安徽省部分学校2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题（Word版附解析）

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1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知数列，，，，…，则该数列一个通项公式为（ ）
A B. C. D.
2. 圆的圆心坐标和半径分别是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知向量，且，则的值为（ ）
A. B. 1C. 2D. 3
4. 在某种药物的临床试验中，每天对患者的某项生理指标进行一次测量．第一天该项指标的值为12，前五天该项指标的值之和为110，且每天的值依次构成等差数列，则该等差数列的公差为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
5. 已知抛物线焦点为，准线为，过抛物线上一点作准线的垂线，垂足为，若，则（ ）
A. 4B. C. D. 8
6. 有一座圆拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面4米，水面宽16米，当水面上涨2米后，水面宽是（ ）
A. 12米B. 13米C. 14米D. 15米
7. 已知双曲线的离心率为2，过右焦点作斜率为1的直线与交于两点，若，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
8. 已知是椭圆上的两点，且线段的垂直平分线为，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 记等差数列的公差为，已知，则（ ）
A. B.
C. D.
10. 在平行六面体中，，则下列说法正确的有（ ）
A
B.
C. 直线与所成角的余弦值为
D. 二面角的余弦值为
11. 已知曲线的方程为，则下列说法正确的是（ ）
A. 经过坐标原点
B. 关于轴对称
C. 上的点的纵坐标的取值范围是
D. 上的点到原点的距离的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在空间直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，则边上的高为______．
13. 在数列中，，若数列是公差为3的等差数列，则_____．
14. 某数学兴趣小组研究发现：奇函数的图象是双曲线，如图，该双曲线有两条渐近线．若以该双曲线的中心为原点，两个焦点所在直线为轴重新建立直角坐标系，则此时双曲线的标准方程为__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图，在正方体中，分别是的中点．
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
16. （1）若为等差数列，且，，求的通项公式；
（2）记的前项和为，若，，且为等差数列，求和．
17. 已知圆，圆，直线经过点，且与圆交于两点，．
（1）求方程；
（2）若动圆与圆外切，且与圆内切，求动圆圆心到点的距离的最小值．
18. 在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面为正三角形．
（1）如图，若平面平面分别是的中点，
①求与所成角的余弦值；
②设平面与棱交于点，求．
（2）如图，若二面角为，求四棱锥的外接球的半径．
19. “曼哈顿距离”是人脸识别中一种重要的测距方式．其定义如下：若是平面直角坐标系中的两点，则之间的曼哈顿距离为；若是空间直角坐标系中的两点，则之间的曼哈顿距离为．
（1）在平面直角坐标系中，为坐标原点，是线段上的动点，求；
（2）在空间直角坐标系中，为坐标原点，动点满足，求动点的轨迹围成的几何体的体积；
（3）已知不同的三点都在椭圆上，轴，点满足，若直线与的交点在轴上，求的最大值．