广东省惠州市2026年九年级（上）期末质量检测数学模拟卷 含参考答案

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范围：九上-九下第26章
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x2+1x2=0B．ax2+bx+c=0
C．x−1x−2=1D．3x2−2xy−5y2=0
2．2024年6月25日，嫦娥六号返回器准确着陆于预定区域，工作正常，标志着探月工程嫦娥六号任务取得圆满成功，实现世界首次月球背面采样返回．下列航天领域的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．下列成语所反映的事件中，属于不可能事件的是（ ）
A．旭日东升B．守株待兔C．瓮中捉鳖D．缘木求鱼
4．下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A．x2-2x-3=0B．（x-2）（x+3）=0
C．x2=5D．x2-2x+3=0
5．如图，在⊙O中，∠ABC=50°，则∠AOC的度数是（ ）
A．25°B．100°C．125°D．150°
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转至△A'B'C使得点A'恰好落在AB上，则旋转角度为（ ）
A．30°B．60°C．90°D．150°
7．在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球出手时离地面的高度为85m，实心球飞行高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系式为y=−110x2+35x+850≤x≤8，得出以下结论：
①此次训练实心球从出手到落地时的水平距离为8m；
②此次训练存在两个不同的时间点，实心球离地面的高度均为2.1m；
③此次训练实心球离地面最大高为2.25m．
其中正确结论的个数是（ ）
A．3B．2C．1D．0
8．如图，正方形ABCD的边长为4，以点A为圆心，AD为半径画圆弧DE得到扇形DAE（阴影部分，点E在对角线AC上）．若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（ ）
A．2B．1C．22D．12
9．点A（x1，y1），B（x2，y2）都在反比例函数y=2x的图象上，若x1＜x2＜0，则（ ）
A．y2＞y1＞0B．y1＞y2＞0C．y2＜y1＜0D．y1＜y2＜0
10．如图，一个边长为2的菱形ABCD，∠DAB=60°，过点A作直线l⊥AB，将直线l沿线段AB向右平移，直至l经过点C时停止，在平移的过程中，若菱形在直线l左边的部分面积为y，则y与直线l平移的距离x之间的函数图象大致为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．）
11．x=1是一元二次方程x2+mx+n=0的一个解，则m+n= ．
12．在平面直角坐标系xOy中，点P3,−2关于原点对称的点的坐标是 ．
13．将抛物线y=−2x2先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，则平移后抛物线的解析式为 ．
14．如图，△ABC中，AB=4，AC=5，BC=2，以A为圆心AC长为半径作圆A，延长CB交圆A于点D，则BD长为 ．
15．如图， □ABCD 的顶点 A 在 x 轴上，点 D 在 y=kxk0)的图象上，且AD⊥x轴，CA 的延长线交y 轴于点 E.若 S△ABE=32,则k 的值是 .
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分．）
16．解方程：2xx−5=20−4x．
17．如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A2,5，B1,1，C4,3．
（1）作与△ABC关于原点O成中心对称的图形△A1B1C1；
（2）将△ABC绕着B顺时针方向旋转60∘，求点A经过的路径长．
18．为了弘扬中华优秀传统文化，丰富校园文化生活，某校积极筹备校园艺术节，九年级一班、二班准备在“民歌串烧”“民族舞蹈”“民乐演奏”中分别选择一个节目进行表演．学校把这三个节目名分别写在三张完全相同的不透明的卡片的正面上，然后将这三张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．
（1）九年级一班随机抽取一张卡片，则抽中“民族舞蹈”的概率是__________；
（2）—班同学先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的节目后放回，二班同学再随机抽取一张卡片，记录下卡片上的节目．请用列表法或画树状图法求出一班、二班同学表演不同节目的概率．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分．）
19．（9分）某玩具批发商销售每只进价为20元的玩具，市场调查发现，若以每只30元的价格销售，则平均每天销售60只；若销售价每提高1元/只，则平均每天就少销售2只．设销售价为x元/只，平均每天的销售量为y只．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）求该批发商平均每天的销售毛利润W（元）与销售价x（元/只）之间的函数关系式．
（3）物价部门规定每只售价不得高于35元，当每只玩具的销售价为多少元时，可以获得最大毛利润？最大毛利润是多少元？（注：每只毛利润=每只销售价−每只进价）
20．（9分）如图，一次函数y=x+b与反比例函数y=kx(k为常数，k≠0)的图象在第一象限内交于点A(1,2)，且与x轴、y轴分别交于B，C两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）点P在x轴上，且△BCP的面积等于2，求点P的坐标．
21．（9分）【问题情景】1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题．
【理解运用】
（1）下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：
当△ABC的三个内角均小于120°时，如图1，将△APC绕点C顺时针旋转60°得到△A'P'C，连接PP'，由PC=P'C，∠PCP'=60°，可知△PCP'为_______（选“直角”或“等边”）三角形，故PP'=PC，又P'A'=PA，故PA+PB+PC=P'A'+PB+PP'≥A'B，由_______（选“两点之间线段最短”或“三角形两边之和大于第三边”）可知，当B，P，P'，A'在同一条直线上时，PA+PB+PC取最小值，如图2，最小值为A'B，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有∠APC=∠BPC=∠APB=_______（填写角度数）；已知当△ABC有一个内角大于或等于120°时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若BAC≥120°，则该三角形的“费马点”为_______（选“A”或“B”或“C”）点；
【深入探究】
（2）如图4，在△ABC中，三个内角均小于120°，且AC=3，BC=4，∠ACB=30°，已知点P为△ABC的“费马点”，求PA+PB+PC的值．
五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．）
22．（14分）【了解概念】
折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形.如图1，线段PM、MA组成折线段PMA，点B在折线段PMA上，若PB=BM+MA，则称点B是折线段PMA的中点.
（1）【概念应用】
如图2，⊙M的半径为2，PA是⊙M的切线，A为切点，点B是折线段PMA的中点.若.∠P=30∘,则PB的长为 ；
【认识定理】
爱动脑筋的小亮发现将折线段PMA放在圆中，且P、M、A三点都在圆上时，就有数学中著名的阿基米德折弦定理：如图3，PM和MA是⊙O的两条弦（即折线段PMA是圆的一条折弦），PM>AM，C是PMA的中点，CB⊥PM，垂足为B，则PB=BM+MA.这个定理有很多证明方法，下面是运用“截长法”证明PB=BM+MA的部分证明过程.
【证明定理】
证明：如图3，在PB上截取PQ=AM，连接CP，CQ，CA和CM.
∵C是PMA的中点，∴CP=CA.∴CP=
（2）请按照上面的证明思路，在图3中连接辅助线并写出该证明的剩余部分；
（3）【灵活运用】
如图4，已知等边三角形ABC内接于⊙O，D为弧AC上一点，CE⟂BD于点E，连接AD，若∠ABD=15∘,CE=2，请直接写出△DAB的周长.
23．（13分） 如图，直线y=kx+3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线的顶点坐标(1，4)．
（1）求k的值和抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上求一点P，使得△PAB的周长最小，并求出最小值；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．