当时，，此时数列的最小项为或，
由题意可得，解得，所以，
当时，即时，必有，不符合题意舍去；
综上，实数的取值范围为，即最小值为.
15．【答案】（1）；
（2）.
【详解】（1）由可知，，，
联立两式，解得，故，
因此数列的通项公式为；
（2）因为，
故即，
解得，故，
即满足条件的的值构成的集合为.
16．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）设，则，由题易知，即.
.
因为点均在椭圆上，故有，两式相减得，
整理得，因此.
（2）联立直线与椭圆方程，，消去，整理得：，
由韦达定理得，，
由弦长公式，
.
17．【答案】（1），；
（2）.
【详解】（1）设圆的方程为，
由题意可得，解得，
所以圆的方程为，即，
因为点在直线上，设，圆的半径为，
则圆的方程为，即，
因为圆与圆交于，两点，
故两圆相交即得相交弦所在直线方程，即，
因为直线的方程为，即，
故系数比例相同，即，解得，，
所以圆的方程为；
（2）如图，作出符合题意的图形，
因为，所以点在圆内，
因为，所以，圆心，半径为，
若直线斜率不存在，则，
圆心到直线的距离为，，
圆心到直线的距离为，，此时，
若直线斜率存在，设斜率为，则直线的斜率为，
则直线，直线，
圆心到直线的距离为，故，
圆心到直线的距离为，故，
所以，
化简可得，,
令，
当且仅当时，即时等号成立，
所以，即，
综上，四边形面积的取值范围为.
18．【答案】（1）见详解
（2）
【详解】（1）由题意得，令，则，
连接，作，则由矩形性质得，
因为平面平面，面，所以面，
如图，以为原点，建立空间直角坐标系，
因为等边三角形，所以由勾股定理得，，
则，
得到，，，
设面的法向量为，，
则，令，解得，
则面的法向量为，
由题意得在线段上，则，可得，
而，则，解得，
则，得到，
因为平面，所以，
则，解得，
此时，故为线段的中点.
（2）由题意得在线段上，则，
由已知得，则，
设，则，
可得，解得，可得，
由已知得，则，
而，，
设面的法向量为，
则，令，解得，
则面的法向量为，
设直线与平面所成角为，，
则
，
则，
令，可将化为，
令，由二次函数性质得在上单调递增，
则最小值为，此时取得最大值，，
结合题意可得，当取得最大值时，也取得最大值，
则最大值为.
19．【答案】（1）
（2）（i）见详解；（ii）最小值为：3，直线，直线
【详解】（1）设双曲线的方程：，
将点代入可得，，解得，
故双曲线的方程为．
（2）（i）由题意知，直线，为圆的两条切线，
显然圆的切线，即的斜率存在，
设切线，由于切线不平行于的渐近线，则，
又圆心到切线的距离：，则，
联立方程：，消去得，
由于，设，则，
而，
则，
即，故．
（ii）由（i）同理可得，，由于三点共线，则，
设切线与圆的切点为，则，
故，
而
，
又，则，当时，，，
此时直线平行于轴，则的纵坐标的绝对值为圆的半径，
所以，故直线，直线．